专题01 导数的概念及导数运算知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题01 导数的概念及导数运算知识归纳与题型突破 知识点1 导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率： 2.瞬时变化率与导数： （1）瞬时速度： （2）函数的瞬时变化率--导数 3.导数的几何意义： （1）函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． （2）特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线 ①曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线． ②曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 知识点2 导数的运算 1.常见幂函数的导数： 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝ 2.一些基本初等函数的导数： 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0,a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0,a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝tan x f′(x)＝ 3.函数和差积商的求导法则： （1）和差积的求导法则: [cf(x)]′＝cf′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （2）商的倒数与商的求导法则: (f (x)≠0)； (g(x)≠0)． (3)其它结论：[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 4.简单复合函数的求导： （1）复合函数：设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数 （2）复合函数的导数： 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 题型一 导数的概念 【例1】（17-18高二·全国·课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】（1）根据初速度的定义求解即可， （2）根据瞬时速度的定义求解即可， （3）根据平均速度的定义求解即可. 【详解】（1）初速度 （2） ， 所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反， （3）， 所以到时的平均速度为 【变式1-1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 【变式1-2】（21-22高二上·湖南·期末）已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】对函数求导并求出在0处的导数值，再利用导数定义计算作答. 【详解】函数，求导得，则， 所以. 故选：A 【变式1-3】（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 【答案】4 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求某点处的导数值 【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度. 【详解】杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数    则 故在时刻， 水面上升的瞬时速度为4 cm/s. 故答案为：4. 题型二 常见函数的导数运算 【例2】（多选）（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】导数的乘除法、导数的加减法、基本初等函数的导数公式 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 【变式2-1】（21-22高二上·湖南郴州·期末）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案. 【详解】对A，，为奇函数； 对B，，为奇函数； 对C，，为偶函数； 对D，，既不是奇函数也不是偶函数. 故选：C. 【变式2-2】（18-19高二上·广东深圳·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】（多选）（22-23高二上·湖南郴州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，则，故，B对； 对于C选项，若，则，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：ABD. 题型三 求导法则的应用 【例3】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：由已知可得. （2）解：由已知可得. （3）解：由已知可得. （4）解：由已知可得. （5）解：由已知可得. （6）解：由已知可得. （7）解：由已知可得. 【变式3-1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】借助导数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：B. 【变式3-2】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式3-3】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 题型四 简单复合函数的导数 【例4】（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. 【详解】，， ，. 故选：BC. 【变式4-1】（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标为，求导，从而有斜率，再由点在曲线上求解. 【详解】解：设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率， 又，即，解得， 所以由，得. 故选：D. 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 【详解】选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 【变式4-3】（多选）（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】利用初等函数以及复合函数求导公式逐项求导即可. 【详解】选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误， 故选：BC. 题型五 曲线切线的斜率、倾斜角问题 【例5】（多选）（21-22高二·全国·课后作业）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本（均值）不等式的应用、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以． 因为，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，所以． 又因为，所以． 故选：CD． 【变式5-1】（20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 【变式5-2】（22-23高二下·四川内江·开学考试）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、导数的加减法、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可. 【详解】由可得， ，即， 当时，； 当时，. ， 故选：. 【变式5-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 【答案】3 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的运算法则、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据导数的几何意义求得，再利用正弦与余弦的齐次式计算即可. 【详解】因为， 所以，，则. 故答案为：3. 题型六 求某点处的导数值 【例6】（23-24高二下·湖南·开学考试）已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据函数满足的关系式求导可得关于对称，且关于对称，利用对称轴和对称中心可得的周期为6，可求得结果. 【详解】因为，两边同时求导可得：， 又，即，可得关于对称， 对两边同时求导可得，则关于对称； 又为奇函数，则，求导可得， 所以关于对称，同时，则关于对称， 由关于对称得，， 由关于对称得，， 故，可得， 所以，故的周期为6； 同理的周期也为6， 因此， 由可知，令可得； 由关于对称，可得； 所以 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 【变式6-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求出导数，再代入求值即可． 【详解】由，则，所以． 故选：C． 【变式6-3】（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知函数的导数为，若，则（    ） A．26 B．12 C．8 D．2 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意求出导函数，进而可得，，即可得解. 【详解】∵， ∴， 所以，解得， ∴， ∴. 故选：D. 题型七 由导数求参数 【例7】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 【详解】函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 【变式7-1】（2008·海南·高考真题）已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的乘除法 【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：B. 【变式7-2】（22-23高二下·辽宁抚顺·期中）已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为 ． 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】由平均变化率的概念求解即可. 【详解】，所以，解得． 故答案为：3. 【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，且，则 . 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、基本初等函数的导数公式 【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得. 【详解】由，求导得，则，由，求导得， 所以. 故答案为： 题型八 求在曲线上一点的切线方程（斜率） 【例8】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，由，得，则点， 由，求导得，则，于是， 所以该曲线在点处的切线方程为. 故选：B 【变式8-1】（22-23高二上·北京朝阳·期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 即在处切线方程的斜率为， 又因为，所以切线方程为，整理得， 故选：B 【变式8-2】（22-23高二下·河南商丘·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A 【变式8-3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A. 题型九 求过一点的切线方程（斜率） 【例9】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 【变式9-1】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式9-2】（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【分析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解. 【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 【变式9-3】（2023下·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，根据切线斜率和导数列方程，求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】（1）因为，所以. ，， 所以曲线在处的切线方程为， 即直线的方程为. （2）设过原点的直线与曲线切于点. 则的斜率， 所以，整理得，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 题型十 与切线的平行直线问题 【例10】（21-22高二·湖南·课后作业）曲线在点处的切线平行于直线. (1)求切点坐标； (2)求切线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两平行线的性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）因为点处的切线平行于直线， 所以过该点的曲线的切线的斜率， 由，所以，因此， 所以切点坐标为：； （2）由直线的点斜式方程可知：. 【变式10-1】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】因为，其中，则， 直线的斜率为，由，可得，且，即点， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 【变式10-2】（21-22高二·湖南·课后作业）已知曲线，试在曲线上找一点，使得曲线在点P处的切线平行于直线. 【答案】. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义直接求解. 【详解】因为，所以. 因为曲线在点处的切线平行于直线，所以，解得：. 所以切点坐标，切线方程为，即. 故P的坐标. 【变式10-3】（21-22高二·湖南·课后作业）已知是曲线上的一点.写出该曲线在点P处的切线方程，并分别求出切线斜率为和切线平行于x轴时切点P的坐标. 【答案】答案见解析 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先将曲线改写成函数式的形式，然后求导数，再用点斜式写出切线方程．再分别令导数等于1和，求出，即可求出各自的切点坐标． 【详解】解：将曲线方程转化为函数：， 所以， 因为是曲线上的一点， 所以，， 所以该曲线在点P处的切线方程为， 即； 令得，所以当时，，故切点坐标为； 令得， 当时，；当时，， 故切点坐标为． 题型十一 与切线的垂直直线问题 【例11】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】导数的加减法、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求过一点的切线方程 【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解； （2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由（1）可设切线与曲线相切于点， 则切线斜率， 则切线的方程为， 将点代入方程整理得，解得或． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 故经过点且与曲线相切的切线方程为或． 【变式11-1】（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】由题意得，由此求解即可. 【详解】函数，求导得：， 因为在处的切线与直线垂直， 所以在处的切线斜率为，解得. 故选：D. 【变式11-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，根据直线垂直的性质，即可得出答案. 【详解】因为，所以， ，， 曲线在点处的切线斜率为， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以. 故答案为：. 【变式11-3】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）曲线过点的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，根据两直线垂直利用导数的几何意义求得，再由两点间斜率公式解方程组可得结果. 【详解】易知直线的斜率为，则切线斜率； 又，设切点坐标为，易知， 则， 又点和切点的斜率为； 联立，解得. 故答案为： 题型十二 曲线的公切线问题 【例12】（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由题意对函数求导，求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可， （2）设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得；设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得，再由直线的斜率为1，可得的关系，由于，则，从而即可求出的取值范围． 【详解】（1）当时，， 当时，切点为， ，切线斜率为， 切线方程为，即． （2）的定义域为的定义域为， 且， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 直线的斜率， 所以，     由于，则， 所以的取值范围为． 【变式12-1】（20-21高二下·陕西西安·期中）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出. 【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，. 因为，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为 因为该公切线过原点，所以，解得. 故答案为： 【变式12-2】（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【答案】或（写出一个即可） 【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可. 【详解】设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 故答案为：或，写出任意一个即可. 【变式12-3】（22-23高二下·湖南·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值. 【答案】 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】求出的导数，求得切线的斜率可得切线方程，再由切线方程与曲线方程联立，根据得到的值. 【详解】∵，， ∴曲线在点处的切线方程为，即， 又∵直线与曲线相切， 当时，曲线变为直线，与已知直线平行， ∴，可得，消去得， 由得. 题型十三 切点坐标问题 【例13】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】. 【解析】 【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】 设点，则.又， 当时，， 点A在曲线上的切线为， 即， 代入点，得， 即， 考查函数，当时，，当时，， 且，当时，单调递增， 注意到，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 【变式13-1】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果. 【详解】，， 在点处的切线方程为：， 令得：， . 故选：D. 【变式13-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 【变式13-3】（22-23高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、求平行线间的距离 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 题型十四 切线条数问题 【例14】（24-25高二上·湖南·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 【变式14-1】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 【变式14-2】（2024·山西临汾·一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】由可得出，令，则，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为， 则， 令，可得， 可得， 因为，令，则，且函数在上单调递增， 令，其中， 因为曲线有两条斜率为的切线，则函数在上有两个不等的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式14-3】（21-22高二·湖南·课后作业）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 【答案】在点处有切线,切线的斜率为0. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先判断点在曲线上，再利用导数求解. 【详解】解：当时，，所以点在曲线上. 由题得，所以切线的斜率. 所以在点处有切线,切线的斜率为0. 题型十五 根据导数的几何意义求参数的值 【例15】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 【变式15-1】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义结合条件即得. 【详解】设切点，则由，得， 由，得，则 解得. 故答案为：e. 【变式15-2】（2023·西藏日喀则·一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则 【答案】e 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，并写出的形式确定参数，即可得结果. 【详解】由题设，且，则， 所以，切线方程为，即， 所以，故. 故答案为： 【变式15-3】（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）若直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合点为直线与曲线的公共点，可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】设切点为，由，得，则， 因为点为直线与曲线的公共点，则， 所以，，即，可得，故. 故答案为：. 题型十六 导数及其几何意义的综合应用 【例16】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】（1）根据题目条件列出方程组求解； （2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积. 【详解】（1）由，得， 由题意可得，，解得； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 取，得，取，得. ∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【变式16-1】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可求出圆的半径． 【详解】由，得， 故切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为. 又因为与圆相切， 所以的半径，解得或， 所以圆的半径为或. 故选：C 【变式16-2】（22-23高二上·湖南衡阳·期末）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 【答案】8 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：的导数为， 设切点为，切线斜率，则在该点的切线方程为，即， 由题意可得，整理得， 则，当且仅当时取等号， 故的最小值为8. 故答案为：8. 【变式16-3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、已知两点求斜率 【分析】（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率； （2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】（1）解：当时，，即点， 令，可得，解得，即点， 因此，割线的斜率为. （2）解：对函数求导得， 所以，曲线在点处切线的斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数的概念及导数运算知识归纳与题型突破 知识点1 导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率： 2.瞬时变化率与导数： （1）瞬时速度： （2）函数的瞬时变化率--导数 3.导数的几何意义： （1）函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． （2）特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线 ①曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线． ②曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 知识点2 导数的运算 1.常见幂函数的导数： 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝ 2.一些基本初等函数的导数： 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0,a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0,a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝tan x f′(x)＝ 3.函数和差积商的求导法则： （1）和差积的求导法则: [cf(x)]′＝cf′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （2）商的倒数与商的求导法则: (f (x)≠0)； (g(x)≠0)． (3)其它结论：[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 4.简单复合函数的求导： （1）复合函数：设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数 （2）复合函数的导数： 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 题型一 导数的概念 【例1】（17-18高二·全国·课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 【变式1-1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高二上·湖南·期末）已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【变式1-3】（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 题型二 常见函数的导数运算 【例2】（多选）（22-23高二上·海南省直辖县级单位·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（21-22高二上·湖南郴州·期末）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（18-19高二上·广东深圳·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（22-23高二上·湖南郴州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 题型三 求导法则的应用 【例3】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【变式3-1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（21-22高二·湖南·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 题型四 简单复合函数的导数 【例4】（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式4-2】（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 题型五 曲线切线的斜率、倾斜角问题 【例5】（多选）（21-22高二·全国·课后作业）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高二下·四川内江·开学考试）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 题型六 求某点处的导数值 【例6】（23-24高二下·湖南·开学考试）已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式6-3】（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知函数的导数为，若，则（    ） A．26 B．12 C．8 D．2 题型七 由导数求参数 【例7】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 【变式7-1】（2008·海南·高考真题）已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高二下·辽宁抚顺·期中）已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为 ． 【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，且，则 . 题型八 求在曲线上一点的切线方程（斜率） 【例8】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高二上·北京朝阳·期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高二下·河南商丘·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型九 求过一点的切线方程（斜率） 【例9】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 变式9-1】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式9-2】（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【变式9-3】（2023下·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. 题型十 与切线的平行直线问题 【例10】（21-22高二·湖南·课后作业）曲线在点处的切线平行于直线. (1)求切点坐标； (2)求切线的方程. 【变式10-1】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（21-22高二·湖南·课后作业）已知曲线，试在曲线上找一点，使得曲线在点P处的切线平行于直线. 【变式10-3】（21-22高二·湖南·课后作业）已知是曲线上的一点.写出该曲线在点P处的切线方程，并分别求出切线斜率为和切线平行于x轴时切点P的坐标. 题型十一 与切线的垂直直线问题 【例11】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【变式11-1】（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【变式11-3】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）曲线过点的切线与直线垂直，则 . 题型十二 曲线的公切线问题 【例12】（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 【变式12-1】（20-21高二下·陕西西安·期中）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【变式12-2】（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【变式12-3】（22-23高二下·湖南·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值. 题型十三 切点坐标问题 【例13】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【变式13-1】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（22-23高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十四 切线条数问题 【例14】（24-25高二上·湖南·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式14-2】（2024·山西临汾·一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【变式14-3】（21-22高二·湖南·课后作业）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 题型十五 根据导数的几何意义求参数的值 【例15】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【变式15-1】（22-23高二下·湖南湘潭·期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【变式15-2】（2023·西藏日喀则·一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则 【变式15-3】（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）若直线与曲线相切，则实数 ． 题型十六 导数及其几何意义的综合应用 【例16】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【变式16-1】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【变式16-2】（22-23高二上·湖南衡阳·期末）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 【变式16-3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$