专题02 独立性检验知识归纳与题型突破（8类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题02 独立性检验知识归纳与题型突破 知识点1 分类变量与列联表 1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2.列联表：将两个（或两个以上）分类变量进行交叉分类得到的频数分布表，称为列联表． 3.2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 　　Y X　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 知识点2 独立性检验的基本思想 1.定义：利用统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验． 2.公式：＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 3.临界值表： 4.独立性检验推断“X与Y有关系”的具体步骤： 题型一 完善列联表 【例1】（24-25高二下·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高二下·青海西宁·期末）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 题型二 列联表分析 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病．根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如下： 总计 总计 对于以下数据，对同一样本能说明与有关的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（   ） A． B． C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 【变式2-3】（21-22高二上·全国·课后作业）两个分类变量X，Y，它们的取值分别为和，其列联表为： 　　　YX　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 题型三 独立性检验的的概念与辨析 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ． ①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病； ②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病； ③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误． 【变式3-1】（多选）（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（    ） A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关 【变式3-2】（多选）（23-24高二下·河北·阶段练习）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（    ） A．若，则变量与不独立 B．若，则变量与独立 C．若，则变量与独立 D．若，则变量与不独立 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 0.05 0.025 3.841 5.024 根据表中数据，得到．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性不大于 ． 题型四 卡方计算 【例4】（多选）（2024·广东江门·模拟预测）某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（    ） 男生 女生 合计 选修外出研学课程 未选修外出研学课程 合计 附： ，其中 A．150人 B．225人 C．300人 D．375人 【变式4-1】（24-25高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【变式4-2】（24-25高三上·上海·单元测试）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表，则根据列联表可知： 年轻人 非年轻人 总计 经常用流行用语 125 25 150 不常用流行用语 35 15 50 总计 160 40 200 有 的把握认为经常用流行用语与年轻人有关系． 【变式4-3】（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 题型五 独立性检验的基本思想 【例5】（24-25高二下·全国·单元测试）想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（    ） A．提出统计假设：男性喜欢参加体育活动 B．提出统计假设：女性不喜欢参加体育活动 C．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别有关 D．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关 【变式5-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据小概率值的独立性检验，则（    ） A．与不独立 B．与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．与独立 D．与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【变式5-2】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 【变式5-3】（24-25高二下·全国·单元测试）如果有不少于的把握判断事件与有关系，那么具体计算出的数据（    ） A． B． C． D． 题型六 独立性检验的实际应用 【例6】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校在两个班级进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示（单位：人）： 80分及80分以上 80分以下 总计 实验班 35 15 50 对照班 20 m 50 总计 55 45 n (1)求m，n； (2)根据表中数据回答：有的把握认为“教学方式与成绩有关系”吗？ 总计 总计 附：1.列联表： 记.                      2.计算公式： 3.常用的显著水平以及相应的分位数如下表所示. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．54 B．48 C．42 D．36 【变式6-2】（22-23高三·全国·课后作业）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【变式6-3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 初中学生 100 合计 150 (1)请将列联表中的数据补充完善； (2)判断能否有的把握认为学生经常做家务与年级段有关？ 附：，其中． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 题型七 统计的综合问题 【例7】（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【变式7-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 【变式7-2】（24-25高二下·安徽亳州·阶段练习）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表： 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6.2 7.6 8.8 并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 50岁以下市民 70 30 50岁以上市民 60 40 (1)求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关？ 附：①回归直线中 ②，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.065 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【变式7-3】（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 题型八 概率统计的综合问题 【例8】（24-25高二上·黑龙江·期末）目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； (3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【变式8-1】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． (1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁·期中）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式8-3】（山西省太原市2024届高三模拟考试（三）（5月）数学试题）为预防季节性流感，某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗. 为了进一步研究此疫苗的预防效果，该防疫部门从市民中随机抽取了1000 人进行检测，其中接种疫苗的700 人中有 570 人未感染流感，未接种疫苗的300人中有70人感染流感. 医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性. 已知未感染者其检测结果为阳性的概率0.01，感染者其检测结果为阳性的概率0.95 . 将上述频率近似看成概率. (1)根据所给数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流感有关? 疫苗 流感 合计 感染 未感染 接种 未接种 合计 (2)已知某人流感检测结果为阳性，求此人感染流感的概率 (精确到 0.01 ). 附: ; 0.10 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 独立性检验知识归纳与题型突破 知识点1 分类变量与列联表 1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 2.列联表：将两个（或两个以上）分类变量进行交叉分类得到的频数分布表，称为列联表． 3.2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 　　Y X　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 知识点2 独立性检验的基本思想 1.定义：利用统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验． 2.公式：＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 3.临界值表： 4.独立性检验推断“X与Y有关系”的具体步骤： 题型一 完善列联表 【例1】（24-25高二下·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【答案】答案见解析 【知识点】完善列联表 【分析】利用给定条件计算数据，补充列联表即可. 【详解】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（    ） A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52 【答案】C 【知识点】完善列联表 【分析】根据联表计算求参即可. 【详解】因为．所以．又，所以． 故选：C. 【变式1-2】（24-25高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人） 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完善列联表 【分析】根据题意先得出的值，进而再得的值，进而可知的值. 【详解】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以， 所以，A、B对； 所以，则对； 则错. 故选：. 【变式1-3】（22-23高二下·青海西宁·期末）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 【答案】 【知识点】列联表分析 【分析】 根据题意，利用志愿者的总人数为100，列出方程，即可求解. 【详解】 根据表格中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以， 解得. 故答案为：. 题型二 列联表分析 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中，有37人患呼吸道疾病（以下简称患病），183人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的295人中，有21人患病，274人未患病．根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 【答案】可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关． 【知识点】列联表分析 【分析】根据题意列出列联表，再算出在吸烟中和不吸烟中患病的频率，通过比较之间是否存在差异即可判断是否有关． 【详解】为了研究这个问题，我们将上述数据用表格表示如下： 患病 未患病 合计 吸烟 37 183 220 不吸烟 21 274 295 合计 58 457 515 由此表可以粗略地估计出在吸烟的人中，有的人患病； 在不吸烟的人中，有的人患病． 因此，从直观上可以得到结论：吸烟者中患病的比例与不吸烟者中患病的比例相比有很大的差异， 故可以认为患呼吸道疾病与吸烟有关． 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如下： 总计 总计 对于以下数据，对同一样本能说明与有关的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【知识点】独立性检验的概念及辨析、卡方的计算 【分析】对于同一样本，越大，说明与之间的关系越强. 【详解】根据（其中）， 值越大，说明“与有关系”的可能性越大， 对于同一样本，越大，说明与之间的关系越强 对于A，当，，，时，； 对于B，当，，，时，； 对于C，当，，，时，； 对于D，当，，，时，； 因为，所以B中的值最大，即B对应的值最大，说明与之间的关系越强. 故选：B． 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（   ） A． B． C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 【答案】ABD 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题 【分析】利用列联表中数据计算判断AB；结合的观测值及临界值表判断CD. 【详解】对于AB，由列联表知，，AB正确； 对于CD，由知，C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式2-3】（21-22高二上·全国·课后作业）两个分类变量X，Y，它们的取值分别为和，其列联表为： 　　　YX　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【知识点】独立性检验的基本思想、独立性检验的概念及辨析、列联表分析 【分析】根据独立性检验结合列联表逐项分析判断. 【详解】因为分类变量X，Y没有关系，则，整理得，即， 所以①②⑤正确； 又因为与，以及与与上述比例式没有关系，其大小关系无法判断， 故③④不正确． 故答案为：①②⑤. 题型三 独立性检验的的概念与辨析 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ． ①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病； ②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病； ③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误． 【答案】③ 【知识点】独立性检验的概念及辨析 【分析】根据题意，结合独立性检验的含义，逐项判定，即可求解. 【详解】①若的临界值，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系， 但在1000个饮酒的人中未必有900人患有肝脏病，所以①错误； ②从独立性检验可以知道99%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时， 是指饮酒与患肝脏病有关系的概率，而不是饮酒的人有99%的可能性有肝脏病，所以②错误： ③若从统计量中求出有99.5%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系， 则有0.5%的可能性使得推断错误，所以③正确． 故答案为：③. 【变式3-1】（多选）（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（    ） A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大 B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关 【答案】ABD 【知识点】独立性检验的概念及辨析、独立性检验解决实际问题 【分析】根据独立性检验的理论分别判断各个选项. 【详解】两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确； 越小，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确； 从独立性检验可知，有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他就有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确； 从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确. 故选：ABD. 【变式3-2】（多选）（23-24高二下·河北·阶段练习）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（    ） A．若，则变量与不独立 B．若，则变量与独立 C．若，则变量与独立 D．若，则变量与不独立 【答案】CD 【知识点】独立性检验的基本思想 【分析】根据独立性检验的基本思想判断即可. 【详解】若，则变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01. 若，则变量与独立. 故选：CD. 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 0.05 0.025 3.841 5.024 根据表中数据，得到．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性不大于 ． 【答案】0.05 【知识点】独立性检验的基本思想 【分析】根据观测值以及独立性检验的基本思想即可得出结果. 【详解】因为，这表明小概率事件发生． 根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立， 并且这种判断出错的可能性不大于0.05． 故答案为：0.05. 题型四 卡方计算 【例4】（多选）（2024·广东江门·模拟预测）某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（    ） 男生 女生 合计 选修外出研学课程 未选修外出研学课程 合计 附： ，其中 A．150人 B．225人 C．300人 D．375人 【答案】BCD 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】设男生人数为，根据题意用表示出女生人数、男生中“选修外出研学课程”人数、女生中“选修外出研学课程”人数，进而表示出表格中其它人数，利用公式计算出，由得到的范围，进而得到男生人数的范围，选出符合题意的选项. 【详解】设男生人数为，根据题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 选修外出研学课程 不选修外出研学课程 合计 则， 若有的把握认为喜欢选修外出研学课程与性别有关，则， 解得，则． 故选：BCD． 【变式4-1】（24-25高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【知识点】完善列联表、卡方的计算 【分析】列出列联表，计算即可得解. 【详解】列出列联表： 男生 女生 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 150 50 200 ， 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：D 【变式4-2】（24-25高三上·上海·单元测试）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表，则根据列联表可知： 年轻人 非年轻人 总计 经常用流行用语 125 25 150 不常用流行用语 35 15 50 总计 160 40 200 有 的把握认为经常用流行用语与年轻人有关系． 【答案】95% 【知识点】列联表分析、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】零假设为：经常用流行用语与是否为年轻人没有关系， ， 所以拒绝零假设，故有95%的把握认为经常用流行用语与是否为年轻人有关系. 故答案为：95%． 【变式4-3】（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】设男生人数为x，由题意得列联表，计算，对照临界值列出不等式，求出x的取值范围. 【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 题型五 独立性检验的基本思想 【例5】（24-25高二下·全国·单元测试）想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（    ） A．提出统计假设：男性喜欢参加体育活动 B．提出统计假设：女性不喜欢参加体育活动 C．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别有关 D．提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关 【答案】D 【知识点】独立性检验的基本思想 【分析】根据独立性检验的思想分析判断. 【详解】独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构造的随机变量应该很小，如果很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关， 所以想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验 提出统计假设：喜欢参加体育活动与性别无关， 故选：D 【变式5-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据小概率值的独立性检验，则（    ） A．与不独立 B．与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．与独立 D．与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【知识点】独立性检验的基本思想、独立性检验的概念及辨析 【分析】根据独立性检验的知识判断即可. 【详解】因为 根据，根据小概率值的独立性检验知：与独立，C正确. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【知识点】独立性检验的概念及辨析、独立性检验的基本思想 【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可. 【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误， 但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病， 也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病. 故①④正确、②③错误. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二下·全国·单元测试）如果有不少于的把握判断事件与有关系，那么具体计算出的数据（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立性检验的基本思想 【分析】比较的值与临界值的大小即可． 【详解】比较的值和临界值的大小，的把握则，就约有的把握． 故选：A． 题型六 独立性检验的实际应用 【例6】（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）某校在两个班级进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示（单位：人）： 80分及80分以上 80分以下 总计 实验班 35 15 50 对照班 20 m 50 总计 55 45 n (1)求m，n； (2)根据表中数据回答：有的把握认为“教学方式与成绩有关系”吗？ 总计 总计 附：1.列联表： 记.                      2.计算公式： 3.常用的显著水平以及相应的分位数如下表所示. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)有 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】(1)根据数据统计表中的数据可求； (2)利用独立性检验的步骤求解. 【详解】（1），； （2） = ， 因为，所以有的把握认为“教学方式与成绩有关系”. 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．54 B．48 C．42 D．36 【答案】D 【知识点】卡方的计算 【分析】设男生人数为，结合卡方计算可得，即，进而可判断. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则，因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以A，B，C项正确，D项错误. 故选：D 【变式6-2】（22-23高三·全国·课后作业）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有 人.（请将所有可能的结果都填在横线上） 附表：，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 【答案】45，50，55，60，65 【知识点】列联表分析、独立性检验解决实际问题 【分析】利用独立性检验表达列联表及观测值可解得答案. 【详解】设男生有x人，由题意可得列联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 x 女生 x 合计 若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05， 则. ∵， ∴，解得， 又x为5的整数倍，∴被调查的学生中男生可能人数为45，50，55，60，65. 故答案为：45，50，55，60，65. 【变式6-3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 初中学生 100 合计 150 (1)请将列联表中的数据补充完善； (2)判断能否有的把握认为学生经常做家务与年级段有关？ 附：，其中． 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)有的把握认为学生经常做家务与年级段有关联． 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据题意结合列联表中的数据，求出空白单元格的人数，再补充列联表； （2）根据结合列联表中数据求解，然后根据临界值进行判断即可. 【详解】（1）列联表如下： 做家务情况年级段 经常做家务 不经常做家务 合计 高中学生 50 150 200 初中学生 100 100 200 合计 150 250 400 （2）由（1）可知，， 有的把握认为学生经常做家务与年级段有关联． 题型七 统计的综合问题 【例7】（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】（1）直接根据均值定义求解； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【详解】（1）试验组样本平均数为： （2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 由原数据可得第11位数据为，后续依次为， 故第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 【变式7-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 【答案】(1) (2)能认为药物对预防甲流有效 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、用频率估计概率 【分析】（1）用频率估计概率，计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由题意可得列联表， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 未服用药物的个体有， 所以未服用药物的个体患甲流的频率为， 所以未服用药物的个体患甲流的概率的估计值为； （2）零假设为：药物对预防甲流无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防甲流有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防甲流有效. 【变式7-2】（24-25高二下·安徽亳州·阶段练习）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表： 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6.2 7.6 8.8 并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 50岁以下市民 70 30 50岁以上市民 60 40 (1)求广告费投入与年份代号之间的线性回归方程； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关？ 附：①回归直线中 ②，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.065 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)不能认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关 【知识点】求回归直线方程、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）计算出平均数后，结合所给公式计算即可得回归直线方程； （2）结算出卡方结合临界值比较即可得解. 【详解】（1），， 则， 则，故； （2）由题以可得 ， 依据小概率值的独立性检验，没有的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有相关性. 【变式7-3】（24-25高二上·河南焦作·期末）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据． 月份 月 月 月 月 月 月份代码 销售总额亿元 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中． 【答案】(1) (2)有的把握认为购买电动汽车与性别有关 【知识点】求回归直线方程、完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）根据已知求出，然后利用最小二乘法直接求出线性回归方程即可； （2）根据已知列出列联表，然后直接利用公式求出，进而得出结论. 【详解】（1）由题可知，， 所以，， 故所求的线性回归方程为． （2）由题可得列联表如下． 性别 购买种类 合计 非电动汽车 电动汽车 男 女 合计 因为， 故有的把握认为购买电动汽车与性别有关． 题型八 概率统计的综合问题 【例8】（24-25高二上·黑龙江·期末）目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； (3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能 (2) (3)分布列见解析 【知识点】完善列联表、卡方的计算、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意直接确定列联表，计算，对比数据即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，可能取值为0，1，2，3，根据二项分布对应的概率，即可求分布列. 【详解】（1）被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为. 偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为， 所以2×2列联表为： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 300 女性市民 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关. （2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为， 所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人， 设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B， 则，， 所以. （3）根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为， 偏好铅酸电池电动车的概率为， 参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 【变式8-1】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． (1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析；消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关； (2)分布列见解析；. 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）填写列联表，求出卡方值，比较临界值即可判断； （2）由超几何分布求出分布列及其期望. 【详解】（1） 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 零假设：费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄无关， 因， 则根据小概率值的独立性检验，消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关. （2）愿意购买新能源车的消费者中，青年与中老年的人数之比为， 所以采用分层随机抽样抽取的6人中，4人是青年，2人是中老年， 记抽取的2人中，青年的人数为，则的可能取值为0，1，2， ，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 . 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁·期中）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析 (2)没有 (3)分布列见解析，期望1， 【知识点】完善列联表、卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【分析】（1）根据已知数据填写列联表； （2）由已知公式计算后比较临界值可得； （3）确定，且，结合二项分布可得分布列，再根据期望公式、方差公式计算出期望和方差． 【详解】（1）由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 （2）由（1）可得， 所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关 （3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为, 随机变量的方差为. 【变式8-3】（山西省太原市2024届高三模拟考试（三）（5月）数学试题）为预防季节性流感，某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗. 为了进一步研究此疫苗的预防效果，该防疫部门从市民中随机抽取了1000 人进行检测，其中接种疫苗的700 人中有 570 人未感染流感，未接种疫苗的300人中有70人感染流感. 医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性. 已知未感染者其检测结果为阳性的概率0.01，感染者其检测结果为阳性的概率0.95 . 将上述频率近似看成概率. (1)根据所给数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流感有关? 疫苗 流感 合计 感染 未感染 接种 未接种 合计 (2)已知某人流感检测结果为阳性，求此人感染流感的概率 (精确到 0.01 ). 附: ; 0.10 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，能 (2) 【分析】（1）根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）设 “某人流感检测结果为阳性”， “此人感染流感”，由全概率公式求出，再由条件概率公式求出. 【详解】（1）由题意得 疫苗 流感 合计 感染 未感染 接种 130 570 700 未接种 70 230 300 合计 200 800 1000 零假设为 : 接种流感疫苗与感染流感无关， 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为接种流感疫苗与感染流感有 关，此推断犯错误的概率不超过； 接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和， 未接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和， 根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未感染流感的概率大； （2）设 “某人流感检测结果为阳性”， “此人感染流感”， 由题意得，，，， ， ， ， 即某人流感检测结果为阳性，则此人感染流感的概率约为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$