黄金卷04（全国通用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.不选、多选、错选均不得分.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B C B B B D D A 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．1 12．1.2×107 13． 14．8 15．﹣6 16．2 三、解答题：（本大题共8题，第17题6分，第18-21每题8分，第22题10分，第23-24题每题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解： = = =0．（6分） 18．解：（1）， ①+②得：2x﹣y+3x+y＝3+2， 整理得：5x＝5， 解得x＝1， 将x＝1代入①得：2×1﹣y＝3， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为：；（4分） （2）， 解①得，x≥﹣2； 解②得，x＜1； ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．（8分） 19．解：（1）如下图所示，点P即为所求。（点P在点A右侧一个单位格点处）（4分） （2）如下图所示，线段AD即为所求。（过AC中点M作MD∥AB，交BC于点D，点D即为BC中点，连接AD即可。）（8分） P M D 20．解：（1）由图得：D等级有5人，占10%， ∴m＝5÷10%＝50， ∴n%＝×100%＝20%， ∴n＝20． 等级C的人数：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：50，20；（2分） （2）把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，85，86，86，88，89，89 中间两个数是85、86， ∴中位数是＝85.5； 故答案为：85.5；（5分） （3）×2100＝840（人）， 答：成绩能达到A等级的学生人数为840人．（8分） 21．解：（1）根据题意得：y1＝80×0.7x＝56x+200（x≥40）， 设y2＝kx+b（x≥40），把(40，3200)，(80,5200)代入得： ， 解得， ∴y2＝50x+1200（x≥40）；（4分） （2）当x＝100时，y1＝56×100+200＝5800，y2＝50×100+1200＝6200， ∵5800＜6200， ∴选择甲超市购买更划算．（8分） 22．（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠ODB， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC．（4分） （2）解：连接AD、FD，则∠F=∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠AED＝∠DEF， ∴△AED∽△DEF， ∴， ∵AE＝，DE＝， ∴EF＝， ∴AF＝EF﹣AE＝， ∴AF的长是． （10分） 23．解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°，，∠BAD＝90°，AB=AD， 由旋转的性质得：AB＝AB′，∠BAB′＝60°， ∴AB＝AD＝AB′，△ABB′为等边三角形，∠B′AD=90°－60°=30°， ∴∠AB'B＝60°，∠AB′D＝， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠DEB'＝90°， ∴∠B'DE＝45°， ∴△DEB'为等腰直角三角形， ∴∠BDC＝∠B'DE＝45°，， ∴∠BDC﹣∠B'DC＝∠B'DE﹣∠B'DC，即∠BDB'＝∠CDE， ∵， ∴△BDB'∽△CDE， ∴， 故答案为：等腰直角三角形，；（4分） （2）①两个结论仍然成立，理由如下： 连接BD，如图2所示： 由旋转的性质得：AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB′B＝×（180°﹣α）＝90°－， ∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB′D＝×（180°－α+90°）＝135°－， ∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°－－90°+ =45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴＝， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，∠BDC＝45°， ∴， ∵∠EDB'＝∠BDC， ∴∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∽△EDC， ∴, ∴（1）中的两个结论不变，依然成立； （8分） ②若以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以CD为边时，则CD∥B'E， 此时点B'在线段BA的延长线上，如图3所示： 此时点E与点A重合， ∴BE＝CD＝B′E， ∴； （10分） 第二种：当以CD为对角线时，如图4所示： ∵四边形CB′DE是平行四边形， ∴B′F＝EF＝B′E，点F为CD中点， ∴BC＝CD＝2CF， ∵DE⊥BB'， ∴CB'⊥BB'， ∴∠BB′C＝∠CB′F＝90°， ∵∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠CB′F＝∠BB′C， ∵∠CBF＝∠B′BC，∠BFC＝∠CFB′， ∴△BCF∽△CB'F∽△BB'C， ∴， ∴BB'＝4B'F， ∴BE＝6B'F，B'E＝2B'F， ∴, 综上所述，的值为3或1． （12分） 24.解：（1）将B（﹣3，0），C(1，0)代入y＝ax2+bx+3中， ∴， ∴a＝﹣1，b＝﹣2．（4分） （2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵A（0，3），B（﹣3，0）， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3）， ∴PK＝﹣t2﹣3t， ∵∠BAO＝45°， ∴AE＝KE， ∴KE＝3﹣t﹣3＝﹣t， ∴PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4， 当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P(﹣2，3）；（8分） （3）设抛物线向右平移n个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣n）2+4， ∵抛物线平移后经过原点， ∴﹣（1﹣n）2+4＝0， 解得n＝3或n＝﹣1（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4， ∵P（﹣2，3）， ∴PR＝3，RO＝2， ∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴C（1，0）， ∴OC＝1， ∴RC＝RO+OC＝3， ∴RC＝RP， ∴△PRC为等腰Rt△， ∴∠PCB＝45°， ∵∠MCF+∠PCB＝135°， ∴∠MCF＝90°， 过C作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M． 当x＝1时， y＝﹣（x﹣2）2+4＝3， ∴M（1，3）．（12分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.不选、多选、错选均不得分） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 2．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．a3+a5＝a8 B．（a3）5＝a8 C．3x8÷x3＝3x5 D．x3•x5＝x15 5．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在第四跳407C动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次得分的平均数（保留两位小数）为（　　） A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，则cosB等于（　　） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜ B．K≤ C．K≥ D．k＜ 8．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．160W B．180W C．200W D．220W 9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 若圆半径为2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）（　　） A．d（25%）＝2 B．当m＞50%时，d（m）＞4 C．当m1＜m2时，d（m1）＜d（m2） D．当m1+m2＝100%时，d（m1）＝d（m2） 10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中（　　） A．BM与DM的积 B．BE与DE的积 C．BM与DE的积 D．BE与DM的积 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．计算的结果是 　 　． 12．2024年中国新能源汽车销量突破12000000辆．请你将数据12000000用科学记数法表示为 　 　． 13．一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球、3个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 　 　． 14．如图，在□ABCD中，以A为圆心，与BC交于点E，连接AE，AC，若AC⊥AB，AD＝10，则DE的长为 　 　． 15．如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣4），反比例函数的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于　 　． 16．如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为，则BE的长为 　 　，较长的斜边CG长为 　 　． 三、解答题：（本大题共8题，第17题6分，第18-21每题8分，第22题10分，第23-24题每题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解方程组和不等式组． （1）； （2）． 19．如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在网格内找一点P，使得△PBC≌△ABC，作出△PBC. （2）如图2，作△ABC中BC边上的中线AD． 20．“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试（百分制））进行整理、描述和分析，成绩划分为A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图如图．已知：B等级数据（单位：分）：80，80，81，82，85，86，86，88，89，89，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：m＝　 　，n＝　 　； （2）抽取的m名学生中，成绩的中位数是 　 　分； （3）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数． 21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同时在做促销活动． 甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售． 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若该单位购买此品牌粽子x盒，在甲、乙超市所需总费用分别为y1元、y2元，y2与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题： （1）分别求出y1、y2与x（x≥40）之间的函数关系式； （2）若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？ 22．如图△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F． （1）求证：AB＝AC； （2）若，，求AF的长． 23．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE， （1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 　 　，连接BD，可求出的值为 　 　； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明，请说明理由； ②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请求出. 24．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）． （1）求a，b的值； （2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E；求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标； （3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y′上一点，连接CM，当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．下列各数中，最小的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】A 【解析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．在选项A和B这两个负数中，选项A中－4的绝对值更大，所以－4反而更小，综上可知－4最小。 故答案选：A 2．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身完全重合，进行判断： 选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3．5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．从正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1． 故选B． 4．下列运算正确的是（　　） A．a3+a5＝a8 B．（a3）5＝a8 C．3x8÷x3＝3x5 D．x3•x5＝x15 【答案】C 【解析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变，指数相乘；单项式除以单项式法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；逐项计算判断： 解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、(a3)5=a15，故此选项不符合题意； C、3i8÷x3=3x5，故此选项符合题意； D、x3·x5=x8，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．巴黎奥运会中，全红婵代表跳水队参加女子十米台跳水项目，以总分425.60分获得了金牌．在第四跳407C动作中，各裁判分别给出的得分如下：9.0、9.0、9.5、9.0、9.5、9.5、9.5，则她本次得分的平均数（保留两位小数）为（　　） A．9.25 B．9.29 C．9.35 D．9.50 【答案】B 【解析】根据平均数的定义求解： 平均数= 故选：B 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，则cosB等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点A作BC边的垂线，构造出直角三角形，再结合余弦的定义： 过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB=AC,AM⊥BC，BC=12， ∴BM=BC=6． 在Rt△ABM中， cosB=. 故选：B． 7．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜ B．K≤ C．K≥ D．k＜ 【答案】B 【解析】根据一元二次方程根的判别式: 因为关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根， 所以△=(-3)2－4×2×k≥0， 解得k≤． 故选：B． 8．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．160W B．180W C．200W D．220W 【答案】D 【解析】用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数性质: 由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P=aI2+bI， 把(1,165)，(4,0)代入得： ， 解得： ∴抛物线解析式为P=－55I2+220I=－55(I－2)2+220， ∵－55＜0， ∴当I=2时，P取最大值220， 变阻器R消耗的电功率P最大为220W； 故选：D． 9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 若圆半径为2，当任务完成的百分比为m时，弦AB的长度记为d（m）（　　） A．d（25%）＝2 B．当m＞50%时，d（m）＞4 C．当m1＜m2时，d（m1）＜d（m2） D．当m1+m2＝100%时，d（m1）＝d（m2） 【答案】D 【解析】根据已知，利用图象判断: A、d(25%)=＞2，本选项不符合题意； B、当m＞50%时，0＜d(m)＜4，本选项不符合题意； C、当m1＜m2时，d(m1)与d(m2)可能相等，可能不等，本选项不符合题意； D、当m1＜m2=100%时，d(m1)=d(m2)，本选项符合题意； 故选：D． 10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中（　　） A．BM与DM的积 B．BE与DE的积 C．BM与DE的积 D．BE与DM的积 【答案】A 【解析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理建立关于x的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积: 设小正方形EFCG的边长为x，设BM=BF=a,DG=DM=b， 则AB=a+x，BC=b+x.， ∴AC=a+b， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2， 即(a+b)2=(a+x)2+(b+x)2， 整理得，x2+(a+b)x=ab， 矩形的面积为：(a+x)(b+x)=x2+(a+b)x+ab=2ab， 该矩形的面积为2ab． 矩形的面积是BM与DM的积， 故选：A． 二、填空题 11．计算的结果是 　 　． 【答案】1 【解析】利用分式的加减法则计算: 原式=， 故答案为：1． 12．2024年中国新能源汽车销量突破12000000辆．请你将数据12000000用科学记数法表示为 　 　． 【答案】1.2×107 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值...10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数: 12000000=1.2×107 故答案为：1.2×107． 13．一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球、3个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 　 　．  【答案】 【解析】根据题意，可得黑球的数目与球的总数目，进而由概率的计算方法可得摸出的球是黑球的概率: 根据题意，布袋中装有6个球，其中3个黑球， 则摸出的球是黑球的概率是； 故答案为：． 14．如图，在□ABCD中，以A为圆心，与BC交于点E，连接AE，AC，若AC⊥AB，AD＝10，则DE的长为 　 　． 【答案】8 【解析】由题意可知，AB=AE，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AB＝CD，BC=AD=10，得到AE=DC，判定四边形AECD是等腰梯形，推出AC=DE，由勾股定理求出AC==8，即可得到DE=AC=8． 故答案为8． 15．如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，﹣4），反比例函数的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于　 　． 【答案】﹣6 【解析】首先得出△AEB≌△GBE，再利用四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，进而得出AE与BC之间的关系，由△BCF∽△EAO，得出C点坐标，进而求出k的值: 如图，作CF⊥y轴于F，作EG⊥BC于G， ∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°， ∴四边形ABGE是矩形， 在△AEB和△GBE中， ∵， ∴△AEB≌△GBE(SSS)， ∵A、B的坐标分别是A(－2,0)、B(0，－4)， ∴AB直线线解析式为：y=kx+b， 故将两点代入得出：， 解得：， 故直线AB解析式为：y=－2x－4， ∵AD⊥AB， ∴AD直线的方程为：y=x+b， 再将A(－2,0)代入解析式得：0=×(－2)+b， 解得：b=1， ∴E(0,1) ∵S四边形BCDE＝5S△AEB ∴S四边形BCDE＝5S△GBE ∴S四边形CDEG＝4S△GBE ∴CG＝2BG＝2AE＝22， ∴BG， ∵∠AEO＝∠CBF，∠EOA＝∠CFB＝90°， ∴△BCF∽△EAO， ∴3 ∴BF＝3EO＝3，CF＝3AO＝6， ∴OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1， 设C的坐标为（x，y）则x＝6，y＝﹣1． 故k＝xy＝6×（﹣1）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 16．如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为，则BE的长为 　 　，较长的斜边CG长为 　 　． 【答案】2 【解析】分别过O、G作AB的平行线RQ、GP，作OM∥BC交AB于点M，连接EC、GF，证明△EOC≌△FOG，再证明Rt△EBC≌Rt△FPG （HL），可得BE＝FP，设BE＝x，BF＝y，然后根据勾股定理: 如图，分别过O、G作AB的平行线RQ、GP，作OM∥BC交AB于点M，连接EC、GF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM， ∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴四边形MBQO、PCDG、QPGR都是矩形， ∴AB＝BC＝CD＝GP＝10，GD＝PC， 由题意可知：OE＝OF，OC＝OG，∠EOF＝∠COG＝90°， ∴∠EOC＝∠FOG， 在△EOC和△FOG中， ， ∴△EOC≌△FOG （SAS）， ∴EC＝FG， 在Rt△EBC和Rt△FPG中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△FPG （HL）， ∴BE＝FP， 设BE＝x，BF＝y， ∴FP＝BE＝x，GD＝BF＝PC＝y， ∵EF＝2，CB＝10， 在Rt△BEF中，根据勾股定理得： BE2+BF2＝EF2， ∴x2+y2＝（2）2， ∵BF+FP+PC＝BC， ∴y+x+y＝10， 解得x＝2，y＝4， ∴BE＝2，BF＝GD＝4， ∴GC2， 故答案为：2，2． 三、解答题 17．计算：． 【解析】先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案． 解： = = =0． 18．解方程组和不等式组． （1）； （2）．   【解析】（1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解：（1）， ①+②得：2x﹣y+3x+y＝3+2， 整理得：5x＝5， 解得x＝1， 将x＝1代入①得：2×1﹣y＝3， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）， 解①得，x≥﹣2； 解②得，x＜1； ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1． 19．如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在网格内找一点P，使得△PBC≌△ABC，作出△PBC. （2）如图2，作△ABC中BC边上的中线AD． 【解析】（1）根据全等三角形的概念，结合全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）根据中位线的性质，通过AC中点作中位线找到边BC的中点D，从而画出中线AD。 解：（1）如下图所示，点P即为所求。（点P在点A右侧一个单位格点处） （2）如下图所示，线段AD即为所求。（过AC中点M作MD∥AB，交BC于点D，点D即为BC中点，连接AD即可。） P M D 20．“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试（百分制））进行整理、描述和分析，成绩划分为A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图如图．已知：B等级数据（单位：分）：80，80，81，82，85，86，86，88，89，89，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空：m＝　 　，n＝　 　； （2）抽取的m名学生中，成绩的中位数是 　 　分； （3）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数． 【解析】（1）由图得D等级有5人，占10%，可求m，从而可求n的值，即可求解；求出C等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据众数、中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘A等级所占的百分比之和即可． 解：（1）由图得：D等级有5人，占10%， ∴m＝5÷10%＝50， ∴n%＝×100%＝20%， ∴n＝20． 等级C的人数：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：50，20； （2）把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，85，86，86，88，89，89 中间两个数是85、86， ∴中位数是＝85.5； 故答案为：85.5； （3）×2100＝840（人）， 答：成绩能达到A等级的学生人数为840人． 21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同时在做促销活动． 甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售． 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若该单位购买此品牌粽子x盒，在甲、乙超市所需总费用分别为y1元、y2元，y2与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题： （1）分别求出y1、y2与x（x≥40）之间的函数关系式； （2）若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？ 【解析】（1）根据题意可得y1＝80×0.7x＝56x+200（x≥40），用待定系数法可得y2＝50x+1200（x≥40）； （2）当x＝100时，求出y1，y2的值再比较可得答案． 解：（1）由图得：D等级有5人，占10%， ∴m＝5÷10%＝50， ∴n%＝×100%＝20%， ∴n＝20． 等级C的人数：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：50，20； （2）把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，85，86，86，88，89，89 中间两个数是85、86， ∴中位数是＝85.5； 故答案为：85.5； （3）×2100＝840（人）， 答：成绩能达到A等级的学生人数为840人． 22．如图△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F． （1）求证：AB＝AC； （2）若，，求AF的长． 【解析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠B＝∠ODB，由切线的性质得DE⊥OD，而DE⊥AC，所以AC∥OD，则∠C＝∠ODB，所以∠C＝∠B，则AB＝AC； （2）连接AD、FD，则∠F＝∠B，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝∠ADC＝90°，可证明∠ADE＝∠F，进而证明△AED∽△DEF，得，因为AE，DE＝2，所以EF4，则AF＝EF﹣AE＝3． 解：（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠ODB， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． （2）解：连接AD、FD，则∠F=∠B， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝∠C， ∴∠ADE＝∠F， ∵∠AED＝∠DEF， ∴△AED∽△DEF， ∴， ∵AE＝，DE＝， ∴EF＝， ∴AF＝EF﹣AE＝， ∴AF的长是． . 23．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE， （1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为 　 　，连接BD，可求出的值为 　 　； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明，请说明理由； ②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请求出. 【解析】（1）由正方形的性质得∠BDC＝45°，，∠BAD＝90°，AB＝AD，由旋转的性质得AB＝AB′，∠BAB′＝60°，推出△ABB′为等边三角形，∠B′AD＝30°，∠AB'B＝60°，∠AB′D＝75°，∠DB'E＝45°，易证△DEB'为等腰直角三角形，得出∠BDC＝∠B'DE＝45°，，再证△BDB'∽△CDE，即可得出结果； （2）①由旋转的性质得AB＝AB'，∠BAB'＝α，推出∠AB′B＝90°，∠AB′D＝135°，∠EB'D＝45°，易证△DEB'是等腰直角三角形，得出，由正方形的性质得，∠BDC＝45°，再证明△B'DB∽△EDC，即可得出结论； ②若以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以CD为边时，则CD∥B'E，此时点B'在线段BA的延长线上，此时点E与点A重合，BE＝CD＝B′E，即可得出结果；第二种以CD为对角线时，由平行四边形的性质得B′F＝EFB′E，点F为CD中点，证明△BCF∽△CB'F∽△BB'C，得出2，则BB'＝4B'F，BE＝6B'F，B'E＝2B'F，即可得出结果． 解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°，，∠BAD＝90°，AB=AD， 由旋转的性质得：AB＝AB′，∠BAB′＝60°， ∴AB＝AD＝AB′，△ABB′为等边三角形，∠B′AD=90°－60°=30°， ∴∠AB'B＝60°，∠AB′D＝， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠DEB'＝90°， ∴∠B'DE＝45°， ∴△DEB'为等腰直角三角形， ∴∠BDC＝∠B'DE＝45°，， ∴∠BDC﹣∠B'DC＝∠B'DE﹣∠B'DC，即∠BDB'＝∠CDE， ∵， ∴△BDB'∽△CDE， ∴， 故答案为：等腰直角三角形，； （2）①两个结论仍然成立，理由如下： 连接BD，如图2所示： 由旋转的性质得：AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB′B＝×（180°﹣α）＝90°－， ∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB′D＝×（180°－α+90°）＝135°－， ∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°－－90°+ =45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴＝， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，∠BDC＝45°， ∴， ∵∠EDB'＝∠BDC， ∴∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∽△EDC， ∴, ∴（1）中的两个结论不变，依然成立； ②若以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以CD为边时，则CD∥B'E， 此时点B'在线段BA的延长线上，如图3所示： 此时点E与点A重合， ∴BE＝CD＝B′E， ∴； 第二种：当以CD为对角线时，如图4所示： ∵四边形CB′DE是平行四边形， ∴B′F＝EF＝B′E，点F为CD中点， ∴BC＝CD＝2CF， ∵DE⊥BB'， ∴CB'⊥BB'， ∴∠BB′C＝∠CB′F＝90°， ∵∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠CB′F＝∠BB′C， ∵∠CBF＝∠B′BC，∠BFC＝∠CFB′， ∴△BCF∽△CB'F∽△BB'C， ∴， ∴BB'＝4B'F， ∴BE＝6B'F，B'E＝2B'F， ∴, 综上所述，的值为3或1． 24．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）． （1）求a，b的值； （2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E；求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标； （3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y′上一点，连接CM，当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【解析】（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3中，再计算即可． （2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，得直线AB的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P（﹣2，3）； （3）先求平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，再证明△PRC为等腰Rt△，由∠MCF+∠PCB＝135°，得∠MCF＝90°，过C作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M．当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+4＝3，故M（1，3）． 解：（1）将B（﹣3，0），C(1，0)代入y＝ax2+bx+3中， ∴， ∴a＝﹣1，b＝﹣2． （2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵A（0，3），B（﹣3，0）， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3）， ∴PK＝﹣t2﹣3t， ∵∠BAO＝45°， ∴AE＝KE， ∴KE＝3﹣t﹣3＝﹣t， ∴PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4， 当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P(﹣2，3）； （3）设抛物线向右平移n个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣n）2+4， ∵抛物线平移后经过原点， ∴﹣（1﹣n）2+4＝0， 解得n＝3或n＝﹣1（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4， ∵P（﹣2，3）， ∴PR＝3，RO＝2， ∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴C（1，0）， ∴OC＝1， ∴RC＝RO+OC＝3， ∴RC＝RP， ∴△PRC为等腰Rt△， ∴∠PCB＝45°， ∵∠MCF+∠PCB＝135°， ∴∠MCF＝90°， 过C作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M． 当x＝1时， y＝﹣（x﹣2）2+4＝3， ∴M（1，3）． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$