专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2．用于解决带有平方关系的证明问题； 3．与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24八年级下·湖南常德·期中）生活经验表明：如图①，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为的梯子，如图②，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达高的墙头吗？    1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． (1)求该冰滑梯的高度； (2)求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？ 小明不完整的求解过程如下： (1)设米，则 （用含的代数式表示） (2)请帮小明求出的值． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB. 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部，是否会落在与它的底部A距离5m的快车道上？ 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.    （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管按图中所示的方式放进杯里，露在杯口外面的吸管长4.6 cm则吸管有多长? 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：如图，有一个水池，其横截面是矩形，边长EF为10尺，在水池正中央有一根垂直于水面（BD）的芦苇（OA），它的顶端A高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端A恰好到达池边的水面B处，求水池里水的深度（OC）是多少尺？ 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平静的湖面上有一支红莲BA，高出水面的部分AC为0.5米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离CD为2米，则湖水深CB为多少？ 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（2024·湖南·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． (1)如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． (2)求点与小岛的距离． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【经典例题七 河宽问题】 【例7】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝65 m，AC＝25 m．求A，B两点间的距离． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 2．（2024·湖南常德·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，要在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的单价为20元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 1．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 3．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）2024年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 3．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． (1)求出点到线段的最小距离； (2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 1．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 3．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3） 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 2．（24-25八年级下·湖南常德·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 3．（24-25八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 米． 7．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ．    8．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进40海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海岛到航线的距离是 海里．    10．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 12．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 14．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 15．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2．用于解决带有平方关系的证明问题； 3．与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（23-24八年级下·湖南常德·期中）生活经验表明：如图①，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为的梯子，如图②，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达高的墙头吗？    【答案】梯子的顶端能到达5.6米高的墙头 【分析】 根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与比较即可作出判断． 【详解】 解：由题意知：，， 在中， ，， ， 梯子的顶端距离地面的高度为， ， 梯子的顶端能到达5.6米高的墙头． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据习惯和告诉的梯子的长度求出梯子的底端距离墙面的距离． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由． 【答案】梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米，理由见解析． 【分析】 根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，，，， 在 中，由勾股定理得： ， 当 滑到 时，， ； 在 中， ， ． 答：梯子的顶端下滑 米后，底端将水平滑动 米． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中，，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）2023年 12月 18 日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为 于点C．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点 B移至点D，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． (1)求该冰滑梯的高度； (2)求冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离（计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道 没有起伏，为平直的斜坡）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）根据含的直角三角形的性质可得即可求解； （2）运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， 则该冰滑梯的高度为； （2）解：依题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则， 在中，由勾股定理可得： ， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】，， ， 在中 ，， 设秋千的绳索长为，则， ， 解得： 绳索的长度． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？ 小明不完整的求解过程如下： (1)设米，则 （用含的代数式表示） (2)请帮小明求出的值． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用， （1）用表示处，在中，根据勾股定理即可用含的代数式表示； （2）在中，用的代数式表示处，根据，列方程即可解出； 能灵活运用勾股定理列代数式、列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题知：，，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度为米． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米： （2）由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， ∴米． 故绳结离地面米高．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=14米，CD=9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE=BD=12，AE=AB-CD=5， 在直角三角形AEC中， ． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB. 【答案】终止点与原出发点的距离AB=100（米） 【分析】根据小明在操场上只向南和向东行走，而且两个方向垂直，分别求出其实际向南所走路程和实际向东所走路程，利用勾股定理求得其终止点与原出发点之间的距离即可． 【详解】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40＋40＝80米，BC＝70－20＋10＝60米， ∴终止点与原出发点的距离AB＝＝100（米）． 答：小明到达的终止点与原出发点的距离为100米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的求出实际向南和向东所走的路程，构造出直角三角形利用勾股定理求解． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)7米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，   ， （米）， （米）， 他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 【答案】这个梯子有米长． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得的长，然后再利用勾股定理求得斜边的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，， ∴米， ∴， ∴， ∴， ∵米， 由勾股定理得：， ∴（米），即这个梯子的长应是米， 答：这个梯子有米长． 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部，是否会落在与它的底部A距离5m的快车道上？ 【答案】倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【分析】先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【详解】解：根据题意，m，m， 则m， ∴m， 又因为， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出的长度． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB． 【答案】风筝距离地面的高度AB为12米 【分析】设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度AB． 【详解】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米， 由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米， 在Rt△ABC中，， 即， 解得x＝12， 答：风筝距离地面的高度AB为12米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.    （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险． 【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米， ∵∠A=90°， ∴AB2+AC2=BC2， 又∵AB=4米， ∴AC=3米，BC=5米， ∴旗杆距地面3m处折断； （2）如图，    ∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米， ∴BD=8-1.75=6.25米， ∴AB==6米， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管按图中所示的方式放进杯里，露在杯口外面的吸管长4.6 cm则吸管有多长? 【答案】吸管长17.6 cm． 【分析】根据勾股定理计算出吸管在杯内部分的长度，再计算得出结果． 【详解】解：设吸管在杯内部分的长为x cm， 由勾股定理得：， ∴13+4.6=17.6(cm)， 答：吸管长17.6 cm． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：如图，有一个水池，其横截面是矩形，边长EF为10尺，在水池正中央有一根垂直于水面（BD）的芦苇（OA），它的顶端A高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端A恰好到达池边的水面B处，求水池里水的深度（OC）是多少尺？ 【答案】12 【分析】设水池里水的深度是x尺，则OC=BE=x尺，OB=OA=（x+1）尺，然后运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x尺，则OC=BE=x尺，OB=OA=（x+1）尺 由勾股定理可得：OB2=BE2+OE2,即：（x+1）2=52+x2，解得：x=12． 答：水池里水的深度（OC）是12尺． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平静的湖面上有一支红莲BA，高出水面的部分AC为0.5米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离CD为2米，则湖水深CB为多少？ 【答案】湖水深BC为米 【分析】直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设BC为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深BC为米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 【答案】（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析 【分析】（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可 （2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏电视机的长和宽，再分别加2即可 （3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可 【详解】解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下： ∵宽屏的长宽比为； ∴宽屏的宽与长的比为； ∴0.5625-0.618=-0.0555 ∵普屏的长宽比为． ∴普屏的宽与长的比为 ∴0.75-0.618=0.132 ∴宽屏更适合人体工程学要求 （2）∵宽屏的长宽比为； ∴设长为16xcm，则宽为9xcm(x>0)， ∵电视机屏幕为80寸， ∴（16x）2+（9x）2=(802， ∴ ∴， ∴长为16，宽为9x= ∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm （3）普屏的屏幕面积大，理由如下： 设相同尺寸为a寸，宽屏电视的长宽分别为16m和9m， 普屏电视的长宽分别为4n和3n ∴， ∴， ∴宽屏的屏幕面积= 普屏的屏幕面积= ∵ ∴普屏的屏幕面积大 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（2024·湖南·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得 （海里）， （海里）， （海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． (1)如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． (2)求点与小岛的距离． 【答案】(1)没有触礁危险；理由见解析 (2)海里 【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里； （2）根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作于点Q，如图所示： 则， 根据题意得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴没有触礁危险． （2）解：根据解析（1）可知，海里，海里， ∴（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， 点与小岛的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，求一个数的算术平方根，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】（1）36；（2）船向岸边移动了米 【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可； （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形的面积 ； 解：（2）在中， ∵， ∴， ∴米， ∴船向岸边移动了米 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答． 【经典例题七 河宽问题】 【例7】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝65 m，AC＝25 m．求A，B两点间的距离． 【答案】60m 【分析】利用勾股定理解直角三角形ABC即可得到答案. 【详解】解：∵  点C是与BA方向成直角的AC方向上一点， ∴  ∠BAC＝90°． 在Rt△BAC中，BC＝65 m，AC＝25 m， ∴  AB 2＋AC 2＝BC 2． ∴  AB 2＝BC 2－AC 2＝65 2－25 2＝65 2－25 2＝3600． ∴  AB＝60． 答：A，B两点间的距离为60 m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【答案】能通过，理由见解析. 【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过． 【详解】能通过． 如图中的长方形是卡车横截面的示意图： 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得 ， 解得， ∵， ∴卡车能通过． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意化出图形. 2．（2024·湖南常德·一模）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【答案】长约为． 【分析】如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】如图，过点作于点， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 答：长约为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，要在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，若楼梯宽为1.5米，地毯的单价为20元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算． 【答案】210 【分析】利用勾股定理求得三角形的底边长，然后根据地毯长度=BC+AC可知地毯长=7米，然后再根据题意计算即可． 【详解】解：如图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC==4米． 地毯的总长=BC+AC=4+3=7米． 地毯的面积=7×1.5=10.5平方米． 地毯的总价=20×10.5=210元． 故答案为210元． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，依据勾股定理求得BC的长，从而得到地毯的总长度是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 【答案】最短路程是150cm． 【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90， 由勾股定理得：AB＝＝＝150cm， 答：最短路程是150cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 【答案】铅笔盒的宽的长度为． 【分析】设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，然后根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：设铅笔盒的宽的长度为，则笔长， 由题意得， 解得． 答：铅笔盒的宽的长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级下·湖南株洲·期中）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 1．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 3．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A 行驶向点 B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，过点作于，先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：，，， ． 是直角三角形， 如图，过点作于， ， ， ， 海港受到台风影响； 如图，当时，正好影响港口． 在中，由勾股定理得， ∵，时， ∴， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）2024年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，则，根据勾股定理求出的长，即可． 【详解】（1）解：会受到台风的影响．理由如下： 如图， 过点A作，垂足为D， ， 在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为． 3．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为． (1)求出点到线段的最小距离； (2)请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间． 【答案】(1)点到线段的最小距离为； (2)能，可接收信号的时间． 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）作于．求出即可解决问题； （2）当时，，同理，根据，求出运动时间即可解决问题； 【详解】（1）解：作于． 在中，，， 则是等腰直角三角形， ， ， 答：点到线段的最小距离为； （2）解：， 点处能接收到信号． 当时，， 当时，， ， 可接收信号的时间． 答：可接收信号的时间． 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 1．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距，B，C为两村庄，于A，于D，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距离点，10千米处 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又∵， ， ， 答：站应建在距离点，10千米处． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径．将长方体沿剪开，使，，处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中或中，用勾股定理求解再比较大小即可． 【详解】解：如图，展开图如下两种情况： 由题意可知，，处于同一平面，连接、， ∴在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ∴蚂蚁的最短路径为． 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【答案】 【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 答：所用彩条最短长度是． 2．（24-25八年级下·湖南常德·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 3．（24-25八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，解题的关键在于根据立体图形得到筷子露在盒外的部分h（）最短和最长的情况．根据图形得到筷子露在盒外的部分h（）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的部分h（）最短的取值，即可解题． 【详解】解：由图知，筷子露在盒外的部分h（）最长为：（）， （）， 当筷子斜插于盒内时，即筷子露在盒外的部分h（）最短为： （）， 筷子露在盒外的部分h()的取值范围为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为(      )． A．80米 B．100米 C．72米 D．112米 【答案】A 【分析】实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它. 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解: 将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4， 由勾股定理得：AB＝＝＝5． 故选B． 【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键． 5．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km． 所以，E应建在距A点15km处． 故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 米． 【答案】/ 【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设较高端点距离地面的高度为h米， 根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25， ∴h＝1.5（米）， 故答案为：1.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键． 7．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， 的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 8．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ． 【答案】5m 【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC=AC， 设BC=AC=xm， 则OC=（9-x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2， ∴32+（9-x）2=x2， 解得x=5． 故答案为：5m． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进40海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海岛到航线的距离是 海里．    【答案】 【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出，再由三角形外角的性质得到，根据等角对等边得出，然后解，求出的长即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∴海里 在中，， ∴ ∴海里， ∴， 即 答：海岛到航线的距离是海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了航海问题-方向角问题，勾股定理，等角对等边，直角三角形30度角的性质，难度适中，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为勾股定理的问题进行求解． 10．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 【答案】10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：米， ∴米， ∴米， ∴风筝离地面的高度为10米． 12．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】此题主要考查了30度直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）作，先根据30度直角三角形求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）求出海里，再根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作于C， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离灯塔P有海里； （2）解：∵海里，，（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∵轮船的航速是每小时20海里， ∴， ∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处． 14．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)为从村庄到河边最近的路，理由见详解 (2)169米 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识． （1）根据勾股定理逆定理证明，得解，即可得到为从村庄到河边最近的路； （2）设米，得到米，米，根据勾股定理列出方程，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：为从村庄到河边最近的路． 证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为从村庄到河边最近的路； （2）解：设米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， 解得， ∴的长为169米． 15．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$