第八章 整式的乘除课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

第八章 整式的乘除 3 乘法公式 第1课时 认识平方差公式 1 练点1 平方差公式的应用条件 1. [2024·枣庄滕州月考] 下列各式中，不能用平方差公式计 算的是( ) D A. B. C. D. 2. [2024·淄博一模] 如果计算 时，能使用 平方差公式，则, 应满足( ) C A. ,同号 B. , 异号 C. D. 返回 基础题 2 练点2 平方差公式的简单应用 3. [2024·济宁二模] 计算： ( ) D A. B. C. D. 4. [2024·枣庄期中] 若 ，则 ， 的值为( ) B A. 2，3 B. ， C. 2， D. ，3 5. 等式( ) 中，括号内应填入( ) C A. B. C. D. 6.[2024·上海] 计算： ________. 返回 基础题 3 7.[2024·济南历下区期中] 若， ，则 ___. 4 8.[2024·内江] 化简： . 【解】原式 ． 返回 基础题 4 纠易错 对平方差公式的特征理解不透彻而导致出错 9. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 5 10. 若，则 等于( ) B A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 11. [2024·德州陵城区期末] 若 ，则 ( ) B A. 3 B. 6 C. D. 【点拨】 因为 ，所以 .所以 .所以.又因为 ， 所以 ． 返回 综合应用题 6 12. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 （3） . 原式 . 返回 综合应用题 7 13. 某同学化简 出现了错误，解答过程如下： 原式 （第一步） （第二步） .（第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么? 【解】该同学解题过程从第二步开始出错，错误的原因是去 括号时第二项没有变号. 综合应用题 8 （2）写出此题正确的解答过程. 【解】正确的解答过程为： 原式 ． 返回 综合应用题 9 14. 对有理数，，，定义新运算 ， 规定 ，请你根据新定义解答下列问题： （1）计算 ； 【解】由题意可得 . 综合应用题 10 （2）当， 时，求（1）的值. 【解】当， 时， . 返回 综合应用题 11 15.下面是一道例题及部分解答过程，其中， 是两个关于 ， 的二项式. 例题：先去括号，再合并同类项: . 解：原式 ____. 注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号. 请仔细观察上面的例题及解答过程，回答下列问题： 综合应用题 12 （1）直接写出多项式和 ，并求出该例题的运算结果； 【解】， ， 原式 . （2）求多项式与 的平方差. . 返回 综合应用题 13 16. 阅读：在计算 的过程中，我们可以 先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题， 通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数 学中把这样的过程叫作从特殊到一般. 创新拓展题 14 【观察】 ； ； ； …. （1）【归纳】由此可得 _________； 创新拓展题 15 （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算： ； 【解】 . 创新拓展题 16 （3）【拓展】请运用上面的方法，求 的值. 创新拓展题 17 ． 返回 创新拓展题 18 $$第八章 整式的乘除 3 乘法公式 第3课时 完全平方公式及应用 1 练点1 完全平方式的特征 1. [2024·济南市中区月考] 下列多项式中是完全平方式的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 练点2 完全平方公式 2. 计算： ( ) A A. B. C. D. 3. 下列各式中与 相等的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 3 4. [2024·泰安月考] 下列等式能够成立的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 4 5.[2024·济南槐荫区月考] 计算： （1） ___________________； 【点拨】 . （2） ________________. 【点拨】 . 返回 基础题 5 6. 已知，求 的值. 【解】因为 ,所以 ． 7.[2024·陕西] 先化简，再求值： ，其中 ， . 【解】原式 . 当，时，原式 ． 返回 基础题 6 练点3 完全平方公式的几何意义 8.利用图形中面积的等量关系可以得到某 些数学公式.例如，如图，根据图甲，我 们可以得到两数和的平方公式： .你根据图乙能得到的数学公式是 ________________________. 返回 基础题 7 纠易错 对完全平方公式的特征理解不透导致漏解 9. 已知，，则 等于( ) C A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不正确 返回 基础题 8 10. [2024·潍坊青州月考] 若， ， 则 的值为( ) C A. B. 24 C. 25 D. 50 11. 在下面的正方形分割方案中，可 以验证 的图形是( ) D A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 12. [2024·济南莱芜区月考] 已知 ，则 的值是 ( ) B A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 【点拨】因为 ， 所以 ，即 .所以 ，即 ． 返回 综合应用题 10 13.[2024·乐山] 已知，，则 的值为 ____. 14.[2024·菏泽月考] 若是关于 的完全平 方式，则 _______. 29 8或 返回 综合应用题 11 15.观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； ； …. 请你猜想 的展开式中第三项的系数是____. 45 综合应用题 12 【点拨】各式及其展开式的规律如下： 等式左边的指数依次为0，1，2，3，4， ，10，等式右边的项数依次为1，2，3， 4，5， ，11，它们的系数满足如下关系： 由上可知 的展开式中第三项的系 数是45. 返回 综合应用题 13 16.[2024·枣庄峄城区期中] 小红在计算 时， 解答过程如下： 第一步 第二步 第三步 小红的解答从第____步开始出错，请写出正确的解答过程. 一 综合应用题 14 【解】正确的解答过程如下： . 返回 综合应用题 15 17.[2024·潍坊潍城区期末] 【知识 生成】我们已经知道，通过计算几 何图形的面积可以探究一些乘法公 式.例如，由图①可以得到 .基于此，请解答下列问题： 创新拓展题 16 【直接应用】 （1）若，，求 的值； 【解】因为， ，且 ，所以.所以 . 创新拓展题 17 【类比应用】 （2）若满足 ， 求 的值； 【解】设， ，则 ，，所以 . 创新拓展题 18 【迁移应用】 （3）如图②，已知正方形 的 边长为，，分别是， 上 的点，且， ，长方形 的面积是15，分别以 ， 为边长作正方形和正方形 ，求阴影部分的面积. 创新拓展题 19 【解】由题意得正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，因为长方形 的面积 是15，所以 ， 设，，则， ，所以 . 易知 , 所以 .所以 ． 返回 创新拓展题 20 $$第八章 整式的乘除 4 整式的除法 第1课时 单项式除以单项式 1 练点1 单项式除以单项式 1. 计算 的结果正确的是( ) B A. B. C. D. 2. [2024·临沂二模] 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 3. [2024·济南天桥区月考] 如果“”，那么“ ” 内应填的代数式是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 4. 下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 5.[2024·青岛市南区二模] _________. 返回 基础题 3 6.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） . . 返回 基础题 4 练点2 单项式的乘、除混合运算 7. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 5 8.计算： （1）[2024·菏泽期中] ； 【解】原式 . （2）[2024·济南市中区期中] . 原式 ． 返回 基础题 6 纠易错 忽略只在被除式含有的字母及其指数，在商中漏写 9. _______. 10. 一种长方体零件的体积为，底面积为 ，则 零件的高为( ) D A. B. C. D. 11. 的值为( ) D A. B. C. D. 返回 综合应用题 7 12. 若定义 表示 ， 表示 ，则运算 的结果为( ) A A. B. C. D. 13.计算： _______. 14.[2024·衡阳耒阳市校级月考] 已知 ，则 ___. 1 返回 综合应用题 8 15. 某科技馆“数理世界”展厅的 密码被设 计成如图所示的数学问题.小东在参观时认真思索，输入密码 后顺利地连接到网络，则他输入的密码是_______. 账号： 密码 2 023 返回 综合应用题 9 16.[2024·淄博淄川区二模] 已知 恰好能写成一 个二项式的平方，则 的值是_____. 返回 综合应用题 17.计算（结果用科学记数法表示）： . 【解】 . 返回 综合应用题 11 18.若为正整数，且，求 的值. 【解】原式 . 又因为，所以原式 返回 综合应用题 12 19.某中学新建了一幢科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的 顶棚装修，计划用宽为,长为 的塑料扣板，已知这 间陈列室的长为,宽为 .如果你是该校的采购人员， 应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当 时，求出具体 的扣板数. 综合应用题 13 【解】根据题意，得 （块）， 则应该至少购买 块这样的塑料扣板. 当时，扣板数为 . 返回 综合应用题 14 20.（1）已知 ，求 的值； 【解】由题意得，所以 . 创新拓展题 15 （2）已知，求， 的值； 【解】因为 ， 所以,，解得， . 创新拓展题 16 （3）先化简，再求值： ， 其中，，， . 【解】原式 . 又因为，， ，所以原式 . 返回 创新拓展题 17 $$第八章 整式的乘除 2 整式的乘除 第3课时 多项式与多项式相乘 1 练点1 多项式乘多项式的乘法法则 1. 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. 下面的计算结果为 的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 3. 已知 ，其中☆代表一个常数， 则这个常数的值为( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. [2024·枣庄滕州月考] 若 ， ，均为实数 ，则( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 基础题 3 5. 已知， ,则 的值为___. 1 返回 基础题 4 6.计算： （1）[2024·泰安岱岳区期中] ； 【解】原式 . （2） ； 原式 ． 基础题 5 （3） . 【解】原式 . 返回 基础题 6 练点2 多项式乘多项式的乘法法则的应用 7. [2024·淄博月考] 当时，的值为 ，则 的值为( ) B A. 55 B. C. 25 D. 返回 基础题 7 8. 如图，根据图①的面积可以说明多项式 的乘法运算 ，那么根据图 ②的面积可以说明多项式的乘法运算是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 8 纠易错 不理解多项式的乘法法则导致出错 9.[2024·上海宝山期中] 计算： . 【解】 . 返回 基础题 9 10. 下列各式： ； ； ； . 其中正确的有( ) C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 返回 综合应用题 10 11. [2024·威海文登区期中] 若展开后不含 的一次项，则 的值为( ) B A. 4 B. C. 8 D. 12 返回 综合应用题 11 12. [2024·济南章丘区月考] 有如图所示的正方形和长方形卡 片若干张，若要拼成一个长为、宽为 的长 方形，需要 类卡片( ) D A. 3张 B. 6张 C. 8张 D. 11张 返回 综合应用题 12 13. 在综合与实践课上，小明设计了如 下的运算： ，则12经过运算可化简为 _____________. 返回 综合应用题 13 14.甲、乙两人同时计算一道整式乘法题： ， 由于甲抄错了的符号，得到的结果是 ，乙漏抄 了第二个多项式中的系数，得到的结果是 . 综合应用题 14 （1）求 的值； 【解】由题意得 ， 所以 . 由题意得 , 所以 . 所以 . 综合应用题 15 （2）请计算这道题的正确结果. 【解】由（1）可知,,所以， .所以正确的计算结果为 . 返回 综合应用题 16 15. 综合与实践： 如图①，长方形的两边长分别为， ；如图②， 长方形的两边长分别为，.（其中 为正整数） 创新拓展题 17 （1）图①中长方形的面积 _____________,图②中长方形 的面积_____________,则___（填“ ”“”或“ ”）； 创新拓展题 18 （2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等. ①求正方形的边长；（用含 的代数式表示） 【解】因为图①中长方形的周长为 ， 所以正方形的边长为 . 创新拓展题 19 ②试探究：该正方形的面积与图①中长方形的面积 的差 （即 ）是一个常数，并求出这个常数. 【解】因为 ， 所以正方形的面积与长方形的面积 的差是一个常数，这 个常数为9. 返回 创新拓展题 20 $$第八章 整式的乘除 2 整式的乘除 第2课时 单项式与多项式相乘 1 练点1 单项式乘多项式的乘法法则 1. 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 3. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 4. [2024·青岛城阳区期中] 计算 的结果是 ( ) A A. B. C. D. 5. 的计算结果中次数是10的项的 系数是____. 返回 基础题 3 6.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 基础题 4 练点2 单项式乘多项式的乘法法则的应用 7. [2024·淄博张店区月考] 在一次数学课上，学习了单项式 乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一 道题：，“ ”的地方 被墨水弄污了，你认为“ ”内应填写( ) C A. 1 B. C. D. 返回 基础题 5 8. 神舟十九号载人 飞船成功发射，激发了中小学生对航 天事业的热爱.李华在手工课上制作 了一个火箭模型（如图①），图②是 其中一个重要零件及各边的长度，则 图②中零件的面积为( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 6 9.一个长方体的长、宽、高分别是，和 ，则它的表 面积是____________. 返回 基础题 7 纠易错 相乘时积的符号出错或漏乘项 10. [2024·泰安月考] 已知 ，则 的值等于( ) C A. B. 0 C. 1 D. 无法确定 返回 基础题 8 11. 下列计算错误的是( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 12. [2024·济南章丘区期中] 已知， ， ，若的值与的取值无关，则 的 值为( ) A A. B. 3 C. 5 D. 4 返回 综合应用题 10 13. 如图所示的图案均由边长相同的小正方 形按一定的规律组成：第1个图中有1个小正方形，第2个图 中有3个小正方形， ，依此规律，则第5个图中有____个小 正方形，第个图中有___________个小正方形（用含 的代 数式表示）. 15 综合应用题 11 【点拨】第1个图中有1个小正方形，第2个图中有 （个）小正方形, ,依此规律，第5个图中有 （个）小正方形, ,第 个图中有 个小正方形. 返回 综合应用题 12 14. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形， 上底宽米，下底宽米，坝高 米. （1）求防洪堤坝的横断面积. 【解】防洪堤坝的横断面积 平方米． 综合应用题 13 （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多 少立方米？ 【解】这段防洪堤坝的体积 立方米． 返回 综合应用题 14 15.[2024·济南莱芜区月考] 某同学计算一个多项式乘 时， 因抄错符号，算成了加上，得到的答案是 . （1）求这个多项式. 【解】这个多项式是 . 综合应用题 15 （2）正确的计算结果应该是多少？ 【解】正确的计算结果为 ． 返回 综合应用题 16 16.[2024·青岛即墨区月考] 当， 为何值时， 的展开式中不含项和 项？ 【解】 . 因为展开式中不含项和 项， 所以，，解得， . 返回 综合应用题 17 17. 如图，两个形状大小相同的长方形 和长方形，点在边上，， ， 且 . （1）如图①中阴影部分的面积为____；（用含， 的代数 式表示） 创新拓展题 18 （2）如图②，分别连接，，，试比较 与 的面积大小，并说明理由； 创新拓展题 19 【解】 .理由如下： 因为 ， ，所 以 . 创新拓展题 20 （3）求图②中阴影部分的面积. （用含， 的代数式表示） 创新拓展题 21 【解】如图，延长,交于点 ，则 . 返回 创新拓展题 22 $$第八章 整式的乘除 3 乘法公式 第2课时 平方差公式的应用 1 练点1 平方差公式的验证 1. 如图，从边长为 的正方 形中去掉一个边长为 的小正方形，然后将 A A. B. C. D. 剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ( ) 返回 基础题 2 2. 两个大小不一的正方形①和②按如图①放置时， ， .现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图②所示形 状，那么阴影部分的面积可用， 表示为( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 3 练点2 利用平方差公式简化运算 3.[2024·济南期末] 计算： _____. 199 返回 基础题 4 4.[2024·济南天桥区期中] 用乘法公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 基础题 5 （3） . 【解】原式 ． 返回 基础题 6 练点3 平方差公式的实际应用 5. 小王叔叔改建一个边长为 的正方 形养鸡场，计划纵向扩大，横向缩短 ，则改建后养鸡 场面积的变化情况是( ) A A. 面积减少 B. 面积增加 C. 面积增加 D. 面积不变 返回 基础题 7 6. [2024·潍坊潍城区期末] 在数学实践课上，“智慧小组”将 大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅 拼法中，不能验证平方差公式的是( ) D A. B. C. D. 返回 综合应用题 8 7. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数 的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如 ， ， ，因此4，12，20都是“神秘数”， 则下面是“神秘数”的是( ) D A. 40 B. 46 C. 48 D. 52 综合应用题 9 【点拨】因为“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差，所 以“神秘数”满足为整数 的规律， .A.令 ，解得 ，不是整数，所以40不是“神秘数”，不符合题意；B.令 ，解得 ，不是整数，所以46不是“神秘 数”，不符合题意；C.令，解得 ，不是 综合应用题 10 整数，所以48不是“神秘数”，不符合题意；D.令 ，解得 ，是整数，所以52是“神秘数”， 符合题意.故选D． 返回 综合应用题 8.如图，大正方形的边长为 ，小正 方形的边长为，点在 上，大正 方形与小正方形的面积差为60，则阴影部 分的面积为____. 30 【点拨】由题意得， ， 所以 . 返回 综合应用题 12 9. 计算 的 结果是_________. 返回 综合应用题 13 10. 观察： . 运用上面的方法计算： 综合应用题 14 （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 综合应用题 15 11.已知 ，求 的值. 【解】因为，所以 ， .所以，.所以 ． 返回 综合应用题 16 12. 先观察下面的解题过程，然后解答 问题： 例题：化简： . 解： 创新拓展题 17 . 计算： . 创新拓展题 【解】原式 创新拓展题 19 ． 返回 创新拓展题 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第7课时 科学记数法 1 练点 用科学记数法表示绝对值小于1的非零小数 1. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和 更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管.目前，某品牌 手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 ，将数据 用科学记数法表示为 ( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. 中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系 统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子 信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处 理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍， 在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当 前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之 一”用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 3 3. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白 日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔 在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为 ，用科学记数法表示 ， 则 ____. 返回 基础题 4 4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只 有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一.已知1毫米 百万 纳米， 毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为 ( ) B A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 返回 综合应用题 5 5. 当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达 地球的时间约为22分.已知光速约为 米/秒，则地球与 火星处于最远位置时的距离是( ) A A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 返回 综合应用题 6 6. 一个正方体纸箱的棱长为 . （1）这个纸箱的体积是多少（用科学记数法表示）？ 【解】 . 答：这个纸箱的体积是 . （2）已知一个小立方块的棱长为 ，多少个这样的 小立方块才能将纸箱装满？ （个）. 答：64 000个这样的小立方块才能将纸箱装满. 返回 创新拓展题 7 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第5课时 零指数幂与负整数指数幂 1 练点1 零指数幂 1. 要使有意义，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 2. [2024·聊城月考] 对于 ，以下结果正确的是( ) A A. B. C. D. 无意义 3.计算： ___. 4.若,则 _________. 1 或 返回 基础题 2 练点2 负整数指数幂 5. 计算 的值是( ) A A. B. 2 C. D. 6. 的倒数是( ) C A. B. C. 2 025 D. 返回 基础题 3 7. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. B 返回 基础题 8.用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值. （1） _ _____； （2） _ __； （3） _ _____； （4） _ __； （5） ___. 1 返回 基础题 5 纠易错 忽视零指数幂和负整数指数幂同时成立的前提而导 致出错 9. [2024·济南莱芜区月考] 若有意义，则 的 值应该是( ) D A. B. C. 且 D. 且 返回 基础题 6 10. [2024·泰安东平区月考] 下列算式中： ； ； ； ，计算正确的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 已知， ， ，，比较，，，的大小，并用“ ” 连接起来：______________. 返回 综合应用题 7 12.已知，求整数 的值. 小红与小明的解答如下： 小红：因为 ， 所以且 ， 所以 . 小明：因为，所以 ， 所以 . 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出所 有的整数 的值. 创新拓展题 8 【解】小红与小明同学的解答不完整. 因为，所以且 .所以 . 因为，所以.所以 . 若，则 ， 当时， ; 当时， . 综上所述，整数的值为，， . 返回 创新拓展题 9 $$第八章 整式的乘除 3 乘法公式 第4课时 乘法公式的综合应用 1 练点 乘法公式的综合应用 1. 将 变形正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. 计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 3. [2024·菏泽月考] 已知， ，则 ( ) B A. B. 6 C. 12 D. 24 4.计算： . 【解】原式 ． 返回 基础题 3 5. 某同学化简 的过程如下. 解：原式 （第一步） （第二步） .（第三步） （1）该同学的解答过程从第____步开始出现错误; 一 基础题 4 （2）请写出此题正确的解答过程. 【解】原式 . 返回 基础题 5 6. 如果 ，那么代数式 的值为( ) C A. 0 B. C. 1 D. 3 返回 综合应用题 6 7.[2024·济南期中] 用4张长为 、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼 成一个边长为 的正方形， 图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面 积为.若，则， 之间存在的 数量关系是________. 返回 综合应用题 7 8.[2024·泰安肥城月考] 应用简便方法计算（要有必要的变形 过程）： （1） ； 【解】 . （2） . ． 返回 综合应用题 8 9.计算： （1） ； 【解】 . 综合应用题 9 （2） ； . 综合应用题 10 （3） . . 返回 综合应用题 11 10.[2024·青岛市北区月考] 先化简，再求值： ，其中 . 【解】原式，当时，原式 ． 返回 综合应用题 12 11.[2024·枣庄峄城区月考] 已知， ，求： （1） 的值. 【解】因为， ，所以原式 . （2） 的值. 因为， ，所以原式 ． 返回 综合应用题 13 12. 如图，某校一块边 长为 米的正方形空地是七年级四个班的 清洁区，其中分给七（1）班的清洁区是一 块边长为米的正方形 . （1）求出七（2）班的清洁区的面积. 【解】因为 ， 所以七（2）班的清洁区的面积为 平方米． 综合应用题 14 （2）七（4）班的清洁区的面积比七（1） 班的清洁区的面积多多少？ 【解】易知七（4）班的清洁区的面积为 .因为 （平方米），所以七（4）班的清洁区的面积比七（1）班的 清洁区的面积多 平方米． 返回 综合应用题 15 13.[2024·深圳期中] 【阅读材料】我们知道，图形也是一种 重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的 数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题. 创新拓展题 16 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图①所示的甲、 乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为 的正方形，乙种 纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为 的长方 形.并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了 如图②所示的一个大正方形. 创新拓展题 17 【理解应用】 （1）观察图②，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得 到一个等式，请你写出这个等式：______________________ ____. 创新拓展题 18 【拓展升华】 （2）利用（1）中的等式解决下列问题. ①已知，，求 的值； 【解】当， 时，代入（1）中的等式， 得，解得 . 创新拓展题 19 ②已知 ，求 的值. 【解】因为 ，且 ，根据（1）中的等式，得 , 所以 ． 返回 创新拓展题 20 $$第八章 整式的乘除 4 整式的除法 第2课时 多项式除以单项式 1 练点1 多项式除以单项式 1. 计算： 的结果是( ) A A. B. C. D. 2. [2024·临沂兰山区期末] 已知长方形的面积是 . 若一边长是 ，则另一边长是( ) B A. B. C. D. 3.[2024·济南市中区期中] 在 中，多项式 _____________. 返回 基础题 2 4.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 ． 返回 基础题 3 练点2 整式的混合运算 5. 小亮在计算 时，错把括号内的减 号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( ) C A. B. C. D. 无法计算 6.计算: ___________. 返回 基础题 4 7.计算： . 【解】原式 . 返回 基础题 5 8.先化简，再求值： （1）[2024·南充] ，其中 ; 【解】 ， 当时，原式 ． 基础题 6 （2）[2024·甘肃] ，其 中， . ， 当，时，原式 ． 返回 基础题 7 纠易错 多项式除以单项式，弄错符号或漏项 9. 下列计算中，正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 8 10. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小 丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她 突然发现一道题： ，那么空格中的 一项是( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 11. 如图，在边长为 的正方形纸片中剪下一个边长为 的正方形，剩余部分（即阴影部分）可剪拼成一个长 方形，若拼成的长方形一边长为 ，则其相邻边长为( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 10 12.已知一个三角形的面积等于 ，一条边长等 于 ，则这条边上的高等于_______. 返回 综合应用题 11 13.已知,均为整式， ， 小马在计算时，误把“ ”抄成了“-”，这样他计算的正 确结果为 . （1）将整式 化为最简形式； 【解】 . 综合应用题 12 （2）求整式 ； 【解】由题意，得 ． 由（1）知 , 所以.所以 . （3）求 的正确结果. 由（1）知,由（2）知 . 所以 ． 故的正确结果是 ． 返回 综合应用题 13 14. 信息时代确保信息的安全很重要，于是 在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文 传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种 加密规则如图所示，当发送方发出， 时，求解密 后明文 的值. 综合应用题 14 【解】 .因为,,所以 , . 所以 . 返回 综合应用题 15 15. 已知多项式 除以一 个多项式，得到商式，余式，求多项式 （提示：类比数的除法的运算法则，即被除数除数×商 余 数）. 【解】由题意，得 , 所以，即多项式为 ． 返回 创新拓展题 16 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第6课时 整数指数幂的运算 1 练点 整数指数幂的运算 1. 计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 【点拨】原式 . 返回 基础题 2 4. 下列运算正确的是( ) A A. B. C. D. 5.计算 _ __________________. 返回 基础题 3 6. 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 基础题 4 （3） . . 返回 基础题 5 7.若，则 的值为____. 返回 综合应用题 6 8.[2024·济南市中区期末] 计算： （1） ; 【解】原式 ． （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 综合应用题 7 9.若，求 的值. 【解】因为，所以 . 所以 . 返回 综合应用题 8 10. 对有理数和，定义运算★： ★ ， 例如3★，5★ . 计算：★★ ★ . 创新拓展题 9 【解】根据题意,得原式 . 返回 创新拓展题 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第4课时 同底数幂的除法 1 练点1 同底数幂的除法 1. 计算 的结果为( ) D A. B. C. D. 2. 若（★） ，则★为( ) D A. B. C. D. 3. [2024·烟台] 下列计算结果为 的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 4. [2024·浙江] 下列式子运算正确的是( ) D A. B. C. D. 5.若，则 ____. 25 返回 基础题 3 6.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 基础题 4 （3） ； . （4） . . 返回 基础题 5 练点2 同底数幂的除法的逆用 7. 已知，，则 ( ) D A. B. 12 C. D. 3 8. 已知，，则 的值是( ) D A. 10 B. 36 C. 96 D. 100 9.若，，则 的值为_ _. 返回 基础题 6 练点3 幂的混合运算 10. [2024·青岛崂山区月考] 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 11. 在信息技术中，数据传输通常会 涉及到带宽的计算.某网络的上传带宽为 兆/秒，上传带宽 是下载带宽的 倍.则该网络的下载带宽是____兆/秒. 32 返回 基础题 7 12.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 ． 返回 基础题 8 纠易错 在进行幂的除法计算时弄错底数符号而导致出错 13.化简： . 【解】原式 . 返回 基础题 9 14. [2024·德州德城区期末] 的值为( ) C A. B. C. D. 15. 若，，，则 的值为( ) D A. B. 10 C. 20 D. 25 16.计算： ____. 17.[2024·青岛胶州月考] 若，，则 _ _. 返回 综合应用题 10 18. 若与 为同类项， 则 的值为____. 10 【点拨】因为 ，与 为同类项，所以 .所以 . 返回 综合应用题 11 19.计算： . 【解】原式 . 20.已知，求 的值. 【解】因为 ，所以 ，解得.所以 . 返回 综合应用题 12 21.化简求值： ，其 中， . 【解】 .当，时，原式 . 返回 综合应用题 13 22.已知，，, . （1）求 的值； 【解】因为，， ， 所以 . （2）求 的值. 因为 ，所以 .所以 ． 返回 创新拓展题 14 $$第八章 整式的乘除 2 整式的乘除 第4课时 整式乘法法则的综合应用 1 练点 整式乘法法则的综合应用 1. 已知，，化简 的结果为 ( ) B A. 1 B. 2 C. D. 2. 若，则， 的值是 ( ) A A. ，12 B. 11，12 C. ， D. 11， 返回 基础题 2 3. 设多项式是二项式，是三项式，则 的结果的多项 式的项数一定( ) D A. 等于5项 B. 不多于5项 C. 多于6项 D. 不多于6项 4.[2024·济南期中] 若 ，则 ____. 5.计算 的结果是______. 返回 基础题 3 6.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3）[2024·重庆] . 原式 ． 返回 基础题 4 7.先化简,再求值: （1）,其中 ； 【解】原式 . 当时，原式 . 基础题 5 （2），其中 , . 【解】原式 . 当, 时，原式 返回 基础题 6 8. 解方程： . 【解】利用多项式乘法法则，得 , 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 . 返回 基础题 7 9. [2024·济南章丘区期中] 若 的结果中 不含项，则 的值为( ) B A. 0 B. 2 C. D. 10.[2024·枣庄薛城区期中] 已知 ，则 的值为_____. 11. 对于数，，， 规定一种运算 ，如 ， 当时， ____. 22 返回 综合应用题 8 12.小明在计算代数式 的值时， 发现不管 取什么整数，最终的结果总能被3整除，请你说明 一下理由. 【解】原式 ， 所以不管 取什么整数，该代数式最终的结果总能被3整除. 返回 综合应用题 9 13.[2024·济南期中] 如图，某中学校 园内有一块长为 米、宽为 米的长方形空地，学校计划 在中间留下一个“ ”形空地 （阴影部分）修建文化广场. （1）用含，的式子表示“ ”形空地的面积； 【解】 平方米. 综合应用题 10 （2）当， 时，求文化广 场的面积. 【解】当， 时， （平方米）. 答：此时文化广场的面积为38平方米． 返回 综合应用题 11 14.在计算，均为常数 的 值，再把，的值代入计算时，粗心的小明把 的值看错了， 其结果等于9，细心的小红把正确的， 的值代入计算，结 果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把 的值随机地换成了 ，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙， 并计算 的值. 综合应用题 12 【解】 ， 根据题意可知，原式的值与 的取值无关，所以 ，，所以 . 返回 综合应用题 13 15. 观察以下等式： ; ; ; …. （1）按以上等式的规律，填空： ________； 创新拓展题 14 （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； 【解】 .所以（1）中的等式成立. （3）利用（1）中的公式化简： . ． 返回 创新拓展题 15 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第2课时 幂的乘方 1 练点1 幂的乘方 1. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 2. [2024·潍坊期中] 不能写成( ) A A. B. C. D. 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 4. 下列各式中计算错误的是( ) B A. B. C. D. 5.计算： ____. 6. ____. 返回 基础题 3 7.计算： （1） ; 【解】 . （2） ; . （3） ; . 基础题 4 （4） ； . （5） ; . （6） . . 返回 基础题 5 练点2 幂的乘方的逆用 8. 在下列各式中的括号内填入 的是( ) C A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 9. 已知，则 的值为( ) C A. 6 B. C. 9 D. 10. 若( ) ，则括号里可以填写的式子是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 6 11.若，则 ___. 6 【点拨】因为,所以，所以 ， 解得 . 12.若，，都是正整数，则 ____， ____, ______. 返回 基础题 7 纠易错 对幂的乘方的运算法则理解不透导致出错 13. 下列四个算式中正确的有( ) ； ； ； . C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 基础题 8 14. [2024·济南章丘区月考] 当，则 的值为( ) A A. 4 B. C. 6 D. 8 15. [2024·滨州模拟] 若，则 的值为 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 返回 综合应用题 9 16.[2024·泰安泰山区期中] 已知， ，则 的值是___. 9 【点拨】因为， ，所以 ，所以.所以 ． 返回 综合应用题 10 17.[2024·青岛月考] 计算： （1） ； 【解】 . 综合应用题 11 （2） . ． 返回 综合应用题 12 18.[2024·济南市中区月考] （1）已知，，，为正整数，求 的值； 【解】因为， ，所以 ． （2）已知为正整数，且，求 的值. 因为 ，所以 . 返回 综合应用题 13 19. 我们定义：三角形 ，五 角星 ，若 ，求 的值. 综合应用题 14 【解】根据题意得，所以 .所以 .所以 . 返回 综合应用题 15 20.（1）【底数比较法】阅读下列解题过程：试比较 与 的大小关系. 解：因为，，， ， 且，所以 . 请根据以上解答方法比较与 的大小. 【解】因为，， ， ，且，所以 . 创新拓展题 16 （2）【指数比较法】已知，， ，试 比较，， 的大小. 【解】因为， ， ，且，所以 . （3）【乘方比较法】已知，，且 ， ，试比较， 的大小. 因为， ， ，所以.又因为，，所以 . 返回 创新拓展题 17 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第3课时 积的乘方 1 练点1 积的乘方 1. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 2 3. [2024·眉山] 下列运算中正确的是( ) B A. B. C. D. 4. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 5.[2024·枣庄薛城区期中] 计算 的结果是_______. 返回 基础题 3 6.计算： （1） ; 【解】 . （2） ; . 基础题 4 （3） ; . （4） . ． 返回 基础题 5 练点2 积的乘方的逆用 7. 若，则 的值为( ) A A. 9 B. C. 6 D. 8. [2024·烟台一模] 如果，那么， 的值分别是( ) A A. 2，4 B. 2，5 C. 3，5 D. 3， 返回 基础题 6 9.计算：（_______） . 10.如果，，那么 ____. 【点拨】因为 , ,所以 . 返回 基础题 7 11. 下面是小明完成的一道作业题，请你参 考小明的方法计算下列各题： 计算： . 解： . 基础题 8 （1） ； 【解】 . 基础题 9 （2） ； 基础题 10 . 基础题 11 （3） . . 返回 基础题 12 纠易错 对积的乘方法则理解不透而出错 12.指出下列的计算哪些是对的，哪些是错的，并将错误的改正. （1）； （2） ； （3）；（4） . 【解】 都是错的，改正如下： （1）.（2） . （3）.（4） . 返回 基础题 13 13. 下列各式中计算正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 综合应用题 14 14. 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 【点拨】 . 15.已知,,则 的值为___. 9 返回 综合应用题 15 16.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 综合应用题 16 17.（1）已知， ，求: ① 的值； 【解】当， 时， . ② 的值. 当， 时， ． 综合应用题 17 （2）[2024·青岛月考] 已知，求 的值. ， 把代入，得原式 ． 返回 综合应用题 18 18. 计算： . 【解】原式 . 返回 综合应用题 19 19.幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如 ，则.,为正整数、 为正整 数 请运用所学知识解答下列问题： （1）已知，求 的值. 【解】因为，所以 ， 所以，所以，解得 . 创新拓展题 20 （2）已知，求 的值. 【解】因为，所以 ，即，所以，所以 ，解得 ． 返回 创新拓展题 21 $$第八章 整式的乘除 2 整式的乘除 第1课时 单项式与单项式相乘 1 练点1 单项式乘单项式的乘法法则 1. [2024·湖北] 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 3. [2024·宜宾] 下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 4. [2024·菏泽一模] 若 ，则括号内应填的 单项式是( ) A A. B. C. D. 5. [2024·菏泽期中] 计算 的结果是 ( ) A A. B. C. D. 6.计算 的结果是______. 返回 基础题 3 7.计算： （1） ; 【解】 . （2） ; . （3） . ． 返回 基础题 4 练点2 单项式乘单项式的乘法法则的应用 8. 某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱 长为的正方体木块中，挖去一个棱长为 的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件 （如图所示）. 将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为 ，， ，则下列大小关系正确的是（注：几何体的表 面积是指几何体所有表面的面积之和） ( ) A. B. C. D. B 返回 基础题 5 9.某工厂有两个长方形的生产车间，其中一个车间的长为 米，宽为米；另一个车间的长为米，宽为 米.请问这 两个车间的总面积是多少平方米？ 【解】 第一个车间的面积 （平方米），第二 个车间的面积 （平方米），两个车间的总 面积为 （平方米）． 返回 基础题 6 纠易错 混淆幂的运算法则，弄错运算顺序而导致出错 10.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 基础题 7 11. 下列计算错误的是( ) B A. B. C. D. 12.[2024·淄博张店区月考] 已知单项式与 的积 为，则 ____. 返回 综合应用题 8 13.[2024·泰州靖江月考] 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 ． 返回 综合应用题 9 14. 已知 ，求 的值. 【解】因为 ， 所以，即 . 所以，即 . 所以． 返回 综合应用题 10 15.已知，，求代数式 的值. 【解】 ， 把， 代入，得原式 . 返回 综合应用题 11 16. 三角 表示 ，方框 表示 ，求 × . 【解】由题意得 表示 ， 表示 ，故 × . 返回 综合应用题 12 17.已知， ，求 的值. 【解】因为， ，所以 . 返回 综合应用题 13 18.已知与的积与单项式 是 同类项，求 的值. 【解】因为 与单 项式 是同类项， 所以，，解得， . 所以 . 返回 创新拓展题 14 $$第八章 整式的乘除 1 幂的乘除 第1课时 同底数幂的乘法 1 练点1 同底数幂的乘法 1. 计算 的结果为( ) D A. B. C. D. 2. [2024·烟台模拟] 若 ，则“？”表示的数为 ( ) C A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 返回 基础题 2 3. [2024·上海宝山区期末] 计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 4. 当时，为正整数 的值为( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 B A 5.计算： _________. 6.计算： ____. 返回 基础题 7.[2024·菏泽牡丹区月考] 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 基础题 4 （3） . ． 返回 基础题 5 练点2 同底数幂的逆用 8. 可以写成( ) B A. B. C. D. 9. 已知，，则 ____. 10.已知，则用含的代数式表示 的结果为_ __. 20 返回 基础题 6 练点3 同底数幂的乘法法则的应用 11. 近些年我国航天事业突飞猛进，先后 发射了嫦娥一、二、三、四号卫星，取得了举世瞩目的成就. 其中嫦娥一号主体形如一个长方体，它的长、宽、高依次约 为、、 ，那么它的体积 约为___________ . 返回 基础题 7 纠易错 对同底数幂的乘法法则理解不透彻而致错 12.请分析以下解答过程是否正确，如不正确，请写出正确的 解答过程. 计算：（1） ； （2） ； （3） . 【解】（1）（2）（3）的解答过程均不正确，正确的解答 过程如下: 基础题 8 （1）解： . （2） . （3） . . 返回 基础题 9 13. [2024·泰安岱岳区期中] 已知，则 的值为( ) A A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【点拨】因为，所以 ，所以 . 返回 综合应用题 10 14. 若，则 的值为( ) B A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【点拨】因为，所以 . 15.若，则 的值为_____. 16.[2024·菏泽牡丹区月考] 若，则 的值等于___. 729 6 返回 综合应用题 11 17. 如果，那么我们规定 .例如： 因为，所以.已知 ， ，若，则 的值为____. 60 【点拨】由，可得;由 ，可得 ;由，可得.因为 ，所以 .因为，所以 ． 18.若,则 ___. 5 返回 综合应用题 12 19.计算下列各式： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 综合应用题 13 20.已知满足，求 的值. 【解】因为,所以 ,所 以,所以,所以,所以 . 21. 已知两个单项式与 是同 类项，求 的值. 【解】因为单项式与 是同类项，所以 ， ，所以 . 返回 综合应用题 14 22.一般地，若且，，则叫作以 为底的对数，记为（即），如 ，则4 叫作以3为底81的对数，记为（即 ）. （1）计算下列各对数的值：___， ___， ___； （2），， 之间满足的关系式是_________ ______________________； 2 4 6 创新拓展题 15 （3）由（2）的结果，请你归纳出，， 之间满足的关系式：________________________； （4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论. 【解】设，，则， ，所以 .所以 ，即 . 返回 创新拓展题 16 $$