数列专题练习-2025届高三数学一轮复习

数列专题练习 1．已知等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 2．记为等差数列的前项和，已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．记为等比数列的前n项和，若，，则（     ） A．120 B．85 C． D． 4．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 5．已知数列的前n项和为，若，则（     ） A．16 B．32 C．54 D．162 6．已知等比数列的前3项和为168，，则（     ） A．14 B．12 C．6 D．3 7．记为等差数列的前n项和，若，，则 8．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 9．已知为等比数列，，，则 10．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 11．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 12．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求． 13．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值． 14．已知等比数列前项和为，且，(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和. 15．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 16．设为数列前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和． 17． 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式； (2)证明：． 18．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为。(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列专题练习答案 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）D A． B． C．1 D． 2．记为等差数列的前项和，已知，，则（    ）B A． B． C． D． 3．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）C A．120 B．85 C． D． 4．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ）C A． B． C．15 D．40 5．已知数列的前n项和为，若，则（    ）C A．16 B．32 C．54 D．162 6．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）D A．14 B．12 C．6 D．3 7．记为等差数列的前n项和，若，，则 .95 8．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 9．已知为等比数列，，，则 . 10．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 11．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 48；数列所有项的和为 ．384 12．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【解析】（1），，解得，， 又，， 即，解得或（舍去），. （2）为等差数列，，即， ，即，解得或， ，，又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得.综上，. 13．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 14．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 15．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故所以 ，. 16．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和． 【解析】（1）因为，当时，，即；当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式；(2)证明：． 【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：, 即,∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 18．已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列； 【解析】（1）由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以. 这就得到，.所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$