第六章 一元一次方程课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

第六章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 第4课时 盈余问题 1 练点 盈余问题 1. 古代名著《孙子算经》中有一题：“今有 三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？” 设有车 辆，则根据题意，可列出方程是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. “曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的方法， 先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出, 然后往 船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3名搬运工，这时水位 恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1名 搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知每名搬运工的体重均为 120斤，设每块条形石的重量是 斤，则下列选项正确的是 ( ) B A. 依题意得 B. 依题意得 C. 该象的重量是5 040斤 D. 每块条形石的重量是260斤 返回 基础题 3 3. [2024·泰安期末] 某学校组织师生去邻市中小学素质教育 实践学校研学.已知此次共有名师生乘坐 辆客车前往目的 地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车 坐45人，则刚好空出一辆客车.以下四个方程： ； ； ； ，其中正确的是( ) B A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 返回 基础题 4 4.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童 闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐 足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有 多少人和竹竿.每人6根，多14根；每人8根，恰好用完.”请用 列方程的方法求出这个问题中的牧童人数. 【解】设有竹竿根，依题意，得，解得 ，则 .所以牧童人数为7. 返回 基础题 5 5.相传有个人不讲究说话艺术，常常引起误会，一天他设宴 请客，看到有几位客人没来，就自言自语：“怎么该来的还没 来呢？”已到的客人听了，心想难道我们是不该来的？于是已 到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走 的都走了！”剩下的客人一听，是我们该走啊！于是又有剩余 客人的三分之一离开了，他着急大喊：“我说的不是他们！” 最后剩下的6位客人也走了. 综合应用题 6 （1）若设最开始来了 位客人，则听了他的话之后，第一次 有____位客人离开；由于他的发言，第二次又走了____位客人； （2）请用列方程的方法求出最开始来了多少位客人. 【解】根据题意，可得，解得 . 答：最开始来了18位客人. 返回 综合应用题 7 6. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系 的数学专著，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就， 全书收集了246个数学问题并提出其解法.《九章算术》卷第 七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出 少半，不足三.问人数、琎价各几何？注释：①琎 ：像玉 的石头.译文：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多4钱；每 人出 钱，又差3钱.问人数、琎价各是多少？ 综合应用题 8 【解】设人数为 ， 依题意，得 ， 解得，此时 . 所以人数为42，琎价为17钱. 返回 综合应用题 9 7.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每名快递员 派送150件,还剩60件;若每名快递员派送170件,还差20件,那么 该分派站现有多少件包裹？ 【解】设该分派站现有快递员 名,根据题意，得 ,解得 ， 所以 （件）. 答：该分派站现有660件包裹. 返回 综合应用题 10 8.棋盘旁有甲、乙两个围棋盒. （1）甲盒中有50个棋子，乙盒中有40个棋子，阿莲从甲盒 拿出 个棋子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数 的2倍，求 的值; 【解】根据题意，得,解得 . （2）把所有的棋子分给一群小朋友，如果每人分3个，则剩 余4个；如果每人分4个，则缺9个，求这群小朋友的人数. 设这群小朋友有人，根据题意，得 ,解得 .因此这群小朋友的人数是13. 返回 综合应用题 11 9.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开 店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空 一房.”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有 7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房. （1）该店有客房多少间？到了多少房客？ 【解】设该店有客房 间， 由题意得， ， 解得，此时 ， 所以该店有客房8间，房客有63人. 创新拓展题 12 （2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每 间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间， 不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20 间或是超过20间的，给予七折优惠.若诗中的“众客”再次一起 入住，他们如何订房更合算？说明理由. 创新拓展题 13 【解】他们一次性订客房20间更合算.理由：若每间客房住4 人，则63人至少需要16间客房，至少需要付 （钱）；若一次性订客房20间，则需要付 （钱）.因为 ，所以他们一次性订客房20间更合算. 返回 创新拓展题 14 $$第六章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 第5课时 行程问题 1 练点1 相遇问题 1. [2024·淄博淄川区期末] 野鸭从南海起飞，7天飞到北海； 大雁从北海起飞，9天飞到南海.现野鸭与大雁分别从南海和 北海同时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过 天 相遇，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 2 2.小明、小亮分别在 的环形跑道上练习跑步，他们的速 度比是，两人同时由同一点背向出发， 后第一次相遇， 小明的速度是____ . 3.5 返回 基础题 3 3.[2024·烟台牟平区期末] 周末，小明和小军决定骑自行车到 昆嵛山游玩，两人相约早晨从各自家中出发，已知两家相距 ，小明出发要经过小军家. （1）若两人同时出发，小明车速为 ，小军车速为 ，则两人经过___ 能相遇. 3 【点拨】设两人经过能相遇．依题意，得 ， 解得，所以两人经过 能相遇． 基础题 4 （2）若小军的车速为，小明提前 出发，两人 商定小军出发后半小时二人相遇，则小明的车速应为多少？ 【解】设小明的车速为 ，则相遇时小明所行驶的路程 为，小军所行驶的路程为 ，所以 ，解得 .所以小明的车速应为 ． 返回 基础题 5 练点2 追及问题 4. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载 了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里， 驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马 每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几 天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( ) D A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 返回 基础题 6 5. 父亲和儿子在同一公司上班，为了锻炼身体，他们每天从 家（父子二人住同一个家）走路去上班，父亲需要18分钟到 公司，儿子需要12分钟到公司，如果父亲比儿子早3分钟动 身，那么儿子追上父亲需要的时间为( ) B A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 返回 基础题 7 练点3 顺流、逆流问题 6.一艘轮船从甲地到乙地顺流行驶，用了 ，从乙地返回到 甲地逆流行驶，用了 ，已知轮船在静水中的平均速度是 ，求水流速度. 【解】设水流速度为 ，根据题意，可列方程为 ，解得 . 答：水流速度是 . 返回 基础题 8 7. ，两地相距，甲骑摩托车以 的 速度从地向地行驶，半小时后乙开车以 的速度从 地向地行驶，则当两人相距 时，甲骑摩托车行驶的 时间是( ) C A. B. 或 C. 或 D. 或 综合应用题 9 【点拨】根据题意，分两种情况： ①当甲在乙前面时，设甲骑摩托车行驶的时间是 ，则 ，解得 ； ②当甲在乙后面时，设甲骑摩托车行驶的时间是 ，则 ，解得 . 综上所述，甲骑摩托车行驶的时间是或 . 返回 综合应用题 10 8.某列队伍以的速度去甲地，通信兵从队尾以 的速度赶到队伍的排头，用 传达命令后，立即又以同样 的速度返回队尾，通信兵一共用时 ，则这列队伍的长 为_____ . 250 返回 综合应用题 11 9.[2024·泰安新泰市期末] 小明是热爱学习的好学生，周末小 明以60米/分钟的速度步行去图书馆，5分钟后爸爸发现他忘 了带图书证，爸爸立即骑自行车以300米/分钟的速度去追小 明，并且在途中追上了他.请解决以下问题： 综合应用题 12 （1）爸爸追上小明用了多长时间？爸爸追上小明时离家的 距离为多少米？ 【解】设爸爸追上小明用了 分钟，则此时小明步行了 分钟， 根据题意，得，解得 ， （米）． 答：爸爸追上小明用了 分钟，爸爸追上小明时离家的距离为 375米. 综合应用题 13 （2）爸爸追上小明后，小明搭爸爸的自行车继续去图书馆， 此时爸爸的骑行速度为240米/分钟，结果小明到图书馆的时 间比他全程步行到图书馆的时间少了10分钟，求小明家离图 书馆的距离为多少米？ 【解】设小明家离图书馆的距离为 米，根据题意得 ，解得 ． 答：小明家离图书馆的距离为1 175米． 返回 综合应用题 14 10. 如图，数轴上， 两点所表示的数分别 为和8，点从 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数 轴向右运动，同时点从 点出发以每秒3个单位长度的速度 也沿数轴向右运动，设运动时间为 秒，解答下列问 题： （1）线段的长为____，运动1秒时，线段 的长为____； 18 16 创新拓展题 15 （2）当运动秒时，用含的式子表示点 运动的路程为___ 个单位长度，此时点 对应的数为_______； （3）求当为何值时，点与点 恰好重合； 【解】由题意得，解得 . 答：当为9时，点与点 恰好重合. 创新拓展题 16 （4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段 的长为6个单位长度，若存在，求 的值；若不存在，请说 明理由. 【解】存在.由题易得，，解得或 ． 返回 创新拓展题 17 $$第六章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质 1 练点1 等式的基本性质 1. 将 变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. [2024·聊城期末] 下列等式变形正确的是( ) A. 若，则 B. 如果，那么 C. 如果，则 D. 如果，那么 B 返回 基础题 3. 在物理学中，导体中的电流 跟导体两端的电 压、导体的电阻之间有以下关系： ，去分母得 ，那么其变形的依据是__________________________ _________________. 等式的两边都乘同一个数，所得结果仍是等式 4.已知，根据等式的基本性质变形为 ， 那么， 必须符合的条件是______. 返回 基础题 4 练点2 等式的基本性质的应用 5. 能运用等式的 性质说明如图事实的是( ) A A. 若，则（，， 均不为0） B. 若，则（,， 均不为0） C. 若，则（,， 均不为0） D. 若，则（，， 均不为0） 返回 基础题 5 6.若，且，则 ___. 7.阅读框图，在四个步骤中，不是依据等式的基本性质变形 的是____（填序号）. 5 ③ 返回 基础题 6 8. 运用等式的基本性质解下列方程. （1） ； 【解】方程两边都减1，得，方程两边都除以 ， 得 . （2） ; 方程两边都减1，得，方程两边都除以，得 . 基础题 7 （3） ; 【解】方程变形，得,方程两边都除以，得 . （4） . 方程两边都减去,得 ,方程两边都减去3，得 .方程两边都除以，得 . 返回 基础题 8 纠易错 忽视除式不为0而错用等式的基本性质 9. [2024·临沂期末] 下列变形中，不正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 基础题 9 【点拨】 A选项，等式两边都加3，正确；B选项，因为 ，所以等式两边都乘，正确；C选项，因为 ， 所以等式两边都除以 ，正确；D选项，题中没有说 ，等式两边不能都除以 ，不正确． 返回 基础题 10 10. 已知，利用等式的基本性质比较与 的大 小，则( ) A A. B. C. D. 无法比较 返回 综合应用题 11 11. 若，则方程 ( ) C A. 只有一个解 B. 只有一个解或无解 C. 只有一个解或有无数个解 D. 无解 综合应用题 12 【点拨】本题需要对 的取值进行分类讨论. 因为，所以 . 当时，，此时方程 有无数个解； 当时，，此时方程 只有一个解. 综上所述，方程 只有一个解或有无数个解. 返回 综合应用题 13 12. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横 图.如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三 个数之和均相等，则 的值应为____. 16 返回 综合应用题 14 13.能不能从得到 ，为什么？反之， 能不能从得到等式 ，为什么？ 【解】不能从得到，因为 可能 为0，而0不能为除数.能从得到等式 ， 这是根据等式的两边都乘同一个数，所得结果仍是等式. 返回 综合应用题 15 14. 某同学用一根质地均匀的长为 的直 尺和一些质地相同的棋子，做了如下的平衡实验： 在直尺的左端放上1枚棋子，在直尺的右端分别放上1枚棋子、 2枚棋子、3枚棋子、4枚棋子……通过移动支点的位置，使 直尺平衡，并记录支点到直尺左、右两端的距离， . 创新拓展题 16 第1次，在直尺的两端各放1枚棋子，移动支点到 点时直尺 平衡（如图①）； 第2次，在直尺的左端放1枚棋子，右端放2枚棋子，移动支 点到 点时直尺平衡（如图②）； 第3次，在直尺的左端放1枚棋子，右端放3枚棋子，移动支 点到 点时直尺平衡（如图③）； 创新拓展题 17 第4次，在直尺的左端放1枚棋子，右端放4枚棋子，移动支 点到 点时直尺平衡（如图④）； …… 创新拓展题 18 实验次数 左端棋子数 右端棋子数 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 … … … … … 创新拓展题 19 （1）请你通过测量，帮助该同学将前4次实验过程中的， 值记录在上表中. 创新拓展题 20 【解】如下表. 实验次数 左端棋子数 右端棋子数 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 … … … … … 创新拓展题 21 （2）仔细观察上表，请你在上表中填写出第5次实验过程中 当直尺平衡时的， 值. 【解】见（1）表 创新拓展题 22 （3）从上述的实验过程和记录表中，你发现了什么？将你 的发现表述出来. 【解】若直尺的左端放1枚棋子，右端放 枚棋子，则当支点 到左端的距离是支点到右端的距离的 倍时直尺平衡. 创新拓展题 23 （4）若在直尺的左端放1枚棋子，右端放11枚棋子，请问支 点应在距离直尺左端多少厘米处时直尺能够平衡？ （写出解题过程） 创新拓展题 24 【解】设支点应在距离直尺左端 处时直尺能够平衡. 根据题意得，解得 . 因此，支点应在距离直尺左端 处时直尺能够平衡. 返回 创新拓展题 25 $$第六章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 第3课时 含有两个等量关系的问题 1 练点 含有两个等量关系的问题 1. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品 之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.某家庭制作的粽 子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成.用1千克糯米可做24个蛋 黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米做粽子，设用 千克糯米做蛋 黄肉粽，恰好使做出的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 2 2.为落实“双减”政策，某校六年级（2）班利用课后服务开展 读书活动.现需购买甲、乙两种价格的读本共60本供学生阅读， 其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本， 共花费550元，则甲种读本购买了____本. 35 返回 基础题 3 3.[2024·泰安新泰期末] 一个两位数的十位数字与个位数字的 和是7，把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，组成 一个新的两位数，结果恰好与这个两位数加上45的结果相同， 则这个两位数是____. 16 返回 基础题 4 4.[2024·烟台福山区期末] 小红在一家文具店买了一种大笔记 本4本和一种小笔记本6本，共用了62元.已知她买的这种大笔 记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这 种大笔记本的单价. 【解】设该文具店中这种大笔记本的单价是 元，则小笔记 本的单价是 元， 由题意，得，解得 . 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 返回 基础题 5 5.[2024·济宁任城区校级期末] 某足球比赛的规则：胜一场得 3分，平一场得1分，负一场得0分.一个队已打14场比赛，负5 场，共得21分，那么这个队胜了___场. 6 返回 综合应用题 6 6.某学校本学期开展以“感悟泉城美”为主题的研学活动，组 织200名学生参观趵突泉和千佛山，每名学生只能到其中一 个景点参加活动.学校共支付票款3 600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 趵突泉 20元/人 千佛山 15元/人 综合应用题 7 （1）参观趵突泉和千佛山的学生各有多少名？ 【解】设参观趵突泉的学生有 名，则参观千佛山的学生有 名，依题意，得 ．解得 ．所以 ． 答：参观趵突泉的学生有120名，参观千佛山的学生有80名. 综合应用题 8 （2）若学生都去参观千佛山，则能节省票款多少元？ 【解】若学生都去参观千佛山，则所需票款为 （元）， 所以 （元）. 答：若学生都去参观千佛山，则能节省票款600元． 返回 综合应用题 9 7.某文艺团体开展文艺演出，组委会公布的门票价格是：一等 席600元/张；二等席400元/张；三等席250元/张.某公司组织36 名优秀员工去观看演出，计划购买两种门票，共花费10 050元， 你能设计几种购买方案供该公司选择？分别是哪几种？ 综合应用题 10 【解】①设购买一等席张，则购买二等席 张. 根据题意得 . 解得 （不合题意，舍去）. ②设购买一等席张，则购买三等席 张. 根据题意得 . 解得 . 所以可购买一等席3张，三等席33张. 综合应用题 11 ③设购买二等席张，则购买三等席 张. 根据题意得 . 解得 . 所以可购买二等席7张，三等席29张. 答：共有两种购买方案可供该公司选择，可购买一等席3张， 三等席33张或二等席7张，三等席29张. 返回 综合应用题 8. 为防治污染，保护和改善生态环境，自 2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准 阶段 （以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求 类物质排 放量不超过，， 两类物质排放量之和不超过 .已知该型号某汽车的， 两类物质排放量之和原 为.经过一次技术改进，该汽车的 类物质排放量降 低了，类物质排放量降低了，， 两类物质排放 量之和为.判断这次技术改进后该汽车的 类物质排 放量是否符合“标准”，并说明理由. 综合应用题 13 【解】 这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”， 理由如下： 设该汽车的类物质排放量原为，则该汽车的 类物 质排放量原为 ，根据题意得 ，解得 ，所以 这次技术改进后该汽车的 类物质排放量为 ，因为“标准”要求 类物质排 放量不超过， ,所以这次技术改进后该汽车 的 类物质排放量符合“标准”． 返回 综合应用题 14 9. 对联是中华传统文化的瑰 宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分 别称为天头和地头，左、右空白处统称为边. 一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、 右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 . 某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为 .若要 求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 创新拓展题 15 【解】设天头长为，则地头长为 ，所以易知左、 右边的宽为 ，根据题意得， ，解得 .所以 . 答：边的宽为，天头长为 ． 返回 创新拓展题 16 $$第六章 一元一次方程 ★问题解决策略：直观分析 1 【问题背景】借助适当的图表,可以直观、形象地呈现数量关 系，使复杂的数量关系变得清晰明了,从而帮助我们更好地理 解问题、分析问题、解决问题. 下面是智慧小组同学的学习报告： 2 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 ，两地相距，甲从 地骑车出发，每小 时行驶，乙从 地骑车出发,每小时行驶 .如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多 长时间相遇？ 示意图 _______________________________________________________________ 3 等量关系 相遇时，甲走的路程乙走的路程 解决问题 设经过 两人相遇， 根据题意得 ， 解得 ， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过 相遇. 请根据以上内容，继续完成任务： 续表 4 任务1： 如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后， 甲、乙相距 ？ 【解】设经后两人相距 ， 相遇前，由题意得，解得 ， 相遇后，由题意得，解得 . 答：甲、乙同时出发，相向而行，经或 后，甲、乙 相距 ． 5 任务2： 如果甲、乙同时出发，按由向 的方向同向而行， 那么经过多长时间乙追上甲？ 【解】设经过 乙追上甲， 由题意得，解得 . 答：经过 乙追上甲． 6 任务3： 如果甲、乙同时出发，按由向 的方向同向而行， 那么经过多长时间甲、乙相距 ？ 【解】设经过甲、乙相距 ， 相遇前，由题意得,解得 ， 相遇后，由题意得，解得 . 答：经过或后，甲、乙相距 ． 7 $$第六章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 第2课时 用移项法解一元一次方程 1 练点 移项法解方程 1. 方程 移项后正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. [2024·菏泽牡丹区期末] 下列变形属于移项的有( ) ①由，得 ； ②由，得 ； ③由，得 ； ④由，得 . B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 基础题 3 3. 方程 有下列解答过程： ①合并同类项，得 ； ②移项，得 ； ③方程两边都除以5，得 . 正确的解题顺序是( ) C A. ①②③ B. ③②① C. ②①③ D. ③①② 返回 基础题 4 4. 方程 的解为( ) A. B. C. D. B 5.若与是同类项，则 的值为___. 6.如果方程与关于的方程 的解相 同，则 的值为____. 7.如果与互为相反数，那么代数式 的值是 _____. 1 返回 基础题 纠易错 解方程时，移项未变号或误将不移动的项也变号 8.[2024·枣庄山亭区期末] 解方程： （1） ; 【解】移项，得 ， 合并同类项，得 ． （2） ; 移项,得 ， 合并同类项,得 ， 方程两边都除以3,得 ． 基础题 6 （3） ; 【解】移项,得 , 合并同类项,得 , 方程两边都除以,得 . 基础题 7 （4） . 【解】移项,得 , 合并同类项,得 , 方程两边都除以,得 . 返回 基础题 9. 王涵同学在解关于的一元一次方程 时，误将 看作，得方程的解为 ，那么原方程的解为 ( ) A A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 10. [2024·济宁期末] 学习完一元一次方程后，甲、乙两同学分别写 出了一个结论： 甲同学：若是关于的方程 的一个解，则 ； 乙同学：若，则关于的方程的解为 . 则下列说法正确的是( ) A A. 甲同学的结论正确 B. 乙同学的结论正确 C. 甲、乙两同学的结论都正确 D. 甲、乙两同学的结论都错误 返回 综合应用题 10 11. 如果两个一元一次方程的解互为倒数， 我们就称这两个方程为“友好方程”.例如，方程 和 为“友好方程”.若关于的方程 与方程 是“友好方程”，则 ____. 返回 综合应用题 11 12. 已知关于的方程 的解 与它的相反数在数轴上对应的点之间相距10个单位长度，求 的值. 综合应用题 12 【解】因为该方程的解与它的相反数在数轴上对应的点之间 相距10个单位长度，所以 ． 把代入原方程，得 ， 解得 ． 把代入原方程，得 ， 解得 ． 故的值为或 ． 返回 综合应用题 13 13. 根据如图所示的程序解答问题： 综合应用题 14 （1）你认为输入的两个数和 是什么关系时，其输出结果为0？ 【解】由题意可得，则 ， 即输入的两个数和 互为倒数时，其输出结果为0. 综合应用题 15 （2）当小明输入和 这两个数时，输出的结果是__. 综合应用题 16 （3）当小明输入 和 （此数被墨水污染）这两个 数时，输出的结果是4，求被墨水污染的那个数. 综合应用题 17 【解】假设，被墨水污染的数为 , 由题意可得 ， 解得或 ， 即被墨水污染的那个数为 或11. 返回 综合应用题 18 14.解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我 们可以采用分类讨论思想先把绝对值符号去掉，这样我们就 能轻松求解了. 比如：解方程： . 解：当 时， 原方程可化为，解得 ； 当 时， 创新拓展题 19 原方程可化为，解得 . 所以原方程的解是或 . 请你依据上面的方法解方程： . 创新拓展题 【解】原方程可化为 . 当 时， 原方程可化为，解得 ； 当 时， 原方程可化为，解得 . 所以原方程的解是或 . 返回 创新拓展题 21 $$第六章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 第2课时 形积变化问题 1 练点1 等积变形问题 1. 在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二 个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方 程是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. 把直径为，长为 的圆柱形 圆钢锻造成半径为 的圆柱形圆钢，则锻造后的圆钢的长 为___ . 9 返回 基础题 3 练点2 周长、面积问题 3. 已知一个三角形三条边长的比为 ，最长边比最短边 长 ，则这个三角形的周长为( ) B A. B. C. D. 4.如图①，从一个边长为4的正方形纸 片中剪掉两个边长为 的小正方形，得 到如图②所示的图形.若图②所示的图 形的周长为22，则 的值为____. 1.5 返回 基础题 4 5.某学校为给学生营造良好舒适的休 息环境，决定改造校园内的一个花园， 如图是该花园的平面示意图，它是由6 个正方形拼成的长方形，用以种植六 种不同的植物，已知中间最小的正方 形的边长是，正方形, 的边长相等,请根据图形特点求 出该花园的总面积. 基础题 5 【解】设题图中最大的正方形 的边 长是 . 因为最小的正方形的边长是 ， 所以易知正方形的边长为 ， 正方形的边长为.正方形 的边 长为 . 基础题 6 因为 ，所以 ，解得 . 则 ， , 故该花园的总面积是 . 返回 基础题 6. 如图，在长方形 中，，， 是 上一点，且.点从点 出发， 以的速度沿点 匀速运 或6 动，最终到达点.设点的运动时间为，若三角形 的 面积为，则 的值为______. 综合应用题 8 【点拨】如图①，当点在 上，即 时，因为四 边形 是长方形，所以 如图②，当点在上，即 时， 因为，所以 ． ，．因为易知 ， 所以，所以 ； 综合应用题 9 因为易知 ， 所以 ． 所以 ， 解得 ； 综合应用题 如图③，当点在 上，即 时，易知 ． 所以 ，解 得 （舍去）． 综上所述，当的值为 或6时， 三角形的面积为 ． 返回 综合应用题 7.如图①是边长为 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其 折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的 2倍，求它的体积是多少立方厘米. 综合应用题 12 【解】设长方体的高为 ， 由题意，得,解得 , 所以长方体的宽为,长为 . 所以它的体积是 . 返回 综合应用题 13 8.如图①②是两个圆柱体的容器，它们的半径分别 是和，高分别为和 ，先在容 器1中倒满水，然后将其全部倒入容器2中. （1）问倒完后，容器2中的水面高度是多少厘米？ 【解】设容器2中的水面高度是 ，根据题意得 ，解得 . 答：倒完后，容器2中的水面高度是 . 综合应用题 14 （2）在第（1）小题的前提下，把容器 1口朝上插入容器2的底部（如图③）， 则容器2中的水位将上升多少厘米？ 【解】容器1口朝上插入容器2后， 底面积减小为 ， 所以新的水位高度为 ， 所以容器2中的水位将上升 . 返回 综合应用题 15 9.如图，在长方形休闲广场的一组对角处设计 两个半径相同的四分之一圆形花坛，另一组 对角处设计两个大小一样的三角形草坪，圆 （1）广场空地的面积为_ _______________；（结果保留 ） 形花坛的半径、三角形草坪与广场边重合的边长都为 ， 广场长为，宽为 . 综合应用题 16 （2）若，， ，现在广场中央修建一个周 长为 ，且长、宽比例与广场相同的长方形水池，求广场 空地的面积.（结果保留 ） 综合应用题 17 【解】因为， ， 所以水池的长、宽比例为 . 设其长为，则宽为 ，由题意得 ， 解得.所以水池的长为，宽为 . 又因为 ，所以广场空地的面积为 . 返回 综合应用题 18 10. 悦悦同学周末和爸爸一起到农村参 加献爱心志愿者活动，该村的李大爷正在准备用篱笆修建一 个长方形鸡舍，鸡舍一面靠墙（墙面长度不限），另外三面 用篱笆，篱笆总长为60米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽 多6米，他提出了几个问题想让悦悦帮忙解决，请你用所学 的知识和悦悦一起来思考吧!（篱笆的占地面积忽略不计） 创新拓展题 19 （1）如果长方形鸡舍的长与墙为对面，那么长方形鸡舍的 面积是多少？ 【解】设鸡舍的宽为米，则长为 米，依题意，得 ，解得 ， 所以鸡舍的长为 （米）． 所以 （平方米）． 答：鸡舍的面积为432平方米． 创新拓展题 20 （2）如果要在墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆）， 那么长方形鸡舍的面积又是多少？ 【解】设鸡舍的宽为米，则鸡舍的长为 米． Ⅰ．当鸡舍的长与墙为对面时，依题意,得 ，解得 ， 所以鸡舍的长为 （米）． 创新拓展题 21 所以长方形鸡舍的面积 （平方米）． Ⅱ．当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意，得 ，解得 ， 所以鸡舍的长为 （米）． 所以长方形鸡舍的面积 （平方米）． 答：如果墙的对面留一个3米宽的门（门不使用篱笆），那 么长方形鸡舍的面积为475平方米或391平方米. 返回 创新拓展题 22 $$第六章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 第3课时 用去括号法解一元一次方程 1 练点1 去括号法解一元一次方程的过程 1. 下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 解方程 ，去括号正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 3. 解方程 ，步骤如下： 去括号，得 ，（第一步） 移项，得 ，（第二步） 合并同类项，得 ，（第三步） 方程两边都除以，得 .（第四步） 以上解方程步骤中，开始出现错误的是( ) B A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 返回 基础题 3 4. 下列方程变形中，正确的是( ) C A. 由，去括号得 B. 由，去括号得 C. 由 ，去括号得 D. 由，去括号得 5.方程 的解是________. 返回 基础题 4 练点2 去括号法解一元一次方程的应用 6. 若式子与式子 的值相等，则这个值是 ( ) A A. 8 B. 3 C. 2 D. 7. 已知关于 的一元一次方程 的解是的倒数，则 的值为( ) D A. B. C. 1 D. 2 返回 基础题 5 8. 方程 ，★处被盖住了一个数字，已知 方程的解是 ，那么★处的数字是( ) A A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9.[2024·淄博淄川区期末] 在梯形面积公式 中， 若已知，，，则 ___. 2 返回 基础题 6 纠易错 去括号时漏变号、漏乘项致错 10.解方程： （1）[2024·临沂期末] ； 【解】去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以，得 . 基础题 7 （2）[2024·聊城期末] . 【解】去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以，得 ． 返回 基础题 8 11. 若是方程的解，则关于 的方程 的解是( ) A A. B. C. D. 12. 设，，若，则 等于 ( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 13. 对于两个不相等的有理数， ，规定 ，表示两个数中较小的数，如， ， 则方程, 的解是( ) B A. 或 B. C. D. 或 综合应用题 10 【点拨】当时，方程变形为 ，解得 ；当时，方程变形为，解得 ， 不符合题意，舍去.综上所述，方程的解为 . 返回 综合应用题 14.[2024·淄博淄川区期末] 已知的值与 互为相 反数，求 的值. 【解】由题意，得，解得 ． 返回 综合应用题 12 15. 嘉嘉和琪琪用下图中的， ， 三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人 约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列 顺序进行计算.例如，嘉嘉说出数字2，并将卡片按 的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对2进行 的运算，接着用求得的和，最后用所求得的积 ， 列式为： . 综合应用题 13 （1）嘉嘉说出数字，并将卡片按 的顺序排列， 请你帮琪琪列式并计算结果； 【解】由题意得 . （2）嘉嘉说数字，琪琪对按 的顺序运算后，得 到的数恰好等于12，求 . 由题意得，解得 . 返回 综合应用题 14 16. 阅读下列材料，并完成相应的任务. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两 个方程为“美好方程”. 例如：方程与方程 为“美好方程”. 创新拓展题 15 （1）请判断方程与方程 是否为 “美好方程”，并说明理由； 【解】方程与方程 是“美好方 程”.理由如下： 由方程,得 . 由方程,得 . 所以.所以方程 与方程 是“美好方程”. 创新拓展题 16 （2）若关于的方程与方程 是 “美好方程”，求 的值. 【解】由方程，得 . 由方程，得 . 因为关于的方程与方程 是“美好 方程”，所以.所以 ． 返回 创新拓展题 17 $$第六章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 第1课时 和差倍分问题 1 练点 和、差、倍、分问题 1. 某班在一次美化校园的劳动中，先安排 35人打扫卫生，15人拔草，后又增派10人去支援，结果打扫 卫生的人数是拔草人数的2倍，若设支援打扫卫生的同学有 人，则下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 2 2.[2024·泰安期末] 今年父亲的年龄是儿子年龄的5倍，5年前 父亲的年龄是儿子年龄的15倍，设今年儿子的年龄为 岁， 则可列方程为__________________. 返回 基础题 3 3. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记 载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索， 用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿 子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题 中的竿子长为____尺. 15 返回 基础题 4 4. 为了培育和践行社会主义核心价值 观，丰富学生生活，培养学生爱国主义情怀，某学校组织七 年级学生和带队教师共 450人外出参加研学游活动，已知学 生人数的一半比带队教师人数的10倍还多15人.求参加活动的 七年级学生和带队教师各有多少人. 基础题 5 【解】设带队教师有 人，则参加活动的七年级学生有 人， 依题意得，解得 ， 则 . 答：参加活动的七年级学生有430人，带队教师有20人. 返回 基础题 6 5.[2024·吉林] 钢琴素有“乐器 之王”的美称，键盘上白色琴 键和黑色琴键共有88个，白色 【解】设黑色琴键的个数为 个，则白色琴键的个数为 个， 由题意得，解得 ， 所以白色琴键的个数为 （个）. 答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个． 琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数. 返回 基础题 7 6. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴 子的故事，老翁为了限定猴子每天的食量，分早晚两次喂食， 早上的粮食是晚上的 ，猴子们对这个安排很不满意，于是老 翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这 样早上的粮食是晚上的 倍，猴子们对这样的安排非常满意， 则老翁给猴子限定的每天的食量是( ) A A. 14千克 B. 10千克 C. 8千克 D. 6千克 返回 综合应用题 8 7.[2024·济宁任城区期末] 一个两位数，个位数字比十位数字 大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两 位数是____. 26 返回 综合应用题 9 8. 为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准 备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人 （其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供货商 给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两班单独给每名同学购买一套演出服装，那么一共应付 5 020元. 综合应用题 10 （1）甲、乙两班联合起来给每名同学购买一套演出服装， 比单独购买可以节省多少钱？ 【解】由题意，得 （元）． 答：甲、乙两班联合起来给每名同学购买一套演出服装，比 单独购买可以节省1 340元． 综合应用题 11 （2）甲、乙两班各有多少名同学？ 【解】设甲班有名同学（依题意 ），则乙班有 名同学． 依题意得，解得 ． 所以 ． 答：甲班有50名同学，乙班有42名同学． 返回 综合应用题 12 9. 甲、乙两人承包一项工程.已知甲做了10 天，乙做了13天，共得工资2 650元，又知甲的技术比乙高， 甲做4天比乙做5天的工资多40元.求两人各应分得多少元. （1）小颖列出的方程是： ，所列方 程中的 表示________________； 甲分得的总工资 创新拓展题 13 （2）小亮设甲每天的工资为 元，请填写下表，并列出方程： ____. 每天的工资/元 天数 总工资/元 甲 _____ _ _____ 乙 ____ _ __________ _________________________ 10 13 创新拓展题 14 （3）请你用不同于小颖和小亮的方法解答本题，写出完整 的解答过程. 【解】设乙分得的工资是 元，则甲分得的工资是 元，依题意，得 ，解得 ， 所以 （元）. 答：甲分得的工资是1 350元，乙分得的工资是1 300元． 返回 创新拓展题 15 $$第六章 一元一次方程 1 认识方程 1 练点1 一元一次方程的定义 1. [2024·临沂期末] 在方程， ， ，， 中，一元一次方程有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.[2024·泰安期末] 若方程是关于 的一元一次 方程，则 的值为____. 返回 基础题 2 练点2 方程的解 3. 下列方程中，解为 的是( ) B A. B. C. D. 4.[2024·济南模拟] 若是关于的方程 的解， 则 的值为___. 4 返回 基础题 3 5. 检验下列方程后面小括号内的数是否为相 应方程的解. （1）， ； 【解】当时，左边 ， 右边 ， 所以左边 右边， 所以 是方程的解. 基础题 4 （2）， . 【解】当 时，左边 ， 右边 ， 所以左边右边，所以 不是此方程的解. 返回 基础题 5 练点3 列方程 6. [2024·福建] 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定 增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额 120 327亿元，比去年第一季度增长 ，求去年第一季度 社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额 设为 亿元，则符合题意的方程是( ) A A. B. C. D. 返回 基础题 6 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的 “算经之首”，书中记载：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之 粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”， 今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了 别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所 吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有 牛一半”，若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？ 设羊的主人赔 斗，根据题意可列方程：________________. 返回 基础题 7 纠易错 忽视一元一次方程定义中系数不为零这一条件而致错 8.若是关于的一元一次方程，求 的值. 【解】由题意得且，所以 . 返回 基础题 8 9. 小丽同学在做作业时，不小心将方程 中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解 是 ，请问这个被污染的常数 是( ) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 返回 综合应用题 9 10.[2024·济宁兖州区期末] 已知关于 的一元一次方程 的解为，那么关于 的一元一次方 程 的解为______. 综合应用题 10 【点拨】因为关于的一元一次方程的 解 为，所以在关于 的一元一次方程 中， ， 解得，即关于 的一元一次方程 的解为 ． 返回 综合应用题 11.关于的一元一次方程的解为 ，则 的值为___. 7 返回 综合应用题 12 12.已知方程是关于 的一元 一次方程. （1）求 的值及方程的解； 【解】因为方程是关于 的一 元一次方程， 所以且.所以 . 所以原一元一次方程可化为，解得 . 综合应用题 13 （2）求代数式 的值. . 当,时，原式 . 返回 综合应用题 14 13. 随着出行方式的多样化，某市三种打车 方式的收费标准如下： 出租车 A型快车 B型快车 3千米以内（含 3千米）：10元 路程：1.2元/千 米 路程：1.6元/千 米 超过3千米的部分：2.4 元/千米 时间：0.6元/分 时间：0.4元/分 创新拓展题 15 已知三种打车方式的平均车速均为40千米/时. 如：乘坐8千米，耗时 （分钟）. 出租车的收费为 （元）； A型快车的收费为 （元）； B型快车的收费为 （元）. 创新拓展题 （1）如果乘车路程为20千米，使用B型快车出行，需支付的 费用是____元； 44 （2）如果乘车路程为 千米，乘坐出租车，需支付的 费用是____________元；使用A型快车出行，需支付的费用 是_____元； 创新拓展题 17 （3）B型快车和A型快车为了竞争客户，分别推出了优惠方 式：A型快车对于乘车路程在6千米以上的客户每次收费减免 11元；B型快车车费半价优惠.若乘车路程为 千米， 使用B型快车出行比使用A型快车出行省20元，写出含未知数 且符合题意的方程. 创新拓展题 18 【解】行驶时间为 （分钟）， A型快车的费用： （元）， B型快车的费用： （元）. 因为使用B型快车出行比使用A型快车出行省20元， 所以可列方程为 . 返回 创新拓展题 19 $$第六章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 第5课时 解复杂的一元一次方程 1 类型1 解含多重括号的方程 1.解方程： （1） ; 【解】去中括号，得 , 去小括号，得 ， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 方程两边都除以6，得 . 2 （2） ; 【解】去中括号，得 ， 去小括号，得 ， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以，得 . 3 （3） . 【解】移项、合并同类项，得 . 两边都乘14，得 , 移项、合并同类项，得 , 4 两边都乘6，得 , 移项、合并同类项，得 , 两边都乘4，得 , 移项、合并同类项，得 . 返回 5 2.在解一元一次方程时,巧妙利用整体法,可以达到简化计算的 效果. 例如,在解方程时,把 看 作一个整体.过程如下： 解：令,得 , 去括号,得 ， 移项、合并同类项,得 , 6 方程两边都除以,得 ， 故,解得 . 阅读以上材料,请用同样的方法解方程: . 【解】令，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以2，得 ， 故，解得 . 返回 8 类型2 解分子、分母含小数的方程 3. 解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为 （ 为常数）的形式，下面是解方程 的主要过程，方程 变形对应的依据错误的是 ( ) 解：原方程可化为 . 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 （合并同类项法则）， 方程两边都除以10，得 （等式的基本性质）. A. ①分数的基本性质 B. ②等式的基本性质 C. ③乘法对加法的分配律 D. ④加法交换律 D 返回 9 4.解方程： （1） ； 【解】原方程变形为 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 . 10 （2） ; 【解】原方程变形为 , 去分母，得 , 去括号，得 , 移项，得 , 合并同类项，得 , 方程两边都除以，得 . 11 （3） . 【解】方程可变形为 , 去分母，得 , 去括号，得 , 移项、合并同类项，得 , 方程两边都除以374，得 . 返回 12 $$第六章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 第4课时 解含分母的一元一次方程 1 练点1 去分母的方法 1. [2024·临沂兰山区期末] 解方程 ，去分母正 确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 2 2. 将方程去分母得到 ， 错在( ) C A. 分母的最小公倍数找错 B. 去分母时漏乘项 C. 去分母时分子部分没有加括号 D. 去分母时各项所乘的数不同 返回 基础题 3 3. 解方程 ，下面几种解法中，较简便的是 ( ) C A. 先两边同乘6 B. 先两边同乘5 C. 先去括号再移项 D. 括号内先通分 返回 基础题 4 练点2 用去分母法解方程 4. 已知是关于的方程的解，则 的值 是( ) B A. 1 B. 2 C. D. 5.如果方程和方程 的解互为相反数，那 么 的值为____. 返回 基础题 5 6.[2024·德州期末] 解方程： （1） ； 【解】去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以3，得 ． 基础题 6 （2） . 【解】去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以，得 . 返回 基础题 7 纠易错 去分母时忽视分数线的“括号”作用而致错 7. 下面是小明同学解方程 的 过程，请认真阅读，并完成相应的任务. 解：去分母，得 .（第一步） 去括号，得 .（第二步） 移项，得 .（第三步） 合并同类项，得 .（第四步） 方程两边都除以，得 .（第五步） 基础题 8 任务： （1）从第____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____ ______________________； （2）第三步变形的依据是_____________________________ _________________________; （3）该一元一次方程的解是______; 一 去分母时，等式的右边未乘6 等式的左右两边同时减去一个数，所得结果仍是等式 （4）写出一条解一元一次方程时应注意的事项. 【解】解一元一次方程去分母时，方程的两边同时乘分母的 最小公倍数，不要漏乘.（答案不唯一） 返回 基础题 9 8. [2024·菏泽定陶区期末] 小明在解方程 去分 母时，方程右边的没有乘以2，因而求得的解为 ，则 原方程的解为( ) C A. B. C. 0 D. 2 【点拨】由题意知是方程 的解，把 代入方程，得 ，解 得，所以原方程为，解得 ． 返回 综合应用题 10 9. [2024·日照岚山区期末] 已知关于的方程 的 解为负整数，则整数 所有可能取值的和为( ) B A. B. C. 0 D. 1 【点拨】由，得 . 因为关于的方程 的解为负整数， 所以或或.所以或0或 . 所以整数所有可能取值的和为 ． 返回 综合应用题 11 10.[2024·潍坊期末] 数学李老师让同学们解方程 .小亮认为“方程两边有分母，应 该先去分母”，小颖认为“方程中有及 ，且它 们互为相反数，应该用整体思想求解”.请你分别用小亮、小 颖的方法解该方程. 综合应用题 12 【解】利用小亮的方法解答如下： 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以6，得 ． 利用小颖的方法解答如下： 综合应用题 13 方程可转化为 ， 移项，得 ， 即 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 方程两边都除以2，得 ． 返回 综合应用题 11.小芳同学在解关于的一元一次方程 时，误 将抄成，求得方程的解为 ，请帮小芳求出原 方程正确的解. 综合应用题 15 【解】依题意，得方程的解为 ， 所以，所以，所以 ，所以 ，所以原方程为 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ． 返回 综合应用题 16 12. 解一元一次方程的一般步骤中，去分母、 去括号、移项、合并同类项这些步骤都是为了将一元一次方 程整理为的形式，为常数， .然后再利用等 式的基本性质，将未知数的系数化为1，比如： ，方 程两边都除以3，得 .请仔细阅读上文，解答下列问题： （1）求关于的一元一次方程 的解； 【解】移项，得，方程两边都除以5，得 . 创新拓展题 17 （2）探究关于的方程 的解的情况； 【解】当时，的解为 ； 当时， 无解. （3）若关于的方程无解，求和 的关系. ， 去分母，得 ， 去括号、移项、合并同类项，得 . 因为方程无解，所以，即 . 返回 创新拓展题 18 $$