第九章 变量之间的关系课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

综合与实践 设计自己的运算程序（一） 1 探索运算奥秘，设计个性程序——开启数学创意之旅 素材 神奇数字循环运算：任取一个非零自然数，如果它是 偶数，就把它除以2；如果它是奇数，就把它乘3再加 上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自 然数，反复使用这种变换，会得到什么结果？ 2 素材 以初始数字10为例： ·10是偶数， ； ·5是奇数， ； ·16是偶数， ； ·8是偶数， ； ·4是偶数， ； ·2是偶数， ； ·1是奇数， ；… 续表 3 素材 此时可以发现运算结果开始重复出现4,2,1的循环.这个 运算程序被称为“考拉兹猜想”或“冰雹猜想”，目前对 于所有的正整数是否最终都会进入循环还没有被证明. 探究一 有一个数列 ， 求这个数列的前若干项，观 察是否会出现循环. 续表 4 【解】已知，9是3的倍数，所以 ． 3是3的倍数，则 ． 1不是3的倍数，则 ． 5不是3的倍数，则 ． … 此时发现该数列会出现9,3,1,5的循环. 5 探究二 在计算器中输入三位数325，重复该数，得到 ，将该数除以7，然后除以11，再除以13. （1）观察与操作：此时输出结果为_____. 325 （2）任意选一个三位数按上述步骤操作，结果会怎样？请 选择一个三位数并写出运算过程. 【解】结果是原三位数. （所选三位数不唯一） 选择三位数111，得到 . 6 （3）猜想与证明：你发现了什么“数学秘密”？请用所学数学 知识解释. 【解】任意一个三位数，先扩大1 000倍加上原数，再分别 除以7，11，13，可得到原数. 设任意三位数为,由题意，得 . 7 $$第九章 变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第3课时 双直线型图象 1 练点1 双直线型图象 （第1题） 1. [2024·东营东营区期末] 一辆快车和 一辆慢车沿相同的路线从地到 地， 所行路程与时间的图象如图所示，则下 列结论正确的个数是 ( ) C ①慢车比快车早出发2小时； ②快车行驶276千米追上慢车； ③快车的速度是46千米/小时； 、 两地相距828千米. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 基础题 2 练点2 从多折线型图象中获取信息 （第2题） 2. 地铁给人们带来了快捷、便利的生活， 同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式.现有甲、乙两 个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长 度（米）与挖掘时间 （天）之间的关系如图所示，现 有下列说法： ①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，以后每天挖50米；③甲队比乙 队提前2天完成任务；④当 或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差 100米.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 返回 基础题 3 3. 端午节假期， 小明一家到某度假村游玩.小明和他妈 妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿 着相同的道路后出发.他爸爸到达度假 村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东 西后又马上前往度假村.如图表示他们离家的距离 与小 明离家的时间 的关系，请根据图象回答下列问题： 基础题 4 （1）爸爸比小明晚___ 出发，爸爸驾 车的速度是____ ； 1 60 （2）当_____ 时，爸爸在驾车返 回家里的途中与小明相遇. 2.25 返回 基础题 5 4. [2024·烟台海阳期末] 甲、乙两车从 城出发前往 城，在这个过程中，汽 车离开城的距离与时刻 的关系 如图所示，则被墨水遮住的时刻是 ( ) B A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 8：00 返回 综合应用题 6 5.[2024·宿州月考] 哥哥从家里骑自行车出 发，去超市途中遇到妹妹从超市走路回家， 哥哥在超市买完东西后以原先速度骑车回 家，在回去的路上又遇到了妹妹，便载妹 （1）家与超市相距___ . 8 妹一起回家，结果哥哥比按原先速度回家的时间晚了 ， 二人离超市的距离和哥哥从家出发后的时间 之 间的关系如图所示（假设二人交流时间忽略不计）. 综合应用题 7 （2）哥哥和妹妹第1次相遇时离超 市的距离是多少？ 【解】由题图可得，哥哥骑车的速 度为 ，相遇 时间为 ，所以哥哥和妹妹第1 次相遇时离超市的距离是 . 综合应用题 8 （3）哥哥从家里出发到回家所用的时间是多少？ 【解】由题意得 ， 所以哥哥从家里出发到回家所用的时间是 . 返回 综合应用题 9 6.读书能够祛除内心的浮躁，让一颗心 沉浸在宁静的文字世界里，给心灵以慰 藉和滋润.某中小学开展全学科阅读以来, 很多同学在周末或节假日会到图书馆读 书.某图书馆开展两种方式的读书业务：一种是使用会员卡， 另一种是使用租书卡.使用这两种卡租书，租书金额与租书时 间之间的关系如图所示. 综合应用题 10 （1）从图中看出，办理会员卡是否需要交费？若需要，交多少？ 【解】 由题图可知，办理会员卡需要交费，交20元. 综合应用题 11 （2）使用租书卡租书，每天收费多少元？ 【解】使用租书卡租书，每天收费 （元）. 综合应用题 12 （3）使用会员卡租书，每天收费多少元？ 【解】设使用会员卡租书，每天收费 元， 则，解得 . 故使用会员卡租书，每天收费0.3元. 综合应用题 13 （4）若租书卡和会员卡的使用期限均为 1年，则在这一年中如何选取这两种租书 方式比较划算？ 【解】由题意可知，一年内的租书时间在100天 以内时，使用租书卡划算；当超过100天时，使用会员卡划 算；当恰好为100天时，选择两种卡费用一样. 返回 综合应用题 14 7. 小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先 跑， 后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑 步机上档比档快，档比档快 .小明 与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程 与小明 跑步时间 的函数关系如图所示. 创新拓展题 15 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16:00~16:50 不分段 档 小丽 16:10~16:50 第一段 档 第一次休息 第二段 档 第二次休息 第三段 档 创新拓展题 16 （1）求，， 各档速度 （单位： ）； 【解】 由题意可知， 档速度为 ，则 档速 度为， 档速度为 . 创新拓展题 17 （2）求小丽两次休息时间的总和（单位： ）； 创新拓展题 18 【解】小丽第一段跑步时间为 ， 小丽第二段跑步时间为 ， 小丽第三段跑步时间为 ， 则小丽两次休息时间的总和为 ． 创新拓展题 19 （3）小丽第二次休息后，在 时两 人跑步累计里程相等，求 的值. 【解】因为小丽第二次休息后，在 时两人跑步累计里程相等，所以此时小丽在跑 第三段，所跑时间为 .所 以，所以 ． 返回 创新拓展题 20 $$第九章 变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第2课时 折线型图象 1 练点1 用折线型图象表示变量之间的关系 （第1题） 1. 匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容 器注满.在注水的过程中，容器内水面的高度 随 时间 变化的大致图象是( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 练点2 从折线型图象中读取变量之间关系的信息 2. [2024·济宁期末] 小星一家驾车前往某景点旅游，在行驶过 程中，汽车离景点的路程与所用时间 之间的函数关 系图象如图所示，下列说法正确的是( ) D （第2题） A. 小星家离景点的路程为 B. 小星一家第1小时的平均速度为 C. 小星一家从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星一家从家到景点共用了 返回 基础题 3 3.[2024·烟台芝罘区期末] 某复印店复印收费 （元）与复印 面数 （面）的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复 印超过100面的部分，每面收费____元. 0.4 返回 基础题 4 4. 下面三个问题中都有两个变量： ①如图①，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车 在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间 ； ②如图②，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线 （圆心表示王大爷家的位置），他离家的距离 与散步的时 间 ； ③如图③，往一个圆柱形空杯中匀速倒水，倒满后停止，一 段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积 与所用时 间 . 综合应用题 5 其中，变量与 之间的函数关系大致符合图④的是( ) D A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 返回 综合应用题 6 5. [2024·济南市中区期中] 如图，甲、乙两个工程队合作修 一条长为3 000米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效 率是一定的.甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成剩下的 全部工程.完成的工程量（米）与工程时间 （天）的关系如 图所示.下列结论中错误的是( ) D A. 完成该工程一共用了30天 B. 乙工程队在该工程中一共做了10天 C. 甲工程队每天修路50米 D. 乙工程队每天修路200米 返回 综合应用题 7 6. [2024·威海] 同一条公路连接，， 三 地，地在， 两地之间.甲、乙两车分别从 地，地同时出发前往 地.甲车速度始终保 A A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息 持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶. 如图表示甲、 乙两车之间的距离与时间 的关系.下列结论正确的 是( ) 综合应用题 8 【点拨】根据题图可得，两地相距 ， 两车行驶了，同时到达 地，在第2小时， 即点时，乙车开始休息， 点的意义是两车 相遇， 点的意义是乙车休息后再出发， 所以乙车休息了 ，故D不正确，不符合题意；设甲车的速 度为，乙车的速度为 ， 综合应用题 9 根据题意，易知甲车的速度比乙车慢，即 .因为 ，所以 .在和 段，乙车不动，则甲车 的速度是 ，所以乙车的速 度为 ，故C不正确，不符 合题意；所以， 两地相距 ，故B不正确,不符合题意； 综合应用题 设两车相遇，依题意,得 ， 解得，即 时，两车相遇，故A正确,符 合题意． 返回 综合应用题 7. 新能源纯电动汽 车，深受大家的喜爱，其中最重要的一点 就是对环境的保护.如图是某型号新能源纯 电动汽车充满电后蓄电池的剩余电量 （千瓦时）与已行驶路程 （千米）之间关系的图象. 综合应用题 12 （1）图中点 表示的实际意义是________ _____________________________________ _______；当 时，行驶1千米的 平均耗电量是__千瓦时；当 时，行驶1千米的平均耗电量是__千瓦时; 电动汽车充满电后行驶200千米时，剩余电量为10千瓦时 综合应用题 13 （2）当行驶了60千米时，求蓄电池的剩余电量; 【解】 （千瓦时）. 答：当行驶了60千米时，蓄电池的剩余电量为50千瓦时. 综合应用题 14 （3）求当行驶多少千米时，剩余电量降至15千瓦时. 【解】 （千米）. 答：当行驶190千米时，剩余电量降至15千瓦时． 返回 综合应用题 15 8. 已知张华的家、画社、文化广场依次在 同一条直线上，画社离家，文化广场离家 .张华 从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后匀速骑行了 到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了返回家.如图，图中 表示时 间， 表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距 离与时间之间的对应关系. 创新拓展题 16 请根据相关信息，回答下列问题： 创新拓展题 17 （1）①填表： 张华离开家的时间/ 1 4 13 30 张华离家的距离/ _____ 0.6 ____ ____ 0.15 0.6 1.5 创新拓展题 18 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ； 0.075 ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间 的关系式； 【解】当时，关于 的关系式为 创新拓展题 19 （2）当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行 了 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途 中 两人相遇时离家的距离是多少？ （直接写出结果即可） 【解】从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为 ． 返回 创新拓展题 20 $$综合与实践 神奇的加密术 1 阅读下列素材，完成下列任务： 探索加密之奇，守护信息之秘 素 材 一 加密术有着悠久的历史，从古代的密码通信到现代的 数字加密，它一直扮演着保护信息安全的重要角色.在 战争时期，加密术可以确保军事机密不被敌人窃取； 在商业领域，加密术能够保护企业的商业秘密和客户 的个人信息；在日常生活中，我们的网络通信、电子 支付等也都离不开加密术的保障. 2 素 材 二 加密术是一种将信息进行编码以保护其内容不被未经 授权的人访问的技术，以下是加密术的基本要素： 1. 明文：指未经过加密的原始信息，可以是文本、数 字、图像、音频等各种形式的数据.例如，一封电子邮 件的内容、一个文件中的数据等都是明文. 续表 3 素 材 二 2. 密文：通过加密算法对明文进行处理后得到的不可 读或难以理解的信息.只有经过正确的解密过程，才能 将密文恢复为明文.例如，经过加密的电子邮件内容、 加密后的文件数据等都是密文. 续表 4 素 材 二 3. 密钥是加密算法中的一个关键参数，密钥可以是一 个数字、一个字符串或一组数据，它决定了加密算法 的具体操作方式.只有拥有正确的密钥，才能对密文进 行解密，恢复出明文，密钥的安全性至关重要，一旦 密钥被泄露，密文就可能被破解. 续表 5 素 材 三 在一种简单的加密方法中，将字母表中的每个字母对 应一个数字，A对应1，B对应2，以此类推， 对应26. 加密规则是将明文中的每个字母对应的数字加上一个 固定的密钥数字，然后对26取余得到密文对应的数 字，再根据数字找到对应的字母得到密文. 续表 6 素 材 三 例如，密钥数字为3，明文为“ ”，那么“A”对应的 数字是1，加上密钥数字3后为4，对26 取余还是4，对 应的字母是“D”；“ ”对应的数字是16，加上密钥数字3 后为19，对26取余为19，对应的字母是“ ”，以此类推. 最后密文为“ ”. 续表 7 任务一 如果密钥数字为5，明文为“ ”，那么密文是什 么？ 【解】 “ ”对应的数字是13，加上密钥数字5后为18，对26取余为18， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是1，加上密钥数字5后为6，对26取余为6， 对应的字母是“ ”； 8 “ ”对应的数字是20，加上密钥数字5后为25，对26取余为25， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是8，加上密钥数字5后为13，对26取余为13， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是19，加上密钥数字5后为24，对26取余为24， 对应的字母是“ ”． 所以密文是“ ” ． 任务二 如果密钥数字为3，明文为“ ”，那么密文 是什么？ 【解】“ ”对应的数字是3，加上密钥数字3后为6，对26取余 为6，对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是15，加上密钥数字3后为18，对26取余为18， 对应的字母是“ ”； 10 “ ”对应的数字是13，加上密钥数字3后为16，对26取余为16， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是16，加上密钥数字3后为19，对26取余为19， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是21，加上密钥数字3后为24，对26取余为24， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是20，加上密钥数字3后为23，对26取余为23， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是5，加上密钥数字3后为8，对26取余为8， 对应的字母是“ ”； “ ”对应的数字是18，加上密钥数字3后为21，对26取余为21， 对应的字母是“ ”， 所以密文是“ ” ． $$第九章 变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第1课时 曲线型图象 1 练点1 用曲线型图象表示变量之间的关系 1. [2024·江西] 将常温中的温度计插入一杯 的热水 （恒温）中，温度计的读数与时间 的关系用图象 可近似表示为( ) C A. B. C. D. 返回 基础题 2 练点2 从曲线型图象中读取信息 （第2题） 2. 在某学校科技节的开幕式上， “编程”学习小组的学员给同学们带来了一组无人机表演， 无人机根据预先设计的方案在空中组成不同的图案.如 图，曲线表示“1号机”在的时间内离地面的飞行高 度随飞行时间 的变化情况，下列说法错误的 是( ) A. 最初的高度为 B. 时的高度和 时的高度相同 C. 时达到最高高度，为 D. 到之间，飞行高度 持续上升 D 返回 基础题 3 （第3题） 3. 光合作用是指 绿色植物通过叶绿体，利用光 能，把二氧化碳和水转化成储 存能量的有机物，并释放出氧 气的过程.如图是夏季的白天8 时 时一般的绿色植物光合 8和18 作用强度与时间之间的关系曲线，观察图象可知大约在____ ___时的光合作用最弱. 返回 基础题 4 纠易错 因观察不仔细而致错 4. 将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映 容器中水的高度与时间 之间对应关系的图象大致 是( ) D A. B. C. D. 返回 基础题 5 5. 根据研究，人体内血 乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原 因.运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常 注：图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化 情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况. 在以下；如果血乳酸浓度降到 以下，运动员 就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了 一幅图象（如图），它反映了运动员进行高强度运动后，体 内血乳酸浓度随时间的变化情况.下列叙述错误的是( ) 综合应用题 6 A. 体内血乳酸浓度和时间均是变量 B. 运动后 时，两种方式下的血乳酸 浓度均超过 C. 采用静坐方式放松时，运动员大约 就能基本消除疲劳 D. 运动员进行完高强度运动，为了更快达到消除疲劳的效果， 应该采用慢跑活动方式来放松 √ 返回 综合应用题 7 6.如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时 间变化而变化，请观察图象，回答下列问题： 综合应用题 8 （1）在这一天中，气温在什么时候达到最高，最高气温是多少？ 【解】14时气温达到最高，最高气温为 . 综合应用题 9 （2）什么时间气温达到最低？ 【解】24时气温达到最低. （3）10时，20时的气温各为多少摄氏度？ 10时的气温为，20时的气温为 . 综合应用题 10 （4）如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在 以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几时开始，共有多长 时间适宜登山？ 【解】该旅行团适宜登山的时间从9时开始，共有9小时适宜 登山． 返回 综合应用题 11 7.[2024·烟台栖霞期末] 某双休日，小红在社区公园里面荡秋 千，若秋千离地面的高度与摆动时间 之间的关系如 图所示，结合图象，解答下列问题： 创新拓展题 12 （1）指出变量，中的自变量、因变量，求出 的最大值和 最小值相差多少； 【解】自变量为，因变量为.因为的最大值为 ，最小值 为，所以的最大值和最小值相差 ． 创新拓展题 13 （2）当时，根据图象写出 的值，除此之外，并指出 与之高度相同的次数； 【解】当时， ， 除此之外，与之高度相同的次数是7． 创新拓展题 14 （3）请写出秋千摆动第一个来回的时间. 【解】秋千摆动第一个来回的时间为 ． 返回 创新拓展题 15 $$第九章 变量之间的关系 3 用表格表示变量之间的关系 1 练点 用表格表示变量之间的关系 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光， 并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距 离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离 1 0.8 0.5 0.4 0.3 则以下说法错误的是( ) A. 当度时， B. 随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C. 老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少 D. 估计当度时，一定小于 C 返回 2 2. 漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记 载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的体 现.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具 模型，研究中发现了水位和时间 两个变量之间的 关系.下表是小明记录的部分数据，当为 时，对应的时 间 为( ) 时间 … 1 2 3 4 … 水位 … 2.4 2.8 3.2 3.6 … D A. B. C. D. 返回 3 3. 我国首辆火星车被命名为“祝融”，为应对极限 温度环境，火星车使用的是新型隔热材料——纳米气凝胶， 该材料的导热率与温度 之间的关系如 下表.根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温度为_____ . 温度 … 100 150 200 250 300 … 导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 … 450 返回 4 4.小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程 的变化情况如下表： 时间/ 10 20 30 40 50 60 路程/ 1.8 3.6 5.4 ____ 9 ____ （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； 时间 路程 7.2 10.8 5 （2）请将上述表格补充完整； （3）根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是 怎样随着时间的变化而变化的. 【解】由表知，小伟跑步的路程是随着时间的增加而增加． 返回 6 5.如图，三角形的底边,当 边上的高由小到 大变化时，三角形 的面积也随之发生变化. （1）设边上的高为，请写出三角形 的面积 与高 之间的关系式. 【解】由三角形的面积公式可得 . 7 （2）请你用表格表示当由 变化到 时每次增加， 的相应值. 【解】用表格表示如下. 2 3 4 5 6 6 9 12 15 18 （3）当高每增加时，三角形 的面积是如何变化？ 依据（2）中表格知，当高每增加时，三角形 的面 积增加 ． 返回 8 6. 一个蓄水池有水 ，打开放水闸门匀速放水，水池中的 水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是 ( ) 放水时间/ 1 2 3 4 … 水池中的水量/ 45 40 35 30 … C A. 放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B. 每分钟放水 C. 放水后，水池中还有水 D. 与的关系式为 返回 综合应用题 9 7. 随着海拔高度的变化，气温会有所变化.小雨 通过收集信息，发现某地某时海拔高度和气温的对应关系如 下表所示： 海拔高度/ … 400 500 600 700 800 … 气温/ … 13.1 12.5 11.9 11.3 10.7 … 同一时间，小雨攀登到了该地海拔高度为 处，推断此 处气温为_____；若小雨测得气温为 ，则推断小雨所 在位置的海拔高度为_______ . 14.6 1 000 返回 综合应用题 10 8.某公交车每月的支出费用为4 000元，每月的乘车人数 （人） 与每月的利润（利润收入费用-支出费用） （元）的变化关 系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）. 人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … 元 0 1 000 2 000 … （1）在这个变化过程中，________________是自变量， ____________是因变量. 每月的乘车人数 每月的利润 综合应用题 11 （2）观察表中数据可知，每月的乘车人数达到_______人及 以上时，该公交车才不会亏损. 2 000 （3）当每月的乘车人数为4 000人时，每月的利润为多少元？ 【解】由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人， 每月的利润可增加1 000元. 当每月的乘车人数为2 000人时，利润为0元，故每月的乘车 人数为4 000人时，每月的利润是 （元）． 返回 综合应用题 12 9. 如图，自行车每节链条的长度为 ， 交叉重叠部分的圆的直径为 . 创新拓展题 13 （1）观察图形，填写下表： 链条的节数/节 2 3 4 … 链条的长度/ ____ ____ ____ … 4.2 5.9 7.6 创新拓展题 14 （2）如果节链条的长度是，那么与 之间的关系式是 什么？ 创新拓展题 15 【解】因为， ， ， ， 所以与之间的关系式为 . 创新拓展题 16 （3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这 样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度 是多少？ 创新拓展题 17 【解】当时， ， 因为自行车上的链条为环形，所以安装时链条长度需在展直 的基础上缩短 ，故这辆自行车上的链条（安装后）总 长度是 . 返回 创新拓展题 18 $$第九章 变量之间的关系 2 用关系式表示变量之间的关系 1 练点1 用关系式表示变量之间的关系 1. 我们要节约用水，平时要关好水龙头.若 没有关好水龙头，水龙头每分钟滴60滴水，每滴水约0.05毫 升.如果小明忘记关水龙头，那么分钟后，小明浪费的水 （毫升）与时间 （分钟）之间的关系式是( ) B A. B. C. D. 返回 基础题 2 2.已知等腰三角形的周长为20，那么底边长与腰长 之间的 关系式为______________. 返回 基础题 3 练点2 用关系式求变量的值 3. 变量与之间的关系式是，当自变量 时，因变量 的值是( ) B A. B. C. 1 D. 2 4.同一温度的华氏度数与摄氏度数 之间的关系式是 .若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相 等，则此温度的摄氏度数为_____ . 返回 基础题 4 5.自变量与因变量的关系如图，当每增加1时， 增加___. 3 返回 基础题 5 6.有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下 ，称得它的质量是 . （1）写出这种电线的长度与质量 之间的关系式； 【解】根据题意,得 . （2）如果一捆电线剪下后的质量为 ，请写出这捆电 线的总长度. 设这捆电线的总长度为 ， 则,所以这捆电线的总长度是 . 返回 基础题 6 纠易错 未弄清两个变量之间的关系而出错 7. 激光测距仪发出的激光束以 的 速度射向目标，后测距仪收到反射回的激光束,则 到 的距离与时间 的关系式为( ) A A. B. C. D. 【点拨】激光由到的时间为，速度为，则 到的距离 ． 返回 基础题 7 8. 如图的三角形是有规律地从里到外逐层排列的，设 为第 层为自然数 三角形的个数，则下列关系式正确的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 8 9.[2024·济南市中区期中] 如图所示是关于变量， 的计算程 序，若开始输入自变量的值为2，则最后输出因变量 的值 为___. 6 返回 综合应用题 9 10. 观察下列图形及表格. 梯形个数 1 2 3 4 5 6 … 周长 5 8 11 14 17 20 … 则周长与梯形个数 之间的关系式为___________. 返回 综合应用题 10 11. 周末，小刚家开车到郊外春游，出 发前汽车油箱内有一定量的油.在行驶的过程中，油箱中剩余 油量（升）与行驶时间 （小时）的关系如表. 时间 小时 0 1 2 3 4 5 油箱中剩余油量 升 50 45 40 35 30 25 请根据表格回答下列问题. （1）汽车行驶前油箱里有____升汽油，汽车每小时耗油___升. 50 5 综合应用题 11 （2）请写出与 的关系式. 【解】汽车每小时耗油5升，则小时耗油 升， 则 . （3）当汽车行驶2.4小时时，油箱中还剩余多少升油？ 当时， ， 所以油箱中还剩余38升油． 返回 综合应用题 12 12.如图，在长方形中，，，为边 上 一动点，连接，随着点的运动，四边形 的面积也 发生变化. 综合应用题 13 （1）写出四边形的面积与 的长 之间的关系式； 【解】易得四边形 为梯形. 因为梯形的面积（上底下底） 高 ， 所以 . 所以四边形的面积与的长 之间的关系 式为 . 综合应用题 14 （2）当时，求 的值； 【解】当时， . 综合应用题 15 （3）当四边形的面积为35时，求 的长. 当时，，解得，即 ， 易得 . 所以 . 返回 综合应用题 16 13. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作 用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹 车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能 车速不超过 ，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如 下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 创新拓展题 17 （1）自变量是____________，因变量是__________. （2）当刹车时车速为时，刹车距离是____ . 刹车时车速 刹车距离 10 （3）该种型号汽车的刹车距离用 表示，刹车时车速用 表示，根据上表反映的规律写出与 之间的关系式. 【解】由题表可知，刹车时车速每增加 ，刹车距离 增加，所以与之间的关系式为 . 创新拓展题 18 （4）该种型号的汽车在车速为 的行驶过程中，前 面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车 的地方，司机 亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由. 【解】不会和前车追尾. 理由：当时， . 因为 ， 所以该汽车不会和前车追尾． 返回 创新拓展题 19 $$第九章 变量之间的关系 1 现实中的变量 1 练点1 变量和常量 1. 自由下落的物体下落的高度与下落的时间之间的关系为 ，在这个变化中，变量为( ) A A. ， B. ， C. ， D. 2. [2024·济南历下区期末] 要画一个面积为 的长方形， 其中长为，宽为 ，在这一变化过程中，常量与变 量分别为( ) A A. 常量为30，变量为， B. 常量为30,，变量为 C. 常量为30,，变量为 D. 常量为, ，变量为30 返回 基础题 2 3.写出下列各问题中的关系式的常量与变量： （1）分针旋转一周内，旋转的角度 （度）与旋转所需要的 时间（分）之间的关系式为 ； 【解】常量是6，变量是， . （2）当一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时， 汽车行驶的路程（千米）与行驶时间 （时）之间的关系式 为 . 常量是40，变量是， . 返回 基础题 3 练点2 自变量和因变量 4. 小亮爸爸到加油 站加油，如图是所用的加油机上的数 据显示牌，金额随着数量的变化而变 化，则下列判断正确的是( ) D A. 金额是自变量 B. 单价是自变量 C. ，31是常量 D. 金额是因变量 返回 基础题 4 5.“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国 新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量 是______，因变量是______. 温度 时间 时间 温度 返回 基础题 5 6.如图是一辆汽车的速度随时 间变化的图象，请你根据图象 提供的信息解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自 变量是______，因变量是 _______； 时间 速度 基础题 6 （2）请简要描述汽车从第10分到 第24分之间速度的变化情况. 【解】第10分到第18分时，汽车 的速度从0千米/时增加到100千米 /时，第18分到第22分时，汽车以100千米/时的速度匀速行驶， 第22分到第24分时，汽车的速度从100千米/时减少到0千米/时. 返回 基础题 7 纠易错 误认为π为变量而致错 7. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆 形水波不断扩大，记它的半径为，则其面积与 的关系式 为 ，下列判断正确的是( ) B A. 是常量 B. 是常量 C. 是自变量 D. ， ， 都是变量 是固定不变的数，属于常量，不是变量. 返回 基础题 8 8. [2024·青岛市南区期中] 用一定长度的铁丝围成一个长方 形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量；②长方形的周长是变量；③ 长方形的长是自变量时，它的宽是因变量；④长方形的宽是 自变量时，它的长是因变量；⑤长方形的长是自变量时，它 的面积是因变量. 其中正确的说法有( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 综合应用题 9 9. 如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由 转动.在转动的过程中，下面的量是常量的为( ) D A. 的度数 B. 三角形 的面积 C. 的长度 D. 的长度 返回 综合应用题 10 10. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定， 在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度 与所挂 物体质量 的对应值. 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 18 20 22 24 26 28 综合应用题 11 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ 哪个是因变量？ 【解】反映了弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系，其中 所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量. 综合应用题 （2）当所挂物体质量为 时，弹簧多长？不挂物体时呢？ 【解】当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 ；当 不挂物体时，弹簧的长度为 . （3）若所挂物体质量为 时（在允许范围内），你能说出 此时的弹簧长度吗？ 根据题表可知，当所挂物体质量为 时（在允许范围内）， 弹簧的长度为 ． 返回 综合应用题 13 11.【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都 蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对 摩天轮进行实地调研.摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀 分布着60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟. 【实践过程】小组成员使用秒 表和手机的测距功能，记录某 个吊舱从最低点旋转到不同位 置时距地面的高度和所用的时 间的数据，并绘制图象如图①. 创新拓展题 14 【问题研究】请根据图①中的信息回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自 变量是__，因变量是___； （2）摩天轮最高点距地面 _____米，摩天轮最低点距地 面___米； 108 3 创新拓展题 15 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊 舱从点旋转到点 需6分钟， 那么请你求出这个吊舱从点 顺时针旋转到点 所走的路径 的长度.结果保留 创新拓展题 16 【解】因为摩天轮最高点距地面108米，最低点距地面3米， 所以摩天轮的直径是105米. 所以 （米）. 所以所走的路径的长度是 米． 返回 创新拓展题 17 $$