第一单元圆柱与圆锥·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 22 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 22 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 22 页 知识点一：圆柱的认识和特征。 1. 圆柱的形成。 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快 速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、 固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征。 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是 一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图。 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于 圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积。 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面 周长，宽等于圆柱的高，因此： 第 4 页 共 22 页 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即 S 侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即 S 表=S 侧+2S 底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底 面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比 5 大还是比 5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积， 这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果 两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆 的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆 柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形。 第 5 页 共 22 页 知识点五：圆柱的旋转构成法。 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我 们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 第 6 页 共 22 页 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积。 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体 的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器 的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别 相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用 V表示圆柱的体积，用 S表示圆柱的底面积，用 h表示圆柱的高，则圆 柱的体积=底面积×高，用字母表示为 V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为 V=Sh，可将体积公式变形反 求底面积或高，即： ①S 底=V 柱÷h ②h=V 柱÷S 底 知识点七：圆柱体积中的两种关系。 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 第 7 页 共 22 页 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之 比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得 对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱。 1. 长方体中的最大圆柱。 在长 a厘米，宽 b厘米，高 c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个 圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方 体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个 正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对 角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高 也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式 V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转 化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 第 8 页 共 22 页 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在- h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征。 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由 扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分 叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的 高，圆锥的高用字母 h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题。 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个 等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥 的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题。 第 9 页 共 22 页 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，反之，圆 锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】圆柱的认识和特征。 1． 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 2．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形， 长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【高频考题 02】圆柱的展开图。 1．把一个圆柱的侧面展开，不可能是( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 2．下面图形中( )是圆柱体的展开图。 A． B． C． D． 【高频考题 03】圆柱的侧面积和表面积。 1．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 2米，直径 3米。前轮转动一周，压路的 面积是多少平方米？ 第 10 页 共 22 页 2．圆柱形无盖铁皮水桶高 2.5分米，底面直径 4分米，做这样一个水桶要用铁 皮多少平方分米？ 3．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径 5米，深 4米，在水 池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是 8元，那么抹水泥共需要多少 钱？ 【高频考题 04】圆柱体积的推导。 1．把高为 10厘米的圆柱按如图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了 80平 方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 2．把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体（如下图），它的表面积比原来增 加了 20dm2。已知圆柱的高是 5dm，它的体积是( )dm3。 【高频考题 05】圆柱的体积。 1．王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是 4米、深 1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重 1吨） 第 11 页 共 22 页 2．把一瓶 2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是 18.84厘米，高 10 厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【高频考题 06】圆锥的认识和特征。 1．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 2．通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。 ( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【高频考题 06】圆锥的体积。 1．一堆煤呈圆锥形，高 3米，底面周长为 12.56米，已知每立方米的煤约重 1.5 吨，这堆煤大约重多少吨？ 2．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为 1.5米，底面直径约为 4米。她通 过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重 650千克，她家这堆稻谷大约重多少千 克？ 第 12 页 共 22 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】圆柱的切拼问题。 1．一根圆柱形木料的底面半径是 0.5米，长是 2米。如图所示，将它截成 4段， 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 2．一根圆柱形钢材长 2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面 积减少了 0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为 7.8千克，焊接成的这根 钢材质量是多少千克？ 3．如图，一个圆柱体木材被截去 5厘米后，圆柱的表面积减少了 47.1平方厘米， 求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 第 13 页 共 22 页 【高频考题 02】圆柱的旋转构成法。 1．如图，以长方形对称轴 l旋转一周可以得到一个（ ），已知 AB＝7 厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 2．桌面上有一个 2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个 长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成 的。” （1）圆柱 A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱 B的 底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的 方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 【高频考题 03】圆柱的等积变形问题。 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为 2分米的圆柱形钢材，求钢材 的长度。 第 14 页 共 22 页 2．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深 6.28厘米，现将乙 容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 【高频考题 04】圆柱的排水法求体积。 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径 40厘米，高 35厘米。在鱼缸中 放一条鱼，此时水面高度是 30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了 2厘米。 （鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 2．在一个底面直径是 6厘米，高是 12厘米的圆柱形容器中有 5厘米深的水，放 入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到 7厘米。这个小石头的体积是多少 立方厘米？ 【高频考题 05】圆锥的旋转构成法。 1．如下图，一个直角三角形，以3cm的直角边为轴旋转一周、形成一个( ) （填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是 ( )cm，体积是( ) 3cm 。与它等底等高的圆柱的体积是 ( ) 3cm 。 第 15 页 共 22 页 2．如图，直角三角形 ABC如果绕 AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕 BC旋转 一周后得到圆锥乙。已知 : 3 : 4AB BC  ，那么两个圆锥的体积 :V V 甲 乙 ( )。 【高频考题 06】圆锥的切面积问题。 1．把一个底面周长是 9.42厘米，高是 8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等 的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 2．一个圆锥的底面周长是 12.56厘米，如果把它切成两个完全一样的立体图形 后，表面积增加 24平方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【高频考题 07】圆柱与圆锥的关系问题。 1．一个圆柱体杯中盛满 15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯 中还有( )毫升的水。 2．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是 6分米，圆 锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥 的底面积是 28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 3．小悦用一块体积为 216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一 个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多 32立方厘米，圆 柱的体积是( )立方厘米。 第 16 页 共 22 页 【高频考题 08】圆锥的等积变形问题。 1．把一个底面半径是 2厘米，高是 5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是 10 厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 2．把一个长 6.28分米，宽和高都为 4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为 8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【高频考题 09】圆锥的排水法求体积。 1．一个底面直径为 40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面 直径 20厘米，高 9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度 下降了多少厘米？ 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长 50厘米、宽 30厘米，缸中水的高度是 12 厘米。当把一个底面积是 900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高 度是 15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 第 17 页 共 22 页 3．一个底面半径是 6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高 9厘米的圆锥 形铅锤完全浸没于水中，水溢出 10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下 降了 0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取 3.14） 【高频考题 10】含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和 体积。 1．计算如图形的表面积。（单位：厘米） 2．计算下面物体的体积。 第 18 页 共 22 页 一、填空题。 1．（2024·全国·期末）折一折或卷一卷，能得到什么立体图形？写在（ ）里。 ( ) ( ) ( ) 2．（2022·安徽阜阳·小升初真题）下面一排图形各自绕轴旋转一周后会得到哪 些图形？ ( ) ( ) ( ) 3．（2024·湖南永州·期末）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长 是( )cm，宽是( )cm。（π取 3.14） 4．（2024·广西河池·期末）有一个底面直径是 3cm的圆柱形玩具，高 8cm，滚 动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 5．（2023·湖南永州·期末）一根圆柱形木料的底面半径是 0.5米，长是 2米。将 它截成 4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 6．（2024·四川德阳·期末）如图，将一个边长为 5cm的正方形，以一边为轴旋 转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积 是( )cm3。 7．（2023·广东揭阳·期中）一个底面半径 5厘米，高 8厘米的圆锥沿着高切成 第 19 页 共 22 页 相等的两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 8．（2024·四川巴中·小升初真题）一块圆柱形木头的底面半径和高均为 3dm， 它的侧面积是( )dm2，将它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 ( )dm3。 二、判断题。 9．（2023·湖南岳阳·期末）计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积 乘高。( ) 10．（2024·河北邢台·期末）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、 圆锥（均为实心），体积不变。( ) 11．（2017·全国·小升初真题）一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱 的高和底面直径相等。( ) 12．（2024·河北邯郸·期末）把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了 36立方 厘米，这个圆锥的体积是 18立方厘米。( ) 三、选择题。 13．（2024·四川遂宁·期末）将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一 周，( )形成的圆柱体积最大。 A． B． C． D． 14．（2024·吉林四平·期末）把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为 6厘米的圆 柱形容器里，水位上升了 4厘米。这个圆锥的体积是( )立方厘米。 A．36 B．12 C．48 D．144 15．（2024·浙江杭州·期末）如图，等底等高的圆柱和圆锥叠在一起。已知圆柱 和圆锥的体积一共是 180立方厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？下面列式 正确的是( )。 第 20 页 共 22 页 A．180÷4×3 B．180 3 1  C． 1180 4  D． 1180 1 3       16．（2023·安徽马鞍山·期末）把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状 相同的两部分后，表面积增加了 120平方厘米。圆锥的高是 6厘米，圆锥的体积 是( )立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 四、计算题。 17．（2024·湖南岳阳·期末）下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图 形，求它的表面积。（单位：cm） 18．（2024·四川广元·期末）计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1） （2） 五、解答题。 19．（2024·河北承德·期末）妈妈要给小明的水壶（如图）做个布套（无盖）。 第 21 页 共 22 页 （1）做这个布套至少要用多少布料？ （2）这个水壶最多能装多少升水？ 20．（2023·安徽马鞍山·期末）一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是 18.84 米，高是 30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？ （2）帐篷里的空间有多大？ 21．（2023·安徽马鞍山·期末）把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆 柱，求这个圆柱的表面积和体积。 22．（2024·广东东莞·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图）， 它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是 3厘米， 圆锥的高和圆柱的高都是 6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 第 22 页 共 22 页 23．（2024·山东临沂·期末）一个底面半径为 10厘米的圆柱形容器，里面装有 水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面 上升到 9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 第 1 页 共 47 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 47 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 47 页 知识点一：圆柱的认识和特征。 1. 圆柱的形成。 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快 速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、 固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征。 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是 一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图。 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于 圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积。 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面 周长，宽等于圆柱的高，因此： 第 4 页 共 47 页 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即 S 侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即 S 表=S 侧+2S 底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底 面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比 5 大还是比 5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变 化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变 化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积， 这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果 两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆 的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆 柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形。 第 5 页 共 47 页 知识点五：圆柱的旋转构成法。 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我 们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半 径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 第 6 页 共 47 页 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半 径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积。 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体 的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器 的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多 2个面积大小为 hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别 相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用 V表示圆柱的体积，用 S表示圆柱的底面积，用 h表示圆柱的高，则圆 柱的体积=底面积×高，用字母表示为 V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为 V=Sh，可将体积公式变形反 求底面积或高，即： ①S 底=V 柱÷h ②h=V 柱÷S 底 知识点七：圆柱体积中的两种关系。 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 第 7 页 共 47 页 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之 比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得 对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几 倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱。 1. 长方体中的最大圆柱。 在长 a厘米，宽 b厘米，高 c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个 圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方 体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个 正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对 角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高 也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式 V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转 化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 第 8 页 共 47 页 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在- h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征。 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由 扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分 叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的 高，圆锥的高用字母 h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题。 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个 等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥 的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题。 第 9 页 共 47 页 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，反之，圆 锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】圆柱的认识和特征。 1． 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样。根据圆柱 的特征解答即可。 【详解】 、 、 上下粗细不一样，不是圆柱； 、 符合圆柱的特征，是圆柱； 两个底面不一样，不是圆柱。所以上面图形中 是圆柱的是②⑤，圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 【点睛】此题考查了圆柱的特征，注意圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形， 长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】 底 侧 底面 侧 周长 高 【分析】如下图，圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。圆柱的两个底面是大小 第 10 页 共 47 页 相同的两个圆，即两个底面面积相等。圆柱的侧面沿高剪开，侧面展开后是一个 长方形（或正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的 高。 【详解】一个圆柱由两个底面和一个侧面组成，两个底面面积相等，沿高剪开， 圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱 的高。 【点睛】圆柱的侧面如果不是沿高剪开，那么它的侧面展开图就不是长方形（或 正方形），而是平行四边形或其他一些不规则图形。如下图： 【高频考题 02】圆柱的展开图。 1．把一个圆柱的侧面展开，不可能是( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】D 【分析】圆柱的展开图可能是正方形、可能是长方形、也可能是平行四边形，根 据圆柱的侧面展开图的特点，结合圆柱的侧面的几种展开图方法与展开图的特点 即可进行选择。 【详解】圆柱的侧面沿高展开可能是长方形或正方形，如果斜着展开是一个平行 四边形，因为圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，所以圆柱的侧面展开图不可 能是梯形。 故答案为：D 2．下面图形中( )是圆柱体的展开图。 第 11 页 共 47 页 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆柱体侧面展开图特征：如果沿着圆柱体的高将圆柱体侧面展开，得到 的图形是一个矩形。矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，即 C＝2πr（其中为底 面半径）。矩形的宽等于圆柱体的高。 圆柱体两个底面展开图特征：圆柱体的两个底面是完全相同的圆。圆的半径就是 圆柱体底面半径 r。在圆柱体展开图中，两个底面圆分别位于侧面展开长方形的 上下两侧（当沿着高展开时）。逐一分析各项，是否符合圆柱体展开图的特征。 【详解】 A． ，图中长方形的高为 2，长为 9.42，长方形的长为圆柱底面圆的 周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，符合圆 柱体展开图的特征。 B． ，图中长方形的长为 3，高为 2，长方形的长为圆柱底面圆的周长， 依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长 不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 C． 图中长方形的高为 2，长为 12，长方形的长为圆柱底面圆的周 长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形 的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 D． 图中长方形的高为 2，长为 24，长方形的长为圆柱底面圆 的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（6÷2）＝6.28×3＝18.84，与长方 形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 故答案为：A 第 12 页 共 47 页 【高频考题 03】圆柱的侧面积和表面积。 1．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 2米，直径 3米。前轮转动一周，压路的 面积是多少平方米？ 【答案】18.84平方米 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面积公式： dhS  ，d是直径，h为轮宽，代 入数据，即可得出答案。 【详解】3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（平方米） 答：压路的面积是 18.84平方米。 2．圆柱形无盖铁皮水桶高 2.5分米，底面直径 4分米，做这样一个水桶要用铁 皮多少平方分米？ 【答案】43.96平方分米 【分析】无盖铁皮水桶只有一个底面，水桶要用的铁皮面积＝底面积＋侧面积， 底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2.5 ＝3.14×22＋31.4 ＝3.14×4＋31.4 ＝12.56＋31.4 ＝43.96（平方分米） 答：做这样一个水桶要用铁皮 43.96平方分米。 3．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径 5米，深 4米，在水 池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是 8元，那么抹水泥共需要多少 钱？ 【答案】1632.8元 【分析】已知这个水池无盖，所以抹水泥的部分是这个圆柱的一个底面和侧面； 第 13 页 共 47 页 根据圆的面积公式：面积＝π×半径 2；圆柱侧面积公式：侧面积＝2π×半径×圆柱 的高，代入数据，求出抹水泥的面积，再乘每平方米的费用即可解答。 【详解】3.14×52＋2×3.14×5×4 ＝3.14×25＋6.28×5×4 ＝78.5＋31.4×4 ＝78.5＋125.6 ＝204.1（平方米） 204.1×8＝1632.8（元） 答：抹水泥共需要 1632.8元。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆柱体表面积公式是解答本题的关键。 【高频考题 04】圆柱体积的推导。 1．把高为 10厘米的圆柱按如图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了 80平 方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】502.4 【分析】根据题意，知道长方体表面积增加的 80平方厘米，是 2个以圆柱的底 面半径为宽，高为长的长方形的面积，先除以 2，求出一个长方形的面积，高为 10厘米，根据长方形的宽＝面积÷长，即可求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的 体积公式：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】80÷2÷10＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 即圆柱的体积是 502.4立方厘米。 2．把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体（如下图），它的表面积比原来增 加了 20dm2。已知圆柱的高是 5dm，它的体积是( )dm3。 第 14 页 共 47 页 【答案】62.8 【分析】看图，表面积增加的部分是长方体的左面和右面。将表面积增加部分除 以 2，求出左面或右面的面积。左面的长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面半 径。将左面的面积除以圆柱的高，求出圆柱的底面半径。再根据圆柱体积＝πr2h， 列式求出圆柱的体积。 【详解】20÷2÷5 ＝10÷5 ＝2（dm） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（dm3） 所以，它的体积是 62.8dm3。 【高频考题 05】圆柱的体积。 1．王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是 4米、深 1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重 1吨） 【答案】（1）31.4 平方米 （2）18.84 吨 【分析】（1）求抹水泥的面积也就是求圆柱的一个底面积和一个侧面积的和， 底面积＝ 2r ，侧面积＝ dh ，根据公式代入数据计算即可。 （2）求这个蓄水池能装多少水，也就是求这个圆柱的容积，根据圆柱的体积＝ 2r h 计算即可。 【详解】（1） 4 2 2 ＝（米） 22 4＝ 3.14 4 3.14 4 1.5    ＝  3.14 4 6  ＝3.14 10 第 15 页 共 47 页 ＝31.4（平方米） 答：现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是 31.4平方米。 （2） 4 2 2 ＝（米） 22 4＝ 3.14 4 1.5 1   ＝3.14 6 ＝18.84（吨） 答：这个蓄水池能装 18.84吨水。 2．把一瓶 2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是 18.84厘米，高 10 厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【答案】7杯 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的 容积公式：V＝πr2h，据此求出玻璃杯的容积；再用可乐的体积除以玻璃杯的容 积，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 2升＝2000立方厘米 2000÷282.6≈7.1≈7（杯） 答：最多能倒满 7杯。 【高频考题 06】圆锥的认识和特征。 1．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 第 16 页 共 47 页 【答案】（×）（ ）（ ）（×）（√） 【分析】根据圆柱和圆锥的特征判断即可。 【详解】圆柱上下两个底面是相等的两个圆，围成圆柱的侧面是曲面，展开为长 方形。 圆锥的底面是圆形，侧面为曲面，展开为扇形。 所以第一个图形和第四个图形为圆柱，第五个图形为圆锥。 【点睛】此题考查了学生对圆锥、圆柱的认识。 2．通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。 ( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【答案】 顶点 底面 侧面 底面 侧面 一 【分析】根据圆锥各部分的名称和特征解答。 【详解】 如图所示，圆锥有一个（顶点），一个（底面），一个（侧面）。（底面）是一 个圆，（侧面）展开后是一个扇形。圆锥只有（一）条高。 【点睛】考查对圆锥各部分的认识。 【高频考题 06】圆锥的体积。 1．一堆煤呈圆锥形，高 3米，底面周长为 12.56米，已知每立方米的煤约重 1.5 吨，这堆煤大约重多少吨？ 【答案】18.84吨 【分析】此题需要先利用圆的周长公式求出这堆煤的底面半径，再利用圆锥的体 第 17 页 共 47 页 积 V＝ 13 Sh，求出这堆煤的体积，进而用这堆煤的体积乘每立方米的煤的重量， 就是这堆煤的总重量。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×3× 13 ×1.5 ＝3.14×4×3× 13 ×1.5 ＝12.56×3× 13 ×1.5 ＝37.68× 13 ×1.5 ＝12.56×1.5 ＝18.84（吨） 答：这堆煤大约重 18.84吨。 2．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为 1.5米，底面直径约为 4米。她通 过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重 650千克，她家这堆稻谷大约重多少千 克？ 【答案】4082千克 【分析】圆锥的体积＝底面积×高× 13＝ 1 3 πr 2h，据此求出圆锥形稻谷堆的体积， 再乘每立方米稻谷的质量，即可求出她家这堆稻谷大约重多少千克。 【详解】 2 13.14 (4 2) 1.5 650 3      ＝3.14×4×0.5×650 ＝6.28×650 ＝4082（千克） 答：她家这堆稻谷大约重 4082千克。 第 18 页 共 47 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】圆柱的切拼问题。 1．一根圆柱形木料的底面半径是 0.5米，长是 2米。如图所示，将它截成 4段， 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】4.71平方米 【分析】看图，截成 4段，增加了 6个底面积。底面积＝πr2，据此先求出一个 面的面积，再乘 6，即可解题。 【详解】3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝0.785×6 ＝4.71（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了 4.71平方米。 2．一根圆柱形钢材长 2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面 积减少了 0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为 7.8千克，焊接成的这根 钢材质量是多少千克？ 【答案】117千克 【分析】根据题意可知：把两个圆柱形钢材拼成一根圆柱形钢材，表面积减少了 0.6平方分米，表面积减少的是两个底面的面积，由此可以求出圆柱的底面积； 圆柱的体积V Sh ，再把数据代入公式求出这根圆柱形钢材的体积；然后用钢材 的体积乘每立方分米钢材的质量即可。 【详解】2.5米＝25分米 0.6÷2×（25×2）×7.8 ＝0.3×50×7.8 ＝15×7.8 ＝117（千克） 答：焊接成的这根钢材质量是 117千克。 【点睛】解决此题的关键是根据减少的表面积求出圆柱的底面积。 第 19 页 共 47 页 3．如图，一个圆柱体木材被截去 5厘米后，圆柱的表面积减少了 47.1平方厘米， 求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去 5厘米，圆柱的表面积减少 了 47.1平方厘米，表面积减少的是高 5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面 积公式：S＝2πrh，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式： V＝ 2πr h，把数据代入公式解答。 【详解】47.1÷2÷3.14÷5 ＝23.55÷3.14÷5 ＝1.5（厘米） 3.14×1.52×20 ＝3.14×1.5×1.5×20 ＝7.065×20 ＝141.3（立方厘米） 答：原来圆柱体的体积是 141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【高频考题 02】圆柱的旋转构成法。 1．如图，以长方形对称轴 l旋转一周可以得到一个（ ），已知 AB＝7 厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 第 20 页 共 47 页 【答案】圆柱体；87.92立方厘米。 【分析】由图知：以长方形对称轴 l旋转一周可以得到一个圆柱，圆柱的底面半 径是 4÷2＝2厘米，高是 7厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，将数据代入计 算即可。 【详解】以长方形对称轴 l旋转一周可以得到一个（圆柱体）。   23.14 (4 2) 7 ＝3.14 4 7  ＝12.56×7 ＝87.92（立方厘米） 答：它的体积是 87.92立方厘米。 2．桌面上有一个 2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个 长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成 的。” （1）圆柱 A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱 B的 底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的 方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 第 21 页 共 47 页 【答案】（1）2；4；4；2；（2）错误；理由见详解 【分析】（1）以长为轴旋转一周，宽为圆柱的底面半径，长为高；以宽为轴旋 转一周，长是圆柱的底面半径，宽是高；据此解答； （2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答。 【详解】（1）圆柱 A的底面半径为 2cm，高为 4cm；圆柱 B的底面半径为 4cm， 高为 2cm。 （2）小丽的说法是（□正确☑错误）的。 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.25（cm3） 3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝100.48（cm3） 两个圆柱体积不相等。 【高频考题 03】圆柱的等积变形问题。 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为 2分米的圆柱形钢材，求钢材 的长度。 第 22 页 共 47 页 【答案】20分米 【分析】熔铸前后体积不变，即圆柱体的体积等于长方体的体积。根据长方体的 体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积即圆柱体的体积，再 根据圆柱的高＝圆柱体的体积÷圆柱的底面积，代入数据计算，即可求出钢材的 长度。据此解答。 【详解】12.56×5×4÷（3.14×22） ＝12.56×5×4÷（3.14×4） ＝251.2÷12.56 ＝20（分米） 答：钢材的长度是 20分米。 2．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深 6.28厘米，现将乙 容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出乙容器中水的体积，再根据 “ 2圆柱V r h ”求出甲容器中水的深度，据此解答。 【详解】10×10×6.28÷[3.14×（5÷2）2] ＝10×10×6.28÷[3.14×6.25] ＝10×10×6.28÷19.625 ＝628÷19.625 ＝32（厘米） 答：甲容器中水深 32厘米。 【点睛】灵活运用长方体和圆柱体的体积计算公式是解答题目的关键。 第 23 页 共 47 页 【高频考题 04】圆柱的排水法求体积。 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径 40厘米，高 35厘米。在鱼缸中 放一条鱼，此时水面高度是 30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了 2厘米。 （鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）35168立方厘米 （2）43960立方厘米 【分析】（1）当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了 2厘米，这时鱼缸的水面是 30 厘米下降了 2厘米，则此时的水面的高度是 28厘米。鱼缸中水的体积就是一个 高度为 28厘米的圆柱的体积： 2πV r h 。 （2）鱼缸的容积就是求这个圆柱形的体积，利用圆柱体积的公式解答即可。 【详解】（1）30－2＝28（厘米） 3.14×（40÷2）2×28 ＝3.14×202×28 ＝3.14×400×28 ＝35168（立方厘米） 答：鱼缸中水的体积是 35168立方厘米。 （2）3.14×（40÷2）2×35 ＝3.14×202×35 ＝3.14×400×35 ＝43960（立方厘米） 答：鱼缸的容积是 43960立方厘米。 2．在一个底面直径是 6厘米，高是 12厘米的圆柱形容器中有 5厘米深的水，放 入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到 7厘米。这个小石头的体积是多少 立方厘米？ 【答案】56.52立方厘米 【分析】水面升高的体积就是小石头的体积，圆柱形容器底面积×水面升高的高 度＝小石头的体积，据此列式解答。 第 24 页 共 47 页 【详解】    23.14 (6 2) (7 5)  2=3.14 3 2  =3.14 9 2 =56.52（立方厘米） 答：这个小石头的体积是 56.52立方厘米。 【高频考题 05】圆锥的旋转构成法。 1．如下图，一个直角三角形，以3cm的直角边为轴旋转一周、形成一个( ) （填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是 ( )cm，体积是( ) 3cm 。与它等底等高的圆柱的体积是 ( ) 3cm 。 【答案】 圆锥 2 3 12.56 37.68 【分析】由图可知，以 3cm的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 其底面半径是 2cm，高为 3cm，再根据圆锥的体积＝ 2 1 3 r h ，把数据代入公式中 求得圆锥的体积，再根据在等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的 3倍求 得圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】 2 1 3.14 2 3 3    ＝ 13.14 4 3 3 骣 ÷ç创 ÷ç ÷ç桫 ＝12.56（ 3cm ） 12.56×3＝37.68（ 3cm ） 所以，一个直角三角形，以3cm的直角边为轴旋转一周、形成一个圆锥。这个立 体图形的底面半径是 2cm、高是 3cm，体积是 12.56 3cm ，与它等底等高的圆柱的 体积是 37.68 3cm 。 2．如图，直角三角形 ABC如果绕 AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕 BC旋转 第 25 页 共 47 页 一周后得到圆锥乙。已知 : 3 : 4AB BC  ，那么两个圆锥的体积 :V V 甲 乙 ( )。 【答案】4∶3 【分析】绕 AB旋转一周后得到圆锥甲，底面半径是 BC，高是 AB，绕 BC旋转 一周后得到圆锥乙，底面半径是 AB，高是 BC，已知 : 3 : 4AB BC  ，将 AB看成 3，BC看成 4，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算两个圆锥的体积，两数 相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出两个圆锥的体积比，化简即可。 【详解】将 AB看成 3，BC看成 4。 （3.14×42×3÷3）∶（3.14×32×4÷3） ＝（42×3）∶（32×4） ＝（16×3）∶（9×4） ＝48∶36 ＝（48÷12）∶（36÷12） ＝4∶3 两个圆锥的体积 :V V 甲 乙 4∶3。 【高频考题 06】圆锥的切面积问题。 1．把一个底面周长是 9.42厘米，高是 8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等 的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥 的表面积增加了 2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的 高为高的三角形； 已知圆锥的底面周长是 9.42厘米，先根据圆的周长公式 C＝2πr可知，r＝C÷π÷2， 由此求出圆锥的底面半径；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面 积，再乘 2，即是增加的表面积。 【详解】圆锥的底面直径：9.42 3.14 3  （厘米） 表面积增加了：3 8 2 2 24    （平方厘米） 第 26 页 共 47 页 表面积增加了 24平方厘米。 2．一个圆锥的底面周长是 12.56厘米，如果把它切成两个完全一样的立体图形 后，表面积增加 24平方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】25.12 【详解】试题分析：根据底面周长，可以求出这个圆锥的半径；把圆锥切成两个 完全一样的立体图形后，表面积是增加了两个以圆锥的底面直径为底和以圆锥的 高为高的三角形的面积，由增加的 24平方厘米，可以求出圆锥的高，再利用圆 锥的体积公式即可解答． 解：底面半径是：12.56÷3.14÷2=2（厘米）， 高是：24÷2×2÷（2×2）， =24÷4， =6（厘米）， 体积是： ×3.14×22×6， = ×3.14×4×6， =25.12（立方厘米）， 答：这个圆锥的体积是 25.12立方厘米． 故答案为 25.12． 点评：此题考查圆锥的计算公式的综合应用，抓住切割特点进行解答是解决此类 问题的关键． 【高频考题 07】圆柱与圆锥的关系问题。 1．一个圆柱体杯中盛满 15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯 中还有( )毫升的水。 【答案】10000 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的 1 3，用圆柱的体积× 1 3，求出圆锥的体 积，把铁圆锥倒入水中后，铁圆锥会排除与它等体积的水，所以再用圆柱的体积 －铁圆锥的体积，即可求出圆柱体杯中的水的体积，注意单位名数的换算。 【详解】15－15× 13 ＝15－5 第 27 页 共 47 页 ＝10（升） 10升＝10000毫升 一个圆柱体杯中盛满 15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中 还有 10000毫升的水。 2．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是 6分米，圆 锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥 的底面积是 28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】 18 9.42 【分析】当底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱高的 3倍；当体积和高相等时， 圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍，即圆柱的底面积是圆锥底面积的 13，据此解 答。 【详解】6×3＝18（分米） 即一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是 6分米，圆锥 的高是 6分米。 28.26× 13＝9.42（平方厘米） 即一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是 28.26平方厘 米，则圆柱的底面积是 9.42平方厘米。 3．小悦用一块体积为 216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一 个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】根据 V 柱＝Sh，V 锥＝ 1 3 Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体 积是圆锥体积的 3倍，把圆锥的体积看作 1份，则圆柱的体积是 3份，一共是（3 ＋1）份； 已知把体积为 216立方厘米的橡皮泥捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，即 圆柱和圆锥的体积之和是 216立方厘米，用体积之和除以（3＋1）份，求出一份 数，也就是圆锥的体积，据此解答。 【详解】216÷（3＋1） ＝216÷4 第 28 页 共 47 页 ＝54（立方厘米） 圆锥的体积是 54立方厘米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多 32立方厘米，圆 柱的体积是( )立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，把圆锥的体积看作 1倍数， 则圆柱的体积是 3倍数，圆柱的体积比圆锥的体积多（3－1）倍数，对应的是 32立方厘米，用 32除以（3－1）求出 1倍数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的 体积乘 3即可求出圆柱的体积。 【详解】32÷（3－1）×3 ＝32÷2×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 所以圆柱的体积是 48立方厘米。 【高频考题 08】圆锥的等积变形问题。 1．把一个底面半径是 2厘米，高是 5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是 10 厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】圆柱的体积等于圆锥的体积，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝ 底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高；圆柱的底面积＝πr2，先求 出圆柱的体积，再代入数据求出圆锥的底面积即可。 【详解】圆柱的体积： 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 第 29 页 共 47 页 圆锥的底面积： 62.8×3÷10 ＝188.4÷10 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是 18.84平方厘米。 2．把一个长 6.28分米，宽和高都为 4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为 8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】根据题意，把一个长方体钢坯熔铸成一个圆锥形铅锤，则钢坯的体积不 变；先根据长方体的体积公式 V＝abh，求出钢坯的体积；然后根据圆锥的体积 公式 V＝ 13 Sh可知，圆锥的高 h＝3V÷S，其中 S＝πr 2，代入数据计算即可求解。 【详解】长方体的体积（圆锥的体积）： 6.28×4×4 ＝25.12×4 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 答：这个铅锤的高是 6分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住立体图 形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 【高频考题 09】圆锥的排水法求体积。 1．一个底面直径为 40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面 直径 20厘米，高 9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度 第 30 页 共 47 页 下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【分析】根据题意，在一个装有水的圆柱体容器里浸没一个圆锥体铅锤，当铅锤 从水中取出后，水面会下降，那么水面下降部分的体积等于这个圆锥体铅锤的体 积。 已知圆锥体铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式 V＝ 13 πr 2h，求出这个铅 锤的体积，也是水面下降部分的体积； 已知圆柱体容器的底面直径为 40厘米，根据圆的面积公式 S＝πr2，求出容器的 底面积； 再根据圆柱的体积公式 V＝Sh可知，圆柱的高 h＝V÷S，据此求出容器中水面下 降的高度。 【详解】圆锥的体积（水面下降的体积）： 1 3 ×3.14×（20÷2） 2×9 ＝ 1 3 ×3.14×10 2×9 ＝ 1 3 ×3.14×100×9 ＝942（立方厘米） 圆柱体容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 942÷1256＝0.75（厘米） 答：容器中水面高度下降了 0.75厘米。 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长 50厘米、宽 30厘米，缸中水的高度是 12 厘米。当把一个底面积是 900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高 度是 15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：圆柱的认识和特征。 1. 圆柱的形成。 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征。 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图。 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积。 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法。 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积。 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系。 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱。 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征。 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题。 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】圆柱的认识和特征。 1． 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 2．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。   【高频考题02】圆柱的展开图。 1．把一个圆柱的侧面展开，不可能是( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 2．下面图形中( )是圆柱体的展开图。 A． B．C．D． 【高频考题03】圆柱的侧面积和表面积。 1．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径3米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？ 2．圆柱形无盖铁皮水桶高2.5分米，底面直径4分米，做这样一个水桶要用铁皮多少平方分米？ 3．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径5米，深4米，在水池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是8元，那么抹水泥共需要多少钱？ 【高频考题04】圆柱体积的推导。 1．把高为10厘米的圆柱按如图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了80平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 2．把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体（如下图），它的表面积比原来增加了20dm2。已知圆柱的高是5dm，它的体积是( )dm3。 【高频考题05】圆柱的体积。 1．王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是4米、深1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重1吨） 2．把一瓶2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【高频考题06】圆锥的认识和特征。 1．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 2．通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【高频考题06】圆锥的体积。 1．一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 2．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？ 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】圆柱的切拼问题。 1．一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 2．一根圆柱形钢材长2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为7.8千克，焊接成的这根钢材质量是多少千克？ 3．如图，一个圆柱体木材被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？    【高频考题02】圆柱的旋转构成法。 1．如图，以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（     ），已知AB＝7厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 2．桌面上有一个2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成的。” （1）圆柱A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱B的底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 【高频考题03】圆柱的等积变形问题。 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 2．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，现将乙容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 【高频考题04】圆柱的排水法求体积。 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 2．在一个底面直径是6厘米，高是12厘米的圆柱形容器中有5厘米深的水，放入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到7厘米。这个小石头的体积是多少立方厘米？ 【高频考题05】圆锥的旋转构成法。 1．如下图，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个( )（填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是( )cm，体积是( )。与它等底等高的圆柱的体积是( )。 2．如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 【高频考题06】圆锥的切面积问题。 1．把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 2．一个圆锥的底面周长是12.56厘米，如果把它切成两个完全一样的立体图形后，表面积增加24平方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【高频考题07】圆柱与圆锥的关系问题。 1．一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有( )毫升的水。 2．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 3．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【高频考题08】圆锥的等积变形问题。 1．把一个底面半径是2厘米，高是5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 2．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【高频考题09】圆锥的排水法求体积。 1．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 3．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【高频考题10】含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算如图形的表面积。（单位：厘米） 2．计算下面物体的体积。 一、填空题。 1．（2024·全国·期末）折一折或卷一卷，能得到什么立体图形？写在（    ）里。 ( )      ( )       ( ) 2．（2022·安徽阜阳·小升初真题）下面一排图形各自绕轴旋转一周后会得到哪些图形？ ( )( )( ) 3．（2024·湖南永州·期末）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 4．（2024·广西河池·期末）有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 5．（2023·湖南永州·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 6．（2024·四川德阳·期末）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 7．（2023·广东揭阳·期中）一个底面半径5厘米，高8厘米的圆锥沿着高切成相等的两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 8．（2024·四川巴中·小升初真题）一块圆柱形木头的底面半径和高均为3dm，它的侧面积是( )dm2，将它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )dm3。 二、判断题。 9．（2023·湖南岳阳·期末）计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 10．（2024·河北邢台·期末）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。( ) 11．（2017·全国·小升初真题）一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 12．（2024·河北邯郸·期末）把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。( ) 三、选择题。 13．（2024·四川遂宁·期末）将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一周，( )形成的圆柱体积最大。 A． B． C． D． 14．（2024·吉林四平·期末）把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是( )立方厘米。 A． B． C． D． 15．（2024·浙江杭州·期末）如图，等底等高的圆柱和圆锥叠在一起。已知圆柱和圆锥的体积一共是180立方厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？下面列式正确的是( )。 A．180÷4×3 B． C． D． 16．（2023·安徽马鞍山·期末）把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 四、计算题。 17．（2024·湖南岳阳·期末）下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积。（单位：cm） 18．（2024·四川广元·期末）计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1）      （2） 五、解答题。 19．（2024·河北承德·期末）妈妈要给小明的水壶（如图）做个布套（无盖）。 （1）做这个布套至少要用多少布料？ （2）这个水壶最多能装多少升水？ 20．（2023·安徽马鞍山·期末）一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是18.84米，高是30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？            （2）帐篷里的空间有多大？ 21．（2023·安徽马鞍山·期末）把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆柱，求这个圆柱的表面积和体积。 22．（2024·广东东莞·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 23．（2024·山东临沂·期末）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：圆柱的认识和特征。 1. 圆柱的形成。 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征。 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图。 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积。 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题。 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法。 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积。 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系。 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱。 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积。 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征。 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题。 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题。 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】圆柱的认识和特征。 1． 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样。根据圆柱的特征解答即可。 【详解】、、上下粗细不一样，不是圆柱；、符合圆柱的特征，是圆柱；两个底面不一样，不是圆柱。所以上面图形中是圆柱的是②⑤，圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 【点睛】此题考查了圆柱的特征，注意圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】 底 侧 底面 侧 周长 高 【分析】如下图，圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。圆柱的两个底面是大小相同的两个圆，即两个底面面积相等。圆柱的侧面沿高剪开，侧面展开后是一个长方形（或正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。    【详解】一个圆柱由两个底面和一个侧面组成，两个底面面积相等，沿高剪开，圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 【点睛】圆柱的侧面如果不是沿高剪开，那么它的侧面展开图就不是长方形（或正方形），而是平行四边形或其他一些不规则图形。如下图：    【高频考题02】圆柱的展开图。 1．把一个圆柱的侧面展开，不可能是( )。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】D 【分析】圆柱的展开图可能是正方形、可能是长方形、也可能是平行四边形，根据圆柱的侧面展开图的特点，结合圆柱的侧面的几种展开图方法与展开图的特点即可进行选择。 【详解】圆柱的侧面沿高展开可能是长方形或正方形，如果斜着展开是一个平行四边形，因为圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，所以圆柱的侧面展开图不可能是梯形。 故答案为：D 2．下面图形中( )是圆柱体的展开图。 A． B．C．D． 【答案】A 【分析】圆柱体侧面展开图特征：如果沿着圆柱体的高将圆柱体侧面展开，得到的图形是一个矩形。矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，即C＝2πr（其中为底面半径）。矩形的宽等于圆柱体的高。 圆柱体两个底面展开图特征：圆柱体的两个底面是完全相同的圆。圆的半径就是圆柱体底面半径r。在圆柱体展开图中，两个底面圆分别位于侧面展开长方形的上下两侧（当沿着高展开时）。逐一分析各项，是否符合圆柱体展开图的特征。 【详解】 A．，图中长方形的高为2，长为9.42，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，符合圆柱体展开图的特征。 B．，图中长方形的长为3，高为2，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 C． 图中长方形的高为2，长为12，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 D． 图中长方形的高为2，长为24，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（6÷2）＝6.28×3＝18.84，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 故答案为：A 【高频考题03】圆柱的侧面积和表面积。 1．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径3米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？ 【答案】18.84平方米 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面积公式：，d是直径，h为轮宽，代入数据，即可得出答案。 【详解】3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（平方米） 答：压路的面积是18.84平方米。 2．圆柱形无盖铁皮水桶高2.5分米，底面直径4分米，做这样一个水桶要用铁皮多少平方分米？ 【答案】43.96平方分米 【分析】无盖铁皮水桶只有一个底面，水桶要用的铁皮面积＝底面积＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2.5 ＝3.14×22＋31.4 ＝3.14×4＋31.4 ＝12.56＋31.4 ＝43.96（平方分米） 答：做这样一个水桶要用铁皮43.96平方分米。 3．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径5米，深4米，在水池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是8元，那么抹水泥共需要多少钱？ 【答案】1632.8元 【分析】已知这个水池无盖，所以抹水泥的部分是这个圆柱的一个底面和侧面；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；圆柱侧面积公式：侧面积＝2π×半径×圆柱的高，代入数据，求出抹水泥的面积，再乘每平方米的费用即可解答。 【详解】3.14×52＋2×3.14×5×4 ＝3.14×25＋6.28×5×4 ＝78.5＋31.4×4 ＝78.5＋125.6 ＝204.1（平方米） 204.1×8＝1632.8（元） 答：抹水泥共需要1632.8元。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆柱体表面积公式是解答本题的关键。 【高频考题04】圆柱体积的推导。 1．把高为10厘米的圆柱按如图切开，拼成近似的长方体，表面积增加了80平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】502.4 【分析】根据题意，知道长方体表面积增加的80平方厘米，是2个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，先除以2，求出一个长方形的面积，高为10厘米，根据长方形的宽＝面积÷长，即可求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】80÷2÷10＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 即圆柱的体积是502.4立方厘米。 2．把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体（如下图），它的表面积比原来增加了20dm2。已知圆柱的高是5dm，它的体积是( )dm3。 【答案】62.8 【分析】看图，表面积增加的部分是长方体的左面和右面。将表面积增加部分除以2，求出左面或右面的面积。左面的长方形，长和宽分别是圆柱的高和底面半径。将左面的面积除以圆柱的高，求出圆柱的底面半径。再根据圆柱体积＝πr2h，列式求出圆柱的体积。 【详解】20÷2÷5 ＝10÷5 ＝2（dm） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（dm3） 所以，它的体积是62.8dm3。 【高频考题05】圆柱的体积。 1．王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是4米、深1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）31.4 平方米 （2）18.84 吨 【分析】（1）求抹水泥的面积也就是求圆柱的一个底面积和一个侧面积的和，底面积＝，侧面积＝，根据公式代入数据计算即可。 （2）求这个蓄水池能装多少水，也就是求这个圆柱的容积，根据圆柱的体积＝计算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 答：现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是31.4平方米。 （2） ＝ ＝（吨） 答：这个蓄水池能装18.84吨水。 2．把一瓶2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【答案】7杯 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此求出玻璃杯的容积；再用可乐的体积除以玻璃杯的容积，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 2升＝2000立方厘米 2000÷282.6≈7.1≈7（杯） 答：最多能倒满7杯。 【高频考题06】圆锥的认识和特征。 1．在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 【答案】（×）（    ）（    ）（×）（√） 【分析】根据圆柱和圆锥的特征判断即可。 【详解】圆柱上下两个底面是相等的两个圆，围成圆柱的侧面是曲面，展开为长方形。 圆锥的底面是圆形，侧面为曲面，展开为扇形。 所以第一个图形和第四个图形为圆柱，第五个图形为圆锥。 【点睛】此题考查了学生对圆锥、圆柱的认识。 2．通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【答案】 顶点 底面 侧面 底面 侧面 一 【分析】根据圆锥各部分的名称和特征解答。 【详解】 如图所示，圆锥有一个（顶点），一个（底面），一个（侧面）。（底面）是一个圆，（侧面）展开后是一个扇形。圆锥只有（一）条高。 【点睛】考查对圆锥各部分的认识。 【高频考题06】圆锥的体积。 1．一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 【答案】18.84吨 【分析】此题需要先利用圆的周长公式求出这堆煤的底面半径，再利用圆锥的体积V＝Sh，求出这堆煤的体积，进而用这堆煤的体积乘每立方米的煤的重量，就是这堆煤的总重量。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×3××1.5 ＝3.14×4×3××1.5 ＝12.56×3××1.5 ＝37.68××1.5 ＝12.56×1.5 ＝18.84（吨） 答：这堆煤大约重18.84吨。 2．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？ 【答案】4082千克 【分析】圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出圆锥形稻谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量，即可求出她家这堆稻谷大约重多少千克。 【详解】   ＝3.14×4×0.5×650                 ＝6.28×650                                ＝4082（千克） 答：她家这堆稻谷大约重4082千克。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】圆柱的切拼问题。 1．一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】4.71平方米 【分析】看图，截成4段，增加了6个底面积。底面积＝πr2，据此先求出一个面的面积，再乘6，即可解题。 【详解】3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝0.785×6 ＝4.71（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 2．一根圆柱形钢材长2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为7.8千克，焊接成的这根钢材质量是多少千克？ 【答案】117千克 【分析】根据题意可知：把两个圆柱形钢材拼成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米，表面积减少的是两个底面的面积，由此可以求出圆柱的底面积；圆柱的体积，再把数据代入公式求出这根圆柱形钢材的体积；然后用钢材的体积乘每立方分米钢材的质量即可。 【详解】2.5米＝25分米 0.6÷2×（25×2）×7.8 ＝0.3×50×7.8 ＝15×7.8 ＝117（千克） 答：焊接成的这根钢材质量是117千克。 【点睛】解决此题的关键是根据减少的表面积求出圆柱的底面积。 3．如图，一个圆柱体木材被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？    【答案】141.3立方厘米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去5厘米，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，表面积减少的是高5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：V＝，把数据代入公式解答。 【详解】47.1÷2÷3.14÷5 ＝23.55÷3.14÷5 ＝1.5（厘米） 3.14×1.52×20 ＝3.14×1.5×1.5×20 ＝7.065×20 ＝141.3（立方厘米） 答：原来圆柱体的体积是141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【高频考题02】圆柱的旋转构成法。 1．如图，以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（     ），已知AB＝7厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 【答案】圆柱体；87.92立方厘米。 【分析】由图知：以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个圆柱，圆柱的底面半径是4÷2＝2厘米，高是7厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，将数据代入计算即可。 【详解】以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（圆柱体）。 ＝ ＝12.56×7 ＝87.92（立方厘米） 答：它的体积是87.92立方厘米。 2．桌面上有一个2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成的。” （1）圆柱A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱B的底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 【答案】（1）2；4；4；2；（2）错误；理由见详解 【分析】（1）以长为轴旋转一周，宽为圆柱的底面半径，长为高；以宽为轴旋转一周，长是圆柱的底面半径，宽是高；据此解答； （2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答。 【详解】（1）圆柱A的底面半径为2cm，高为4cm；圆柱B的底面半径为4cm，高为2cm。 （2）小丽的说法是（□正确☑错误）的。 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.25（cm3） 3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝100.48（cm3） 两个圆柱体积不相等。 【高频考题03】圆柱的等积变形问题。 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【答案】20分米 【分析】熔铸前后体积不变，即圆柱体的体积等于长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积即圆柱体的体积，再根据圆柱的高＝圆柱体的体积÷圆柱的底面积，代入数据计算，即可求出钢材的长度。据此解答。 【详解】12.56×5×4÷（3.14×22） ＝12.56×5×4÷（3.14×4） ＝251.2÷12.56 ＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 2．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，现将乙容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出乙容器中水的体积，再根据“”求出甲容器中水的深度，据此解答。 【详解】10×10×6.28÷[3.14×（5÷2）2] ＝10×10×6.28÷[3.14×6.25] ＝10×10×6.28÷19.625 ＝628÷19.625 ＝32（厘米） 答：甲容器中水深32厘米。 【点睛】灵活运用长方体和圆柱体的体积计算公式是解答题目的关键。 【高频考题04】圆柱的排水法求体积。 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）35168立方厘米 （2）43960立方厘米 【分析】（1）当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米，这时鱼缸的水面是30厘米下降了2厘米，则此时的水面的高度是28厘米。鱼缸中水的体积就是一个高度为28厘米的圆柱的体积：。 （2）鱼缸的容积就是求这个圆柱形的体积，利用圆柱体积的公式解答即可。 【详解】（1）30－2＝28（厘米） 3.14×（40÷2）2×28 ＝3.14×202×28 ＝3.14×400×28 ＝35168（立方厘米） 答：鱼缸中水的体积是35168立方厘米。 （2）3.14×（40÷2）2×35 ＝3.14×202×35 ＝3.14×400×35 ＝43960（立方厘米） 答：鱼缸的容积是43960立方厘米。 2．在一个底面直径是6厘米，高是12厘米的圆柱形容器中有5厘米深的水，放入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到7厘米。这个小石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】56.52立方厘米 【分析】水面升高的体积就是小石头的体积，圆柱形容器底面积×水面升高的高度＝小石头的体积，据此列式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个小石头的体积是56.52立方厘米。 【高频考题05】圆锥的旋转构成法。 1．如下图，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个( )（填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是( )cm，体积是( )。与它等底等高的圆柱的体积是( )。 【答案】 圆锥 2 3 12.56 37.68 【分析】由图可知，以3cm的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，其底面半径是2cm，高为3cm，再根据圆锥的体积＝，把数据代入公式中求得圆锥的体积，再根据在等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍求得圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】 ＝ ＝12.56（） 12.56×3＝37.68（） 所以，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个圆锥。这个立体图形的底面半径是2cm、高是3cm，体积是12.56，与它等底等高的圆柱的体积是37.68。 2．如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 【答案】4∶3 【分析】绕AB旋转一周后得到圆锥甲，底面半径是BC，高是AB，绕BC旋转一周后得到圆锥乙，底面半径是AB，高是BC，已知，将AB看成3，BC看成4，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算两个圆锥的体积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出两个圆锥的体积比，化简即可。 【详解】将AB看成3，BC看成4。 （3.14×42×3÷3）∶（3.14×32×4÷3） ＝（42×3）∶（32×4） ＝（16×3）∶（9×4） ＝48∶36 ＝（48÷12）∶（36÷12） ＝4∶3 两个圆锥的体积4∶3。 【高频考题06】圆锥的切面积问题。 1．把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 已知圆锥的底面周长是9.42厘米，先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】圆锥的底面直径：（厘米） 表面积增加了：（平方厘米） 表面积增加了24平方厘米。 2．一个圆锥的底面周长是12.56厘米，如果把它切成两个完全一样的立体图形后，表面积增加24平方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】25.12 【详解】试题分析：根据底面周长，可以求出这个圆锥的半径；把圆锥切成两个完全一样的立体图形后，表面积是增加了两个以圆锥的底面直径为底和以圆锥的高为高的三角形的面积，由增加的24平方厘米，可以求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可解答． 解：底面半径是：12.56÷3.14÷2=2（厘米）， 高是：24÷2×2÷（2×2）， =24÷4， =6（厘米）， 体积是：×3.14×22×6， =×3.14×4×6， =25.12（立方厘米）， 答：这个圆锥的体积是25.12立方厘米． 故答案为25.12． 点评：此题考查圆锥的计算公式的综合应用，抓住切割特点进行解答是解决此类问题的关键． 【高频考题07】圆柱与圆锥的关系问题。 1．一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有( )毫升的水。 【答案】10000 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱的体积×，求出圆锥的体积，把铁圆锥倒入水中后，铁圆锥会排除与它等体积的水，所以再用圆柱的体积－铁圆锥的体积，即可求出圆柱体杯中的水的体积，注意单位名数的换算。 【详解】15－15× ＝15－5 ＝10（升） 10升＝10000毫升 一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有10000毫升的水。 2．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】 18 9.42 【分析】当底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍；当体积和高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，即圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答。 【详解】6×3＝18（分米） 即一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是6分米。 28.26×＝9.42（平方厘米） 即一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是9.42平方厘米。 3．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（3＋1）份； 已知把体积为216立方厘米的橡皮泥捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，即圆柱和圆锥的体积之和是216立方厘米，用体积之和除以（3＋1）份，求出一份数，也就是圆锥的体积，据此解答。 【详解】216÷（3＋1） ＝216÷4 ＝54（立方厘米） 圆锥的体积是54立方厘米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍数，则圆柱的体积是3倍数，圆柱的体积比圆锥的体积多（3－1）倍数，对应的是32立方厘米，用32除以（3－1）求出1倍数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】32÷（3－1）×3 ＝32÷2×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 所以圆柱的体积是48立方厘米。 【高频考题08】圆锥的等积变形问题。 1．把一个底面半径是2厘米，高是5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】圆柱的体积等于圆锥的体积，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高；圆柱的底面积＝πr2，先求出圆柱的体积，再代入数据求出圆锥的底面积即可。 【详解】圆柱的体积： 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 圆锥的底面积： 62.8×3÷10 ＝188.4÷10 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 2．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】根据题意，把一个长方体钢坯熔铸成一个圆锥形铅锤，则钢坯的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢坯的体积；然后根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】长方体的体积（圆锥的体积）： 6.28×4×4 ＝25.12×4 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 答：这个铅锤的高是6分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 【高频考题09】圆锥的排水法求体积。 1．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【分析】根据题意，在一个装有水的圆柱体容器里浸没一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，水面会下降，那么水面下降部分的体积等于这个圆锥体铅锤的体积。 已知圆锥体铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个铅锤的体积，也是水面下降部分的体积； 已知圆柱体容器的底面直径为40厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出容器的底面积； 再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆锥的体积（水面下降的体积）： ×3.14×（20÷2）2×9 ＝×3.14×102×9 ＝×3.14×100×9 ＝942（立方厘米） 圆柱体容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 942÷1256＝0.75（厘米） 答：容器中水面高度下降了0.75厘米。 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 3．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【详解】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 【高频考题10】含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】415.4平方厘米 【分析】通过观察图形可得：这个组合图形的表面积等于一个正方体的表面积加上一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算，即可解答。 【详解】表面积： 8×8×6＋2×3.14×5 ＝384＋31.4 ＝415.4（平方厘米） 2．计算下面物体的体积。 【答案】565.2dm3；791.28cm3 【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （2）观察图形是一个空心的圆柱，底面是圆环，那么它的体积V＝S环h＝π（R2－r2）h，代入数据计算，求出空心圆柱的体积。 【详解】（1）×3.14×（12÷2）2×15 ＝×3.14×62×15 ＝×3.14×36×15 ＝565.2（dm3） 圆锥的体积是565.2dm3。 （2）3.14×[（10÷2）2－（4÷2）2 ]×12 ＝3.14×[52－22 ]×12 ＝3.14×[25－4]×12 ＝3.14×21×12 ＝791.28（cm3） 圆柱的体积是791.28cm3。 一、填空题。 1．（2024·全国·期末）折一折或卷一卷，能得到什么立体图形？写在（    ）里。 ( )      ( )       ( ) 【答案】 长方体 正方体 圆柱 【分析】根据长方体、正方体、圆柱的特征判断即可。长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等；正方体的6个面是完全相同的正方形；圆柱的上下两个底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形。 【详解】通过折一折或卷一卷： 第一个图能得到长方体； 第二个图能得到正方体； 第三个图能得到圆柱。 2．（2022·安徽阜阳·小升初真题）下面一排图形各自绕轴旋转一周后会得到哪些图形？ ( )( )( ) 【答案】 圆锥/圆锥体 圆柱/圆柱体 球/球体 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，第一行的平面图绕中心轴旋转一周，可围成一个立方体，根据平面图及立方体的特征即可判断。 【详解】绕轴旋转一周后会得到圆锥； 绕轴旋转一周后会得到圆柱； 绕轴旋转一周后会得到球。 【点睛】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定。 3．（2024·湖南永州·期末）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 【答案】 31.4 12 【分析】根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，由此根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，解决问题。 【详解】长：3.14×10＝31.4（cm） 宽：12cm 圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是31.4cm，宽是12cm。 4．（2024·广西河池·期末）有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 【答案】 9.42 75.36 【分析】滚动一周前进的距离等于圆柱形玩具的底面周长，压过的面积相当于圆柱的侧面积，根据圆柱底面周长＝圆周率×底面直径，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【详解】3.14×3＝9.42（cm） 9.42×8＝75.36（cm2） 滚动一周后前进了9.42cm，压过的面积是75.36cm2。 5．（2023·湖南永州·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 【答案】4.71 【分析】将圆柱形木料截成4段，要截3次，每截1次增加2个圆柱的底面积，截3次表面积就增加了3×2＝6个底面积，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出底面积，再用底面积×6即可。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝4.71（平方米） 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 6．（2024·四川德阳·期末）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 圆柱 5 392.5// 【分析】正方形以一边为轴旋转一周得到一个圆柱体，它的高是5cm，底面半径是5cm。根据V＝πr2h，求出圆柱的体积即可解答。 【详解】旋转后得到一个圆柱，高是正方形边长5cm。 3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（cm3） 故旋转一周得到一个圆柱，得到的这个圆柱的高是5cm，体积是392.5cm3。 7．（2023·广东揭阳·期中）一个底面半径5厘米，高8厘米的圆锥沿着高切成相等的两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【答案】80 【分析】把圆锥沿着高切成相等的两半，增加了2个等腰三角形，其中三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，所以根据三角形的面积公式，用5×2×8÷2×2即可求出增加的表面积。 【详解】5×2×8÷2×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 所以表面积比原来增加80平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆锥的切割，明确表面积增加了哪些面。 8．（2024·四川巴中·小升初真题）一块圆柱形木头的底面半径和高均为3dm，它的侧面积是( )dm2，将它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 56.52 28.26 【分析】根据圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 将圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】3.14×3×2×3 ＝9.42×2×3 ＝18.84×3 ＝56.52（dm2） ＝3.14×9×1 ＝28.26（dm3） 圆柱形木头的侧面积是56.52dm2，这个圆锥的体积是28.26dm3。 二、判断题。 9．（2023·湖南岳阳·期末）计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 【答案】√ 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，其中“长×宽”就是长方体的底面积，所以长方体的体积＝底面积×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高。 据此判断。 【详解】长方体的体积＝底面积×高 正方体的体积＝底面积×高 圆柱的体积＝底面积×高 计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2024·河北邢台·期末）同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。( ) 【答案】√ 【分析】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【详解】由分析可知： 同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：√ 11．（2017·全国·小升初真题）一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面直径相等。( ) 【答案】× 【分析】一个圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长和宽分别对应圆柱的底面周长和高，如果圆柱的底面周长和高相等，则圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，据此分析。 【详解】一个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，则圆柱的高和底面周长相等，原题说法错误。 故答案为：× 12．（2024·河北邯郸·期末）把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，则原来的圆柱和削成的圆锥等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，可知最大的圆锥是圆柱的，减少的体积是圆柱的，把原来的圆柱体积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用36÷即可求出圆柱的体积，再减去减少的体积，即可求出圆锥的体积。 【详解】36÷ ＝36× ＝54（立方厘米） 54－36＝18（立方厘米） 把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。原题干说法正确。 故答案为：√ 三、选择题。 13．（2024·四川遂宁·期末）将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一周，( )形成的圆柱体积最大。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱体积＝底面积×高，由题可知，旋转后得到的圆柱体高相等，则底面积大的圆柱体，体积就越大，由此解答即可。 【详解】 将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一周，因为高相等，的底面半径最大，即底面积最大，所以形成的圆柱体积最大。 故答案为：D 14．（2024·吉林四平·期末）把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是( )立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，圆锥的体积等于上升部分水的体积，利用“”求出上升部分水的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝（立方厘米） 所以，这个圆锥的体积是立方厘米。 故答案为：A 15．（2024·浙江杭州·期末）如图，等底等高的圆柱和圆锥叠在一起。已知圆柱和圆锥的体积一共是180立方厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？下面列式正确的是( )。 A．180÷4×3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，则圆柱的体积可看成3份，圆锥的体积看成1份，因此，圆柱与圆锥的体积的和有份，圆锥体积占圆柱与圆锥的和的，根据求一个数的几分之几是多少，可用乘法计算，即可得解。 【详解】A．180÷4×3，表示把180平均分为4份，求3份有多少。题意要求的是圆锥体积，即求1份有多少。所以不符合题意。 B．180×表示把180平均分为3份，求1份有多少，180是等底等高圆柱和圆锥的体积和，应占4份，所以不符合题意。 C．180×表示的是把180平均分为4份，求1份有多少，圆锥的体积就是1份，所以符合题意。 D．圆锥体积是与它等底等高的圆柱的体积的，180÷（1＋）表示的是求圆柱的体积是多少，所以不符合题意。 （立方厘米） 圆锥的体积是45立方厘米。 故答案为：C 16．（2023·安徽马鞍山·期末）把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 【答案】B 【分析】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，根据三角形的底＝面积×2÷高，增加的表面积÷2×2÷圆锥的高＝圆锥底面直径，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】120÷2×2÷6＝20（厘米） π×（20÷2）2×6÷3 ＝π×102×6÷3 ＝π×100×6÷3 ＝200π（立方厘米） 圆锥的体积是200π立方厘米。 故答案为：B 四、计算题。 17．（2024·湖南岳阳·期末）下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积。（单位：cm） 【答案】115.36cm2 【分析】这个图形的表面积＝圆柱一个底面积＋圆柱侧面积的一半＋一个长方形的面积，根据圆的面积，圆柱侧面积，求出这个图形的表面积即可。 【详解】表面积： （cm2） 图形的表面积是115.36cm2。 18．（2024·四川广元·期末）计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1）     （2） 【答案】（1）314cm3；（2）113.04cm3 【分析】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可； （2）圆柱一半的体积＝圆柱底面积×高÷2，据此列式计算。 【详解】（1） （cm3） 圆锥的体积是314cm3。 （2） （cm3） 立体图形的体积是113.04cm3。 五、解答题。 19．（2024·河北承德·期末）妈妈要给小明的水壶（如图）做个布套（无盖）。 （1）做这个布套至少要用多少布料？ （2）这个水壶最多能装多少升水？ 【答案】（1）405.06平方厘米 （2）0.5652升 【分析】（1）根据题意，做这个布套需要多少布料，即求圆柱体的表面积，依据圆柱体的表面积公式：S＝2πr（r＋h），布套是无盖的，所以要减掉一个最上面圆的面积，据此解答。 （2）根据题意，这个水壶最多能装多少升水，即求圆柱体的体积，依据圆柱体的体积公式：V＝πr2h，将数据代入公式计算即可。 【详解】（1）r＝6÷2＝3（厘米） S＝2πr（r＋h） S＝2×3.14×3×（3＋20） ＝6.28×3×23 ＝18.84×23 ＝433.32（平方厘米） 最上面圆的面积＝πr2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 433.32－28.26＝405.06（平方厘米） 答：做这个布套至少要用405.06平方厘米布料。 （2）V＝πr2h V＝3.14×32×20 ＝3.14×9×20 ＝28.26×20 ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝0.5625升 答：这个水壶最多能装0.5625升。 20．（2023·安徽马鞍山·期末）一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是18.84米，高是30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？            （2）帐篷里的空间有多大？ 【答案】（1）28.26平方米 （2）28.26立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答； （2）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可，注意统一单位。 【详解】（1）3.14×（18.84÷3.14÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：帐篷的占地面积是28.26平方米。 （2）30分米＝3米 28.26×3÷3＝28.26（立方米） 答：帐篷里的空间有28.26立方米。 21．（2023·安徽马鞍山·期末）把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆柱，求这个圆柱的表面积和体积。 【答案】502.4平方分米；803.84立方分米 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，看图可知，圆柱底面周长＋底面直径＝33.12厘米，即圆周率×底面直径＋底面直径＝33.12厘米，33.12÷（圆周率＋1）＝底面直径，底面直径×2＝圆柱的高，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【详解】33.12÷（3.14＋1） ＝33.12÷4.14 ＝8（分米） 8×2＝16（分米） 3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×16 ＝3.14×42×2＋401.92 ＝3.14×16×2＋401.92 ＝100.48＋401.92 ＝502.4（平方分米） 3.14×（8÷2）2×16 ＝3.14×42×16 ＝3.14×16×16 ＝803.84（立方分米） 答：这个圆柱的表面积和体积分别是502.4平方分米、803.84立方分米。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，先确定圆柱底面直径和高，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。 22．（2024·广东东莞·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】火箭助推器模型的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积。根据圆锥的体积，圆柱的体积两个公式将数据代入计算即可。 【详解】 （立方厘米） 答：火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。 23．（2024·山东临沂·期末）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【答案】314立方厘米 【分析】通过观察可知，物体的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分的高度，根据圆柱的体积公式：S＝πr2h，代入数据即可求出上升部分水的体积，即两个铁块的体积，根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积看作3份，圆锥体积看作1份，用上升部分水的体积除以（3＋1）即可求出圆锥形铁块的体积。 【详解】3.14×102×（9－5） ＝3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝1256（立方厘米） 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$