解析几何解答题专题练习二-2025届高三数学一轮复习

解析几何解答题专题练习二 1．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 2．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 3． 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M． 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③． 4．已知和为椭圆上两点．(1)求C的离心率；(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5．已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 6．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 7．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积． 8．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 9．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 10．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解析几何解答题专题练习二答案 1．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【解析】（1），离心率为. （2） 由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，② 由可得，③联立①②③可得 ，，，故椭圆的标准方程为． 2．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以，此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 3．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零．设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设,则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得：， ,即,即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由,∴, 所以直线的斜率,直线, 即,代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：,同理：， ∴∴, ∴条件②等价于， 综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③:由①②解得：,∴③成立； 选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立； ②③推①：由②③：，，∴，∴∴①成立. 4．已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解析】（1）由题意得，解得，所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，则，解得或，即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或，即或， 以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时，，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，，令，则，则，同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，则，解得，此时，则得到此时，直线的方程为，即，综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离，此时不满足条件，当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件.当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则，联立，则有，其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.则直线为或，即或. 5．已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解析】（1）设，由可得，，所以，所以， 即，因为，解得：． （3） 因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以， 即， 亦即，将代入得， ，，所以，且， 解得或．设点到直线的距离为，所以， ，所以的面积，而或，所以，当时，的面． 6．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【解析】（1）如图， 由题意得，解得，所以，椭圆方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线方程为，联立方程组，消去整理得， 由韦达定理得，所以，所以，. 所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为. 7．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率；(2)若，求的面积． 【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得， 即双曲线．易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以， 化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以，即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时，因为，所以，即， 即，解得（负值舍去），于是，直线，直线，联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即，联立，及得，，同理，，，故， 而，，由，得， 故 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样． 8．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【解析】（1），离心率为. （2）由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，， 由可得，②由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 9．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得，反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，由M、D、A三点共线，得， 由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 10．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故，椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又，而， 故直线，故， 所以 ，故，即轴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$