专题05 分式方程&不等式（组）（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题05 分式方程&不等式（组） 课标要求 考点 考向 1．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。 2．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 3．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 分式 方程 考向一 解分式方程 考向二 分式方程的应用 不等式及不等式组 考向一 解一元一次不等式 考向二 一元一次不等式的应用 考向三 解一元一次不等式组 考向四 一元一次不等式组的含参问题 考向五 一元一次不等式组的实际应用 考点一 分式方程 ►考向一 解分式方程 解题技巧： 1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 2、“去分母”解分式方程的步骤： （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”. 1．（2023•恩施州）分式方程的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0 2．（2024•武汉）分式方程的解是 　 ． 3．（2022•黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 　 　． 4．（2022•随州）解分式方程：． 5．（2023•湖北）解分式方程：0． ►考向二 分式方程的应用 解题技巧： 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 6．（2023•随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 7．（2023•十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 9．（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 10．（2023•宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　） A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min 考点二 不等式及不等式组 ►考向一 解一元一次不等式 解题技巧： 1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． 2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 11．（2024•湖北）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2023•襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（　　） A．x≤1 B．x＞1 C．﹣1＜x D．﹣1＜x≤1 13．（2023•宜昌）解不等式x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2022•宜昌）解不等式1，并在数轴上表示解集． ►考向二 一元一次不等式的实际应用 解题技巧： 1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 15．（2023•湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． （1）求两种型号垃圾桶的单价； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 16．（2022•湖北）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元． （1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ （2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？ ►考向三 解一元一次不等式组 解题技巧： 1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. 3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 17．（2023•湖北）不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．无解 18．（2023•湖北）不等式组的解集是（　　） A．1≤x＜2 B．x≤1 C．x＞2 D．1＜x≤2 19．（2022•襄阳）不等式组的解集是 　 ． 20．（2023•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答． （Ⅰ）解不等式①，得　 　； （Ⅱ）解不等式②，得　 　： （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集是　 　． 21．（2024•武汉）求不等式组的整数解． ►考向四 一元一次不等式组的含参问题 解题技巧： 解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值. 22．（2023•鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2023 23．（2023•黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　． 24．（2022•荆门）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）． （1）当a时，解此不等式组； （2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围． ►考向五 一元一次不等式组的实际应用 解题技巧： 1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． 2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 25．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． ►分式方程 1．（2024•宣恩县二模）甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x km/h，则可列方程为（　　） A．20 B．20 C． D． 2．（2024•十堰模拟）端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同，设豆沙粽每盒的进价为x元，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•咸宁模拟）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植40棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•荆州二模）随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，请列出关于的x分式方程（　　） A． B． C． D． 5．（2024•茅箭区一模）方程的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4 6．（2024•黄冈模拟）分式方程的解为 　 　． 7．（2024•武汉模拟）方程1的解是　 ． 8．（2024•东西湖区模拟）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b，a※b，若x△1＝x※2，则x＝　 　． 9．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 10．（2024•谷城县一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出的分式方程为 　 ． 11．（2024•湖北模拟）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ 12．（2024•建始县模拟）2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．（请用两种设元法解决问题） 13．（2024•孝感模拟）本学期我区各校开展“秋游活动”，到处都留下了同学们的欢声笑语．某校组织全校师生乘坐大巴到“发现王国”，已知“发现王国”与该校的距离是90千米，大巴车队伍9：00从学校出发，一名教师因为有事9：30从学校自驾小轿车前往，小轿车的速度是大巴车的1.5倍，结果比大巴车队伍提前15分钟到达，求大巴车的平均速度是多少？ 14． （2024•黄石港区模拟）某无人驾驶搬运车进行了智能升级，升级后比升级前每小时多搬运货物30kg，升级后搬运900kg货物的时间与升级前搬运600kg货物的时间相等，问升级前后每小时分别搬运多少货物？ 15．（2024•建始县一模）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本． ►不等式及不等式组 1．（2024•茅箭区校级模拟）不等式2x+2＜6的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•南漳县一模）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•老河口市一模）组成不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，这个不等式组的解集是（　　） A．x≤3 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．﹣1＜x≤3 4．（2024•大冶市三模）不等式组的最小整数解是（　　） A．5． B．0． C．﹣1． D．﹣2． 5．（2024•湖北模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•恩施市二模）关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1 7．（2024•江汉区三模）从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　） A．9min B．10min C．11min D．12min 8．（2024•湖北一模）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　 　． 9．（2024•恩施市一模）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，B种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤26，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度：　　 ℃． 10．（2024•湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 　 　． 11．（2024•汉川市模拟）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 12．（2024•江夏区模拟）解不等式组． （1）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． （2）写出满足这个不等式组的所有整数解． 13．（2024•青山区模拟）求不等式组所有整数解的和． 14．（2024•孝南区模拟）某校决定购买甲，乙两种文学书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需95元． （1）求甲、乙两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书 　　 本． 15．（2024•大冶市模拟）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同． （1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？ （2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？ 16．（2024•洪山区校级二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的一半．问：共有哪几种购买方案？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程&不等式（组） 课标要求 考点 考向 1．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程。 2．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 3．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 分式 方程 考向一 解分式方程 考向二 分式方程的应用 不等式及不等式组 考向一 解一元一次不等式 考向二 一元一次不等式的应用 考向三 解一元一次不等式组 考向四 一元一次不等式组的含参问题 考向五 一元一次不等式组的实际应用 考点一 分式方程 ►考向一 解分式方程 解题技巧： 1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 2、“去分母”解分式方程的步骤： （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”. 1．（2023•恩施州）分式方程的解是（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0 【分析】方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解． 【解答】解：， 方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1）， 去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3）， 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0， ∴原分式方程的解是x＝﹣3， 故选：B． 【点评】此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去得分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验． 2．（2024•武汉）分式方程的解是 　 ． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3， 解得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝﹣3， 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 3．（2022•黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 　 　． 【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0． 【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a， 解得：x＝a﹣1， ∵分式方程的解为负数， ∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1， ∴a＜1且a≠0， ∴a的取值范围是a＜1且a≠0， 故答案为：a＜1且a≠0． 【点评】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键． 4．（2022•随州）解分式方程：． 【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可． 【解答】解：左右两边同时乘以（x+3）x得 x+3＝4x， 3＝3x， x＝1． 检验：当x＝1时，分母x（x+3）≠0， ∴x＝1是原分式方程的解． 【点评】考查解分式方程，关键是去分母把分式方程变整式方程． 5．（2023•湖北）解分式方程：0． 【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可． 【解答】解：原方程变形为：0， 两边同乘x（x+1）（x﹣1），去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0， 去括号得：5x﹣5﹣x﹣1＝0， 移项，合并同类项得：4x＝6， 系数化为1得：x， 检验：将x代入x（x+1）（x﹣1）中可得：（1）×（1）0， 则原方程的解为：x． 【点评】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验． ►考向二 分式方程的应用 解题技巧： 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 6．（2023•随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两个工程队工作效率间的关系，可得出乙工程队每个月修（x+1）千米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米， ∴乙工程队每个月修（x+1）千米． 根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．（2023•十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可． 【解答】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为： 5． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 8．（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵规定时间为x天， ∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天， 又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里， ∴2． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等”列分式方程即可． 【解答】解：根据题意，可得， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 10．（2023•宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（　　） A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min 【分析】设学生的速度为x km/min，根据一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解． 【解答】解：设学生的速度为x km/min， 由题意可得：20， 解得：x＝0.3， 经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意； ∴2x＝0.6（km/min）， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 考点二 不等式及不等式组 ►考向一 解一元一次不等式 解题技巧： 1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． 2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 11．（2024•湖北）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：∵x+1≥2， ∴x≥1， 在数轴上表示为： ． 故选：A． 【点评】此题考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集． 12．（2023•襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（　　） A．x≤1 B．x＞1 C．﹣1＜x D．﹣1＜x≤1 【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案． 【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是1﹣＜x≤1， 故选：D． 【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 13．（2023•宜昌）解不等式x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】解不等式求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解答】解：x﹣1， 去分母得：1+4x＞3（x﹣1）， 去括号得：1+4x＞3x﹣3， 移项，合并同类项得：x＞﹣4， 那么在数轴上表示其解集如图所示： ， 故选：D． 【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 14．（2022•宜昌）解不等式1，并在数轴上表示解集． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：去分母得：2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6， 去括号得：2x﹣2≥3x﹣9+6， 移项得：2x﹣3x≥﹣9+6+2， 合并同类项得：﹣x≥﹣1， 系数化为1得：x≤1． ． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． ►考向二 一元一次不等式的实际应用 解题技巧： 1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 15．（2023•湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元． （1）求两种型号垃圾桶的单价； （2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？ 【分析】（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15000元，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元， 由题意可得：， 解得：， 答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元； （2）设A型垃圾桶a个， 由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000， a≥125， 答：至少需购买A型垃圾桶125个． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 16．（2022•湖北）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元． （1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ （2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？ 【分析】（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据“买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1280元，即可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要30元，购买一份乙种快餐需要20元． （2）设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐（55﹣m）份， 依题意得：30（55﹣m）+20m≤1280， 解得：m≥37． 答：至少买乙种快餐37份． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． ►考向三 解一元一次不等式组 解题技巧： 1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. 2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. 3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 17．（2023•湖北）不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．无解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1， 解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜1， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2023•湖北）不等式组的解集是（　　） A．1≤x＜2 B．x≤1 C．x＞2 D．1＜x≤2 【分析】首先解两个不等式求得各自的解集，然后取它们解集的公共部分即可． 【解答】解： 由①移项，合并同类项得：2x≥2， 系数化为1得：x≥1； 由②移项，合并同类项得：﹣3x＞﹣6， 系数化为1得：x＜2， 则原不等式组的解集为：1≤x＜2， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 19．（2022•襄阳）不等式组的解集是 　 ． 【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法． 20．（2023•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答． （Ⅰ）解不等式①，得　 　； （Ⅱ）解不等式②，得　 　： （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集是　 　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x＜3； 故答案为：x＜3； （Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1； 故答案为：x≥﹣1； （Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下： （Ⅳ）原不等式组的解集是﹣1≤x＜3． 故答案为：﹣1≤x＜3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（2024•武汉）求不等式组的整数解． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可． 【解答】解：， 由①得，x＞﹣2； 由②得，x≤1， 故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1， 故不等式组的整数解为﹣1、0、1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． ►考向四 一元一次不等式组的含参问题 解题技巧： 解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值. 22．（2023•鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2023 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a、b的值，代入计算可得． 【解答】解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2， 由x+1＜b，得：x＜b﹣1， ∵解集为﹣1＜x＜1， ∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1， 解得a＝﹣3，b＝2， 则（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23．（2023•黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　． 【分析】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可． 【解答】解：解不等式组，得． ∵它的解集为﹣1＜x＜4， ∴a≤﹣1． 故答案为：a≤﹣1． 【点评】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键． 24．（2022•荆门）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）． （1）当a时，解此不等式组； （2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围． 【分析】（1）把a的值代入再求解； （2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）当a时，不等式组化为：， 解得：﹣2＜x＜4； （2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3， 解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1） 如图所示： 当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意； 当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意； ∵不等式组的解集中恰含三个奇数， ∴0＜a≤1． 解法二：∵1，且不等式组的解集中恰含三个奇数， ∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3， ∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5， 解得：0＜a≤1． 【点评】本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键． ►考向五 一元一次不等式组的实际应用 解题技巧： 1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． 2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 25．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出每台A种电器的进价，再将其代入（a﹣1）中即可求出每台B种电器的进价； （2）①利用“计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍“列不等式组可得结论； ②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，分两种情况：当120≤x≤150时，当150＜x≤210时，分别表示w与x的关系式根据增减性可解答． 【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元， 由题意得：2， 解得：a＝10， 经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意， a﹣1＝9， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元； （2）①由题意得：， 解得：120≤x≤210， ∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数； ②设采购A种饰品x件时的总利润为w元， 当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600， ∵﹣1＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480， 当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000， ∵3＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630， ∵3630＞3480， ∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390， 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． ►分式方程 1．（2024•宣恩县二模）甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x km/h，则可列方程为（　　） A．20 B．20 C． D． 【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间﹣甲走6千米用的时间＝20分钟． 【解答】解：设甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h． 根据题意，得． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（2024•十堰模拟）端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同，设豆沙粽每盒的进价为x元，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设豆沙粽每盒的进价为x元，则肉粽的进价每盒（x+10）元，根据“用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同”列出方程即可． 【解答】解：若设豆沙粽每盒的进价为x元，则肉粽的进价每盒为（x+10）元， 根据题意，得． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（2024•咸宁模拟）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植40棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植（x﹣3）棵树，依题意得，，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植（x﹣3）棵树， 依题意得，， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2024•荆州二模）随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，请列出关于的x分式方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两块试验田每公顷的产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，利用种植面积，结合两块小麦试验田的面积相等，可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为x kg， ∴第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg． 根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2024•茅箭区一模）方程的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x+2＝x， 解得：x＝﹣2， 经检验x＝﹣2是分式方程的解， 故原方程的解是x＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键． 6．（2024•黄冈模拟）分式方程的解为 　 　． 【分析】方程两边同乘x+1，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：方程两边同乘x+1得， 3＝x+1， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x+1≠0， 所以分式方程的解是x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握其步骤是解题的关键，尤其注意不要丢检验． 7．（2024•武汉模拟）方程1的解是　 ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：1﹣x＝x﹣3， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：x﹣3＝2﹣3＝﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 8．（2024•东西湖区模拟）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b，a※b，若x△1＝x※2，则x＝　 　． 【分析】根据题意列得分式方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可得， 去分母得：（x﹣1）（x﹣4）＝（x+1）（x+2）， 整理得：﹣5x+4＝3x+2， 解得：x， 检验：当x时，（x+1）（x﹣4）≠0， 故原方程的解为x， 故答案为：． 【点评】本题考查解分式方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 9．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程． 【解答】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可得：， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10．（2024•谷城县一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列出的分式方程为 　 ． 【分析】根据快、慢马派送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用慢马派送所需时间为（x+1）天，用快马派送所需时间为（x﹣2）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵规定时间为x天， ∴用慢马派送所需时间为（x+1）天，用快马派送所需时间为（x﹣2）天． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11．（2024•湖北模拟）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ 【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的单价 【解答】解：设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝40+10＝50． 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 12．（2024•建始县模拟）2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．（请用两种设元法解决问题） 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：方法一：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.8）元， 由题意得：， 解之得：x＝0.2， 经检验可知：x＝0.2是原分式方程的解， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元； 方法二：设燃油车可行驶的总路程是x公里，则电动汽车可行驶的总路程是5x公里， 由题意得： 解之得：x＝300 经检验可知：x＝300是原分式方程的解 . 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系． 13．（2024•孝感模拟）本学期我区各校开展“秋游活动”，到处都留下了同学们的欢声笑语．某校组织全校师生乘坐大巴到“发现王国”，已知“发现王国”与该校的距离是90千米，大巴车队伍9：00从学校出发，一名教师因为有事9：30从学校自驾小轿车前往，小轿车的速度是大巴车的1.5倍，结果比大巴车队伍提前15分钟到达，求大巴车的平均速度是多少？ 【分析】根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得． 【解答】解：设大巴的平均速度为x千米/小时，则小车的平均速度为1.5x千米/小时， 根据题意得， 解得x＝40， 经检验：x＝40是原方程的解， 所以原分式方程的解是x＝40． 答：大巴的平均速度为40千米/小时． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 14．（2024•黄石港区模拟）某无人驾驶搬运车进行了智能升级，升级后比升级前每小时多搬运货物30kg，升级后搬运900kg货物的时间与升级前搬运600kg货物的时间相等，问升级前后每小时分别搬运多少货物？ 【分析】设升级前每小时搬运x kg货物，则升级后每小时搬运（x+30）kg货物，根据升级后搬运900kg货物的时间与升级前搬运600kg货物的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出升级前每小时搬运货物的重量，再将其代入（x+30）中，即可求出升级后每小时搬运货物的重量． 【解答】解：设升级前每小时搬运x kg货物，则升级后每小时搬运（x+30）kg货物， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝60+30＝90（kg）． 答：升级前每小时搬运60kg货物，升级后每小时搬运90kg货物． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．（2024•建始县一模）小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本． 【分析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量． 【解答】解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本， 依题意得：5， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝1.25×12＝15． 答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． ►不等式及不等式组 1．（2024•茅箭区校级模拟）不等式2x+2＜6的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式移项合并得：2x＜4， 解得：x＜2， 如图所示： ， 故选：A． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2024•南漳县一模）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别解两个不等式得到﹣3＜x≤1，然后利用数轴表示出﹣3＜x≤1，即可得到正确的选项． 【解答】解：解不等式x﹣1≤0得x≤1， 解不等式x+3＞0得x＞﹣3， 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：． 故选：A． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 3．（2024•老河口市一模）组成不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，这个不等式组的解集是（　　） A．x≤3 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．﹣1＜x≤3 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4．（2024•大冶市三模）不等式组的最小整数解是（　　） A．5． B．0． C．﹣1． D．﹣2． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+3＞1，得：x＞﹣2， 解不等式x﹣1＜4，得：x＜5， 故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5， 则该不等式组的最小整数解为：﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2024•湖北模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x＜2， ∴不等式组的解集为1≤x＜2， 在数轴上表示为 ， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键． 6．（2024•恩施市二模）关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0≤m＜1 D．0＜m≤1 【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围． 【解答】解：， 解不等式①可得x＞m， 解不等式②可得x≤3， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为m＜x≤3， ∵该不等式组恰好有三个整数解， ∴整数解为1，2，3， ∴0≤m＜1． 故选：C． 【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用． 7．（2024•江汉区三模）从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　） A．9min B．10min C．11min D．12min 【分析】设他打一次电话可以通话的时间是x min，利用通话费用＝2.4+1×超过3min的时间，结合通话费用不超过10元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：设他打一次电话可以通话的时间是x min， 根据题意得：2.4+（x﹣3）≤10， 解得：x≤10.6， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为10． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8．（2024•湖北一模）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　 　． 【分析】直接利用不等式的解集结合数轴得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示， 则﹣a﹣1≤x≤b， ∴﹣a﹣1＝﹣2，b＝3， 解得：a＝1，b＝3， 故b﹣a＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出a，b的值是解题关键． 9．（2024•恩施市一模）鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，B种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤26，写出一个你认为适宜两种鱼生长的温度：　　 ℃． 【分析】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：20≤x≤25， ∴适宜两种鱼生长的温度可以是22℃（答案不唯一，可以是20≤x≤25之间的任意一个实数）． 故答案为：22℃（答案不唯一，可以是20≤x≤25之间的任意一个实数）． 【点评】此题考查的是不等式的解集．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10．（2024•湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 　 　． 【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：依题意得：， 解得：2＜x≤4， 故答案为：2＜x≤4． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组． 11．（2024•汉川市模拟）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可． 【解答】解：由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣2， ∴不等式的解集为﹣2≤x＜2， 在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 12．（2024•江夏区模拟）解不等式组． （1）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． （2）写出满足这个不等式组的所有整数解． 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）根据不等式组的解集即可得出答案． 【解答】解：（1）解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜1， 在数轴上表示不等式组的解集为： （2）这个不等式组的整数解为﹣1、0． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（2024•青山区模拟）求不等式组所有整数解的和． 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，然后确定不等式组的整数解，再将它们相加求和即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣6， 解不等式②得：x＜﹣3， ∴原不等式组的解集为：﹣6≤x＜﹣3， 原不等式组的整数解为：﹣6，﹣5，﹣4， ∴所有整数解的和为：﹣6﹣5﹣4＝﹣15． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了是关键． 14．（2024•孝南区模拟）某校决定购买甲，乙两种文学书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需95元． （1）求甲、乙两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书 　　 本． 【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需95元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元； （2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本， 根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200， 解得：m≤40， ∴m的最大值为40． 答：该校最多可以购买甲种书40本， 故答案为：40． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 15．（2024•大冶市模拟）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同． （1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？ （2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？ 【分析】（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，根据投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，根据该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：研发一个A类科研项目所需的资金是300万元； （2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目， 根据题意得：300y+（300+75）（40﹣y）≤13200， 解得：y≥24， ∴y的最小值为24． 答：该公司投资研发A类科研项目至少是24个． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16．（2024•洪山区校级二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的一半．问：共有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据购买总费用不超过26万元且且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种充电桩的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用． 【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2． 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元； （2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个， 根据题意，得：， 解得：m． ∵m为整数， ∴m＝14，15，16． ∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩． ∵A型机床的单价低于B型机床的单价， ∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）． 【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$