第06讲 第七章 复数 章节验收测评卷-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 第七章 复数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算求出,即可得出结果. 【详解】由可得 ， 所以的虚部是. 故选：A 2．已知为实数，是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】由题意，根据复数的乘法运算和相等复数的概念计算可得，进而求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，即. 所以且，解得， 所以. 故选：D 3．已知复数，则z在复平面对应的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法及复数的几何意义即可求解. 【详解】，对应点为. 故选：. 4．复数方程解的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由复数得乘方与共轭复数的概念计算参数即可. 【详解】设，则，， 所以，解之得或或，共4组解. 故选：A 5．已知在复平面内对应的点的坐标为，则，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法化简，表示出，消去得，满足的关系式. 【详解】因为，所以，， 消去得． 故选：C． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据复数的除法求复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】因为，所以. 故选：A 7．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， 由，其虚部为，B错误； 对于C，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D， ，当时取等号，D正确， 故选：D. 8．若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方 【分析】由立方差公式得到，从而得到. 【详解】因为，所以， 故， 因为，所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（   ） A． B．若，互为共轭复数，则 C．若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D．若复数为纯虚数，则 【答案】BCD 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的乘方 【分析】A选项，利用复数的乘方运算得到A正确；B选项，设，，则；C选项，由复数的几何意义得到C正确；D选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出. 【详解】对于A：，A错； 对于B：令，，，，所以，故B正确； 对于C：，故z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C正确； 对于D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确. 故选：BCD 10．已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】BC 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】A、B应用复数乘除运算化简判断；C由共轭复数定义及复数对应坐标判断象限；D复数加减运算并求复数的模，即可判断. 【详解】A：，错误； B：，正确； C：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，正确； D：，错误. 故选：BC 11．设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 . 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的四则运算化简计算求得复数，即得其对应的点的坐标. 【详解】因， 故复数在复平面内对应点的坐标是. 故答案为：. 13．复数满足，则 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】8 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数、复数的向量表示 【分析】令，，且，结合条件求参数，进而确定的位置关系及模长，即可求的面积. 【详解】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16．复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 17．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 18．对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)若中的为常数，则令，对任意，是否一定有常数使得？这样的是否唯一？说明理由. (3)计算，并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式，并证明之． 【答案】(1)， (2)，，m不唯一，理由见解析 (3)答案见解析 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、函数新定义 【分析】（1）由复数相等的性质分析可得到结果； （2）利用诱导公式，即可说明理由. （3）计算，发现，从而有，利用定义证明. 【详解】（1）由，, 得， 即，由得，进而， 当时，，解得，此时； 当时，，无解，舍去. 所以，，故. （2）由题意得，， 因为，，， 所以， 所以令，，则有， 同时取不同值时，也有相应的不同值，故不唯一. （3）, , , 所以， 一般的，对于任意复数，有， 证明如下， ， 而， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用已知中的定义：对任意复数，定义，对问题中的进行计算. 19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得最小值. 根据所给条件求出，再证明对任意的，根据定义证明即可. 【详解】（1）由， 得，； （2）设，，，、、、、、， ，，， ， 因为，， 所以， ，故正确； （3）不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值2， 此时， 设满足条件的，， ， 则，， 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 第七章 复数 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知为实数，是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C．4 D． 3．已知复数，则z在复平面对应的点为（   ） A． B． C． D． 4．复数方程解的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．已知在复平面内对应的点的坐标为，则，满足的关系式为（    ） A．B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．的最大值为 8．若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设i为虚数单位，下列关于复数z的命题正确的有（   ） A． B．若，互为共轭复数，则 C．若，则z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆 D．若复数为纯虚数，则 10．已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 11．设，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，其中，，，，且，，则 B．若（）为纯虚数，则 C．若关于的方程，，的一个虚根为，则 D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 . 13．复数满足，则 . 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 16．复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 17．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 18．对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)若中的为常数，则令，对任意，是否一定有常数使得？这样的是否唯一？说明理由. (3)计算，并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式，并证明之． 19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 学科网（北京）股份有限公司 $$