第05讲 第七章 复数 章末题型大总结(7大题型)-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 第七章 复数 章末题型大总结 题型01复数的概念 1．（多选）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数z满足，则复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离 C．若是纯虚数，则实数 D．复数的虚部为 【答案】AB 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的乘方 【分析】对A，根据复数的运算即可求解；对B，由复数的模的公式化简求出z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离即可判断，对C，根据纯虚数的概念列方程即可求解；对D，由虚部概念即可判断. 【详解】解：对于A： ， ，故A正确； 对于B：设，代入， 得：， 整理得：， 即复平面内z对应的点在直线上， 故复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离，故B正确； 对于C：是纯虚数， 则，解得：，故C错误； 对于D：复数的虚部为，故D错误. 故选：AB. 2．（多选）（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B． C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AB 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数、共轭复数的概念，复数的除法运算及几何意义一一判定选项即可. 【详解】由纯虚数的概念，易知A正确； 由共轭复数的概念，易知，即B正确； 由，虚部为，故C错误； 其对应的点位于第二象限，故D错误. 故选：AB 3．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A．复数z的虚部为3 B． C．复数z的实部为 D． 【答案】ACD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】利用复数乘法求出，再结合复数的概念、模及乘方运算逐项判断. 【详解】对于AC，复数，复数的虚部为3，实部为，AC正确； 对于B，，B错误； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 4．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下列关于方程的结论中，正确的有（    ） A．方程的两根互为共轭复数 B．若，则方程两根互为共轭复数 C．若x为方程的一个虚根，则也为方程的根 D．若，则方程的两根一定都为正数 【答案】BC 【知识点】复数的基本概念、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】根据判别式来确定AD；求出方程的解来确定BC； 【详解】对于A：，不确定其正负，故方程可能有实数根也可能有复数根，A错误； 对于B：当时，，解得，两根为共轭复数，B正确； 对于C：当时，方程的根为，即一个根为虚数时，它的共轭复数也是方程的根，C正确； 对于D：当时，，不确定其正负，方程可能无实数根，D错误. 故选：BC. 题型02共轭复数 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，利用复数的运算得到，再结合条件，求得，即可求解. 【详解】设，则， 又，得到， 所以，，所以，或，，得到， 所以， 故选：B． 2．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 ,为复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若表示的共轭复数，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设 ，根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】设 ， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，因为，所以，所以B正确； 对于C中，由， 若，可得，可得或，所以C正确； 对于D中，取，可得，所以D错误. 故选：ABC. 3．（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设出，，，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项计算可判断A、B、D；举出反例可判断C. 【详解】设，，且，则，； 对A：， 所以，所以，故A正确； 对B：， ，故B正确； 对C：当时，满足，但不能得出，故C错误； 对D： ，故，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算求解和，再求即可. 【详解】由可得 ， 则共轭复数， 所以． 故答案为：. 5．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. (1)求复数ω的共轭复数； (2)求复数ω的模. 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）根据复数的除法运算规则化简复数，再结合共轭复数概念计算；（2）根据复数模长公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以 所以ω的实部为，虚部为. 由已知得 ，所以解得 又，所以即，则. （2）==. 题型03 复数相等 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据求出，求出，求出，求出. 【详解】由，有， ，， . 故选：B． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、复数的相等 【分析】结合给定条件将用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、复数的相等、求二次函数的值域或最值 【分析】结合复数相等的条件，二次函数的性质，以及三角函数的性质，即可求解． 【详解】解：复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 4．（9-10高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、复数的相等 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【详解】（1）． （2）把代入，得， 整理得，所以，解得. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的相等 【分析】先计算共轭复数，再根据复数相等求解即可. 【详解】由题意，, 因为， 所以， 解得. 题型04复数的模 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数除法运算化简，由复数模长运算可求得结果. 【详解】， . 故选：A. 2．（2024·福建·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】设，， 则， 所以，解得， 所以，. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先确定复数，再求复数的模. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数的除法计算，利用复数的模公式可得解. 【详解】，则， 所以. 故选：B. 题型05复数的四则运算 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】先求出，再求出，从而可求解. 【详解】由，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解. 【详解】由得， 则. 故选：C. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数加减法的代数运算、复数的乘方 【分析】（1）（2）利用代数形式的复数加减法计算即得. （3）（4）利用复数乘法及乘方运算计算即得. （5）（6）利用复数的除法运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 题型06复数的分类 1．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由复数为纯虚数，列出方程组求解即可得的值； （2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得的取值范围． 【详解】（1）. 因为为纯虚数，，解得， 所以. （2）由， 由复数在复平面内所对应的点位于第四象限，得，解得． 的取值范围为． 3．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【详解】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算 【分析】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 因为是实数， 所以有， 因此； （2）， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 5．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求a的值； (2)若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】（1）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解． 【详解】（1）由是纯虚数， 得， 即； （2）由在复平面上对应的点在第二象限， 得， 即． 题型07复数模最值问题 1．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模 【分析】设（），代入已知式化简得满足关系，然后计算，转化为结合二次函数性质求得最小值． 【详解】设（），代入得， 化简得， ， 所以时，取得最小值， 故答案为：． 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知复数满足，当的实部取最大值时， ． 【答案】/ 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 【详解】设，， 则，在复平面中在以为圆心，3为半径的圆上运动， 所以实部，此时， 故． 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据条件确定出的轨迹，把问题转化为圆上的点到点距离的最值问题． 【详解】解：设，，， 因为， 所以． 因为， 所以相当于圆上的点到点距离， 所以的最小值为圆到点的距离与圆的半径的差， 即， 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据以及的几何意义即可求解. 【详解】设复数z及在复平面上所对应的点分别为与， 由已知Z与之间的距离为2，得Z在以为圆心，2为半径的圆上. 设为复数所对应的点，即 则为点与之间的距离， 连接交圆于，的延长线与圆交于， 则. 又，且点、、、在同一直线上，故，， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 第七章 复数 章末题型大总结 题型01复数的概念 1．（多选）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数z满足，则复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离 C．若是纯虚数，则实数 D．复数的虚部为 2．（多选）（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B． C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第四象限 3．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A．复数z的虚部为3 B． C．复数z的实部为 D． 4．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下列关于方程的结论中，正确的有（    ） A．方程的两根互为共轭复数 B．若，则方程两根互为共轭复数 C．若x为方程的一个虚根，则也为方程的根 D．若，则方程的两根一定都为正数 题型02共轭复数 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 ,为复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若表示的共轭复数，则 C．若，则或 D．若，则 3．（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）若，则 ． 5．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. (1)求复数ω的共轭复数； (2)求复数ω的模. 题型03 复数相等 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 4．（9-10高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 题型04复数的模 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型05复数的四则运算 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）复数（是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型06复数的分类 1．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（，为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 3．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 5．（23-24高一下·吉林白山·期中）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求a的值； (2)若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围． 题型07复数模最值问题 1．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知复数满足，当的实部取最大值时， ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知复数z满足，则的最小值为 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$