精品解析：湖北省天门市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

天门市2024—2025学年度第一学期期末考试九年级 数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指定位置． 2．每道选择题的答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 4. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 7. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 13. 如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程______． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． （1）请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； （2）若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 19. 图中网格由边长为1的小正方形组成的，点A、B、C都在格点上． （1）△ABC的面积为 ； （2）在网格图中，画出一个以AC为边的△ACD，使得△ACD与△ABC全等（点D与点B不重合）；并进一步探究：满足条件的三角形可以作出 个． 20. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处． 素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果． 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 23. 探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． （1）①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天门市2024—2025学年度第一学期期末考试九年级 数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指定位置． 2．每道选择题的答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．是中心对称图形，故B选项符合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得，， 故选：A． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意； D．黄河入海流是必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键． 4. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得当汽车停止时，汽车所行驶的距离最远，进而把函数解析式配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值为9，此时汽车已停止行驶， ∴汽车从刹车到停止所用的时间为3秒； 故选A． 7. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径． 故选：C． 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是 故答案为： 12. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．连接，先根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂足为，且， 是中的弦的中点， ∴， ∵的半径长为，则， 在中，， 则． 故答案为：9． 13. 如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．由宽和长共六十步，可得出宽为步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为步，根据题意得： ． 故答案为：． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想求解；根据二次函数的图像和性质可判断①，根据二次函数的对称性可知过，即可判断②，根据对称轴是2可判断③，由数形结合和二次函数的对称性可判断④． 【详解】解：①抛物线的开口向下， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ， 故①正确，满足题意； ②抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 将代入，得， 故②不正确，不满足题意； ③， ， 故③正确，满足题意； ④此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线， 此抛物线经过点， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6， 不等式的解集是或， 不等式的解集是或， 故④不正确，不满足题意， 故答案为： ①③． 三、解答题（本大题共9个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 17. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． （1）请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； （2）若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】（1） 列表如下： 3 4 3 4 （2）这个游戏不公平，理由：从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同， 其中点在第一象限或第三象限的结果有4种， 第二象限或第四象限的结果有8种， 所以小红获胜的概率， 小颖获胜的概率， ∵ 这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）通过列表展示所有12种等可能性的结果数； （2）找出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数，然后根据概率公式计算两人获胜的概率． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 19. 图中网格由边长为1的小正方形组成的，点A、B、C都在格点上． （1）△ABC的面积为 ； （2）在网格图中，画出一个以AC为边的△ACD，使得△ACD与△ABC全等（点D与点B不重合）；并进一步探究：满足条件的三角形可以作出 个． 【答案】（1）3 （2） △ACD与△ABC全等的图，如图所示：（三种情况画出一种即可） 根据画出的图形可知，满足条件的三角形可以作出三个． 【解析】 【分析】（1）根据割补法求出△ABC的面积即可； （2）可以根据方格纸的特点，作出或即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等作图，熟练掌握三条边对应相等的两个三角形全等是解题的关键． 20. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数关系式为，反比例函数关系式为： （2）＝ （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由一次函数的解析式为可知，， ∴，， ∴， 故答案为：＝； 【小问3详解】 解：由图象可知：时的取值范围是或． 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处． 素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果． 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可； （3）由题意可得：，分别代入和，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值． 【详解】任务1：解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为，把代入得：，解得：， 抛物线的表达式为； （2）令，得， 解得：， ∴， 得到， 喷灌器与围墙的水平距离为； （3）如图所示：，花坛高，宽， ， ∴ ∴， 设，把代入得，解得：， ∴， 当时，， ， 设，把代入得，，解得：， ∴， 当时，， ∴， 即喷水口距离地面高度的取值范围为． 23. 探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． （1）①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 【答案】（1）①； ②成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与①同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案；②结合①中证明过程即可求解； （2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【小问1详解】 解：①，理由如下， 如图1， 把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ； ②略 【小问2详解】 解：中，，， ， 由勾股定理得：，     如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $