精品解析：浙江省绍兴市嵊州市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 不等式的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 任何一个角都比它的补角小 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 3. 下列条件中，能确定位置的是（ ） A. 影院座位位于一楼二排 B. 甲地在乙地东南方向 C. 一只风筝飞到距A处20米处 D. 某市位于北纬，东经 4. 一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( ) A. B. C. D. 无法确定 7. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位后的坐标是_______． 12. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 13. 若，且，则b_______a．（填不等号） 14. 如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在直线：上，，过点B作轴，若，则k的值是_______． 16. 如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则长是_______． 三、解答题（本大题有8小题，其中17～19每小题6分，20～22每小题6分，23～24每小题6分，共62分．） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点A，B，C的坐标分别为，， （1）先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请在图形中画出． （2）连结，求的长．（不要求化简） 19. 如图，直线：和直线：交于点． （1）求k，m的值． （2）根据图象求：当时，自变量x取值范围． 20. 如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． （1）求证：； （2）已知，，求长． 21. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求面积． 22. 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示，那么当按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题： （1）当时，求关于的函数关系式． （2）当时，求关于的函数关系式． （3）如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 23. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 （1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； （2）小嵊进行了如下思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． （1）若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． （2）连接，若，当最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 不等式的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式，利用移项合并同类项解不等式即可． 【详解】解： 移项得，， 即， 故选：B 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 任何一个角都比它的补角小 C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念、角的和差、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A选项：若，则，选项是真命题； B选项：，则的角等于它的补角，选项是假命题； C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是加，假命题； D选项：如：，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命题． 故选：A． 3. 下列条件中，能确定位置的是（ ） A. 影院座位位于一楼二排 B. 甲地在乙地东南方向 C. 一只风筝飞到距A处20米处 D. 某市位于北纬，东经 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了确定位置．在一个平面内，要有两个有序数据才能确定位置，由此求解即可． 【详解】解：A、影院座位位于一楼二排，没有几号，无法确定位置，不符合题意； B、甲地在乙地东南方向，没有距离，无法确定位置，不符合题意； C、一只风筝飞到距A处20米处，没有方向，无法确定位置，不符合题意； D、某市位于北纬，东经，可以确定位置，符合题意； 故选：D． 4. 一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图象可知直线经过，两点， ∴根据题意得：， 解得：， 则这个函数的表达式是：， 故选：C． 5. 如图，在图形T上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的应用．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图，选项B，C，D补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形． 选项A补上一个正方形，不能使它成一个轴对称图形． 故选：A． 6. 如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，三角形的外角的性质．根据题意证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 8. 我们发现：在平面直角坐标系中，两条直线：与：互相垂直，则．若直线l：与互相垂直，且经过，则n的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意得到，解得，则直线l：，再把代入即可求出． 【详解】解：∵直线l：与互相垂直， ∴， 解得， ∴直线l：， 把代入得到，，解得， 故选：B 9. 根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 10. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质．根据轴对称的性质求得，推出，和都是等腰直角三角形，利用证明，得到点，据此求解即可． 【详解】解：令，则，令，则， ∴，，，， 设， 当点M在x轴上方时， ∵点C落在直线上，则， ∵C是点A关于直线对称点， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形， ∴， 作轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点直线上， ∴， 解得， ∴点M的纵坐标是． 当点M在x轴下方时， 同理可得， ∴， 解得， ∴点M的纵坐标是． 综上，点M的纵坐标是或． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位后的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，可得点的坐标，即， 故答案为：． 12. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 【答案】(答案为唯一) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定方法即可解决问题； 【详解】解：∵，∴， 又∵， 根据只要添加：或； 根据只要添加：或； 根据只要添加：， 故答案为：(答案为唯一)． 13. 若，且，则b_______a．（填不等号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的乘法：根据同号得正，异号得负的逆运用，得是异号，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是异号， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理．根据折叠的性质可得，推出，得到，根据三角形内角和定理求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 中，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在直线：上，，过点B作轴，若，则k的值是_______． 【答案】3 【解析】 分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理．作轴于点，设，求得，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴于点，设， ∵轴，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， 故答案为：3． 16. 如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．作，交的延长线于H，证明，得到，，则，证明，得到，由，设，则，得到，解得，得到． 【详解】解：作，交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，其中17～19每小题6分，20～22每小题6分，23～24每小题6分，共62分．） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式（组）； （1）根据表达式的性质，解一元一次不等式，即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ∴ 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点A，B，C的坐标分别为，， （1）先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请在图形中画出． （2）连结，求的长．（不要求化简） 【答案】（1）见解析 （2）（不要求化简） 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向，平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据平移规律，分别计算出三个顶点平移后的坐标．然后在平面直角坐标系中准确找到这些点的位置，依次连接各点，画出平移后的三角形； （2）先确定平移前后点与的坐标．再将坐标代入两点间距离公式，计算出的长度． 【小问1详解】 对于点，向上平移 3 个单位，纵坐标变为，再向左平移 3 个单位，横坐标变为，得到， 对于点，向上平移 3 个单位，纵坐标变为，再向左平移 3 个单位，横坐标变为，得到， 对于点，向上平移 3 个单位，纵坐标变为，再向左平移 3 个单位，横坐标变为，得到， 然后在坐标系中画出． 【小问2详解】 由题意可知， 可得的长度为（不要求化简）． 19. 如图，直线：和直线：交于点． （1）求k，m的值． （2）根据图象求：当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了求两直线的交点问题，图象法解不等式等知识，正确求出两直线的交点坐标是解题的关键． （1）把代入得到，得到，把代入得到即可； （2）根据交点找到直线在直线上方的点的横坐标的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到 ， 解得， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由函数图象可知，当直线在直线上方时，， ∴当时，自变量x的取值范围是． 20. 如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． （1）求证：； （2）已知，，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形外角的性质及等角对等边，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得出，再根据证明即可； （2）先由全等三角形的性质得出，再根据题意及三角形外角的性质即可得出，然后再依据等角对等边进行证明即可． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交边于点， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴． 21. 如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用； （1）根据等腰三角形的“三线合一”和等边对等角的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则，；进而可得到，从而得到； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点，则， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴ 22. 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示，那么当按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题： （1）当时，求关于的函数关系式． （2）当时，求关于的函数关系式． （3）如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 【答案】（1） （2） （3）服药后第小时至第5小时 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用， （1）先用待定系数法求出当时，y关于x的函数解析式； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时，对于，，分别得出点的值，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设关于的函数关系式为， 代入得，， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴当时，， 当时，设关于的函数关系式为，代入，得， 解得： ∴当时， 【小问3详解】 解：∵当时，；当时， 当时，，当时，， ∵每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效， 答：这个有效时间的范围是服药后第小时至第5小时． 23. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 （1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； （2）小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； （3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3； （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到； （2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案； （3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； 【小问2详解】 解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； 【小问3详解】 解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 【点睛】本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． （1）若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． （2）连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）①；②或或 （2） 【解析】 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $