精品解析：广东省广州市增城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期期末质量检测卷 八年级数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，从下列条件中选一个，不能得到的是（ ） A B. C. D. 7. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）， A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，点C为线段上一点，且，以为边在的同侧作等边和等边，连接交于点F，连接，若，设，则a、b满足（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）． 11. 点关于轴对称的点坐标为__________． 12. 若一个完全平方式，则_______. 13. 分式方程的解是___________． 14. 计算：__________． 15. 如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为__________． 16. 如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是______． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，和相交于点O，，求证：． 19 已知，代数式：，，． （1）因式分解； （2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）若在轴上存在点，使得的面积为4，求点的坐标． 21. 如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是等边三角形． 22. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接．求证：点是的中点． 23. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？ 24. 如图，从边长为的正方形中剪去一个边长为的正方形． （1）若，，求的值； （2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； （3）计算：． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求、两点的坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； （3）如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末质量检测卷 八年级数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零即可解答． 详解】解：∵要使分式有意义，则可得， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式的定义是解题的关键． 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据合并同类项法则可判断A；根据同底数幂乘除法计算法则可判断B、D；根据幂的乘方计算法则可判断C． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知，从下列条件中选一个，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故C符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：C． 7. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故选：D． 8. 如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数． 详解】解： ，， ， 是角平分线， ， 又 ， ， ． 故选：A． 9. 若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）， A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求字母的取值范围，将参数当场常数，求出分式方程的解，根据解的情况列出不等式进行求解即可．解题的关键是正确的求出方程的解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于的方程的解为正数，且， ∴且， 解得：且； 故选B． 10. 如图，点C为线段上一点，且，以为边在的同侧作等边和等边，连接交于点F，连接，若，设，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形面积等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 作，垂足为，，垂足为，在上取一点，使，先证明，，再根据三角形面积之比推出，列出关系式即可解决问题． 【详解】解：如图，作，垂足为，，垂足为，在上取一点，使， △，△是等边三角形， ，，， ， ， ，，， ， ， ，垂足为，，垂足为， ， ，， ∴， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ，同理可得：， ， ， ， ． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）． 11. 点关于轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若是一个完全平方式，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的形式即可解答. 【详解】∵= ∴. 【点睛】此题主要考查完全平方公式的形式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点. 13. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程得解， 故答案为：． 14. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 15. 如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点B， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 16. 如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的概念和等角对等边即可判断②；由，即可判断①；根据三角形内角的平分线和另外两个内角的外角平分线交于一点即可判断③；根据角平分线的概念和三角形外角的性质求解即可判断④． 【详解】∵和分别为的两个外角的平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵和分别为的两个外角的平分线， ∴平分，故③正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查了三角形角平分线的概念，三角形外角的性质，平行线的性质，等角对等边性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 如图，和相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据“全等三角形的对应角相等”即可得证． 【详解】证明：在和中， ∴． ∴． 19. 已知，代数式：，，． （1）因式分解； （2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式分解因式即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）若在轴上存在点，使得的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2）或 【解析】 【分析】本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及网格图中三角形的面积计算．熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同这一规律是正确解题的关键． （1）由关于轴对称的性质得点，，的对称点为，描点、画图即可； （2）连接交轴于点D，则，设点，求出，，再根据，计算即可． 【小问1详解】 解：由关于轴对称的性质得点，，的对称点为， 如图所示，为所求： 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于点D，则， 设点， 则，， ∵，即， ∴或 ∴点的坐标为或． 21. 如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定性质，三线合一． （1）根据等边三角形三线合一推出，即可解答； （2）根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 22. 如图，在四边形中，，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接．求证：点是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据题意作的平分线，交于点即可； （2）连接，过点E作于点H，结合角平分线性质可证，得到，，再根据，推出，由，可证，得到，进而推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，射线为所求： 【小问2详解】 证明：连接，过点E作于点H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 23. 节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多元． （1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ （2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？ 【答案】（1）完全用电行驶每千米的费用是元 （2）汽车至少需要完全用电行驶40千米． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据相同路程下用油的费用为70元，用电的费用为20元建立方程求解即可； （2）求出甲地与乙地的距离为100千米，设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米，再根据总费用不超过50元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设完全用电行驶每千米的费用是x元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， ∴是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米费用是元； 【小问2详解】 解：（千米）， ∴甲地到乙地的距离为100千米， 设完全用电行驶m千米，则完全用油行驶千米， 由题意得，， ∴， ∴汽车至少需要完全用电行驶40千米． 24. 如图，从边长为正方形中剪去一个边长为的正方形． （1）若，，求的值； （2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； （3）计算：． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据，，利用平方差公式即可求解； （2）用两种方法分别表示出图中阴影部分的面积，即可解答； （3）将式子变形为，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点， ∵图中阴影部分面积为或， ∴； 【小问3详解】 解：原式 ． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求、两点的坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； （3）如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1） （2）或 （3）的大小不变，总为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，通过一线三垂直模型构造全等三角形求解即可； （3）作于M，交延长线，证明，则，进而可得是的角平分线，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点C在上方时，过点作轴于F，轴于E，如图所示：     ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 当点C在下方时，过点作轴于F，轴于E，如图：    同理可证明， ，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或； 【小问3详解】 解：的大小不变，总为，理由如下： 作于M，交延长线，如图所示：     ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $