1.2 二次根式的性质 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

1.2 二次根式的性质 一、二次根式的性质 1.非负性：是一个非负数。此性质在根式运算中经常用到。 2.平方性质：。此性质既可正用，也可反用。反用的意义在于，可以把任意一个非负数写成二次根式的形式。 二、最简二次根式 在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 三、二次根式的运算性质 1.积的算术平方根：。即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 2.商的算术平方根：。即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 巩固课内例1:单项根式化简 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简： (1)； (2)． 巩固课内例2:多项根式化简 1．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若，则化简的结果是 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例3:根号内乘除化简 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简： （1）；                          （2）； （3）；                        （4）. 巩固课内例4:根号内分数、小数化简 1．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简： （1）；     （2）． 类型一、二次根式的简单化简 1．化简的正确结果为（    ） A． B． C．3 D．9 2．化简 3．化简： (1)； (2)； (3)． 类型二、二次根式的性质中的倒数、绝对值、相反数 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．的平方根为 ，的立方根为 ． 3．实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式的值． 类型三、二次根式中的平方根、立方根 1．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 ； 3．已知的平方根为的立方根是3，求的平方根． 类型一、二次根式的非负性 1．的平方根是为（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： ．（填“>” “<”或 “=”） 3．已知，求的值． 类型二、二次根式比较大小 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．比较和的大小（平方法） 类型三、二次根式的移根化简 1．下列各实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 3．已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 类型四、二次根式的数轴化简 1．化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 2．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 两种解答中， 的解答是错误的； 若时， ． 3．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：． 类型五、二次根式的化简求值 1．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．a 2．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 3．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 类型一、二次根式的新定义运算 1．阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是（    ） A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 2．观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ． 3．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如． (1)求的值； (2)若，，求的值． 类型二、二次根式中的规律 1．对于任意两个正数，定义运算※为：，计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．或5 2．已知，则的值为 ． 3．观察下列各式及其验证过程： ；． 验证：；． (1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； (2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程． 类型三、复合函数的化简 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 1．把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 2．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 3．关于的叙述不正确的是（   ） A． B．面积是8的正方形的边长是 C．是正无理数 D．是64的算术平方根 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．计算： ． 6．当时， ；若，则 ． 7．已知．求的值． 8．先化简，再求值：已知：，求的值． 9．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 10．贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 二次根式的性质 一、二次根式的性质 1.非负性：是一个非负数。此性质在根式运算中经常用到。 2.平方性质：。此性质既可正用，也可反用。反用的意义在于，可以把任意一个非负数写成二次根式的形式。 二、最简二次根式 在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 三、二次根式的运算性质 1.积的算术平方根：。即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 2.商的算术平方根：。即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 巩固课内例1:单项根式化简 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与简化，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【详解】解：∵， ∴、、选项不符合题意，选项符合题意． 故选：B． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，据此化简作答即可，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式的性质是关键； （1）利用二次根式商的性质化简即可； （2）利用二次根式商的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例2:多项根式化简 1．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 先化简，再去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 、∴ 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例3:根号内乘除化简 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，开方运算，根据二次根式的性质，立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选A． 2．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．化简： （1）；                          （2）； （3）；                        （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的除法性质对（1）、（2）、（3）、（4）直接化简即可. 【详解】解：（1）. （2）. （3）. （4）. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，如果二次根式的被开方数的分母是开得尽方的数，那么可利用商的算术平方根的性质进行化简.当被开方数是带分数时，应先将其化为假分数. 巩固课内例4:根号内分数、小数化简 1．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据二次根式的性质进行逐项分析化简，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质，准确进行计算，是解此题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．化简： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把能开的开出来，注意分母要有理化，且结果要最简． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握开方方法和分母有理化是本题解题关键． 类型一、二次根式的简单化简 1．化简的正确结果为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 2．化简 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据即可解答． 【详解】解： 故答案为：9． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）； （3）． 类型二、二次根式的性质中的倒数、绝对值、相反数 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的倒数，根据倒数的定义可列式子，计算结果即为所求，掌握倒数的求法是解题的关键． 【详解】解：， ∴的倒数是为， 故选：． 2．的平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根及平方根的知识．解题的关键是掌握立方根及平方根的定义，属于基础题． 根据平方根及立方根的定义，进行解答即可． 【详解】解：的平方根是， ，的立方根为． 故答案为：、． 3．实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式的值． 【答案】8 【详解】解析：若两个实数互为相反数，则它们的和为0；若两个实数互为倒数，则它们的积为1．找出题中隐含的已知条件，再求解． 答案：解：根据题意，得，，，即，∴． 题型解法：解答本题的关键是挖掘隐含在题中的已知条件，然后根据已知条件求代数式的值． 类型三、二次根式中的平方根、立方根 1．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最小的数是； 故选：A． 2．已知，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，解题的关键是掌握非负数的性质．根据非负数的性质求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为： 3．已知的平方根为的立方根是3，求的平方根． 【答案】的平方根为． 【分析】本题考查了平方根和立方根的意义，二次根式的性质，先根据平方根和立方根的意义求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵的平方根为的立方根是3 ∴，， ∴ ∴， ∴的平方根为． 类型一、二次根式的非负性 1．的平方根是为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，平方根的计算，熟练掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义计算即可求解； 【详解】解：， 的平方根是； 故选：C 2．比较大小： ．（填“>” “<”或 “=”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，先整理，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 首先利用二次根式和分式有意义的条件，绝对值的性质得出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】解：∵ ∴，，， 解得， 则． 类型二、二次根式比较大小 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简二次根式，根据非负数的性质得到，则，据此计算出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案，掌握二次根式的运算性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：， ∴， 故答案为：． 3．比较和的大小（平方法） 【答案】 【分析】利用平方法，即可比较出大小． 【详解】解：，， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键． 类型三、二次根式的移根化简 1．下列各实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．因为2.52＝6.25， 所以＞2.5． 所以A选项错误； B．因为＝4，22＝4， 所以＝22． 所以B选项错误； C．因为＞， ∴． 所以C选项错误； D．因为−1＞1， 所以． 所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了实数大小比较，熟知二次根式的性质与实数比较大小的法则是解答此题的关键． 2．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知在中，，，． (1)分别化简，的值． (2)试在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长． （1）根据二次根式的化简方法进行化简； （2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长． 【详解】（1）解：，； （2）解：如图所示：，，， ． 类型四、二次根式的数轴化简 1．化简二次根式正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 两种解答中， 的解答是错误的； 若时， ． 【答案】 乙 199 【分析】利用二次根式的性质化简进行判断即可． 【详解】解：乙没有考虑化简后的正负， 乙的解答是错误的， ， ， ， 原式 ； 故答案为：①乙；②199． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：． 【答案】原式； 【分析】本题考查根据数轴化简绝对值及二次根式，先根据数轴得到字母的取值范围，根据及化简即可得到答案； 【详解】解：由数轴得， ，， ∴原式 ． 类型五、二次根式的化简求值 1．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．a 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的性质和化简，根据进行化简，然后再结合绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，再合并即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)2030 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． （2）解：由题意得 ； 故答案：． （3）解：当时， 原式 原式 ． 类型一、二次根式的新定义运算 1．阅读下面的文字后，回答问题： 小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中时，得出了不同的答案． 小强的解答是：原式； 小芳的解答是：原式． 请你判断，解答正确的是（    ） A．小强 B．小芳 C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；根据二次根式的性质求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 小芳解答正确， 故选：． 2．观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题，根据0，，2，，，，，即可得到0，，，，，，，从而得到第个数为． 【详解】解：由题意寻找规律可得：第个数为， ∴数10个数为， 故答案为：． 3．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义运算得，再求算术平方根即可； （2）由新定义运算得方程组，再用加减法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：依题意得： ， 由得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义，算术平方根，用加减法解二元一次方程组，理解新定义和熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，注意整体思想的应用． 类型二、二次根式中的规律 1．对于任意两个正数，定义运算※为：，计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，二次根式的性质，利用新定义的规定运算，转化成二次根式的运算，利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：※※ ． 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．观察下列各式及其验证过程： ；． 验证：；． (1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； (2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质， （1）根据材料提示的方法进行计算即可求解； （2）根据材料提示，二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】（1）解：， 验证：； （2）解：， 验证：． 类型三、复合函数的化简 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，1可以表示为，，即可得出规律，即第个多项式可以表示为：． 本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，按规律排列的多项式：，，，，，， 其中1可以表示为，， 即按规律排列的多项式：，，，，，， 第个多项式可以表示为：， 故选：D． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 1．把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 2．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数和二次根式的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，相乘为1的两个数即为倒数，二次根式的化简即可得出答案． 【详解】解：∵无理数的倒数为：， 故选：C． 3．关于的叙述不正确的是（   ） A． B．面积是8的正方形的边长是 C．是正无理数 D．是64的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．解题的关键是熟知无理数的定义及二次根式的性质． 根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. ，∴A选项正确； B. 面积是8的正方形的边长是，∴B选项正确； C. 是正无理数，∴C选项正确； D. 8是64的算术平方根，∴D选项不正确． 故选：D． 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和二次根式的性质，由数轴可得，即得，，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可求解，由数轴得到，是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故选：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式将根号下部分变形开平方，然后计算加减即可． 【详解】 ． 故答案为：． 6．当时， ；若，则 ． 【答案】 1或2 【分析】此题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简和求值即可． 【详解】解：当时，， 若，则或， 解得，1或2， 故答案为：，1或2 7．已知．求的值． 【答案】 【详解】由题意知，，． 原式变形为 整理，得，两边平方，得 ，即． 8．先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 9．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 10．贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$