第1章 平行线（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、平移的性质求阴影 【解惑】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．由平移可得，推出，求出，即可解决问题． 【详解】解：由平移可得：，， ， ， ， ， ， 即， ，即平移距离为， 故选：B． 2．如图，把直角三角形沿所在直线平移到三角形的位置，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】13 【分析】本题考查了平移的基本性质，根据平移的性质得到 ，，再证明，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 3．如图，的边长，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查平移的基本性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，求解即可． 【详解】解：将沿方向平移cm（cm），得到， ，，， 阴影部分的周长cm． 故答案为：13． 类型二、三角板旋转平行 【解惑】如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的值为（    ） A．65° B．75° C．85° D．80° 【答案】A 【分析】过A作CEl1，得到CEl1l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案． 【详解】解：过C作CEl1， ∵l1l2， ∴CEl1l2， ∴∠3=∠1=35°， ∴∠4=90°-∠3=55°， ∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 【融会贯通】 1．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，那么（    ）度． A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记三角板的各内角的度数是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：C． 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．分两种情况进行讨论：当点B在上方时，当点B在下方时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点B在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当点B在下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在上，，．小明将从图中位置开始，绕点A按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行． 【答案】5或17 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．分两种情况：①在上方；②在下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：①当在上方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为：（秒）； ②当在下方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角度为：， ∴旋转时间为：（秒）， 综上所述：在旋转过程中，第5或17秒时，边与边平行， 故答案为：5或17． 类型三、平行的性质与判定证明依据 【解惑】在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，． (1)求的度数； 解：（已知），且（________）， （________） （已知）， （________）． ________（等量代换）． (2)求证：直线． 证明：（________）， ________（________）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】(1)对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等； (2)已知；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据平行线的性质定理，结合已知求解过程逐步推导即可得出答案； （2）根据平行线的判定定理，结合已知证明过程逐步推导即可得出答案． 【详解】（1）解：（已知），且（对顶角相等）， （等量代换） （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． （2）证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【融会贯通】 1．如图，已知，，于点D，于点，试说明．请补全说理过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵，， ， ① ，（② ）， （③ ）， 又，（已知）， （④ ）， （⑤ ）， （等量代换）． 【答案】①；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两直线平行，同位角相等． 【分析】根据平行线的判定可得，，再根据平行线的性质可得，，再等量代换即可得． 本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又，（已知）， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 2．把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，，，． （1）试说明； （2）推导证明与的位置关系． 解：（1）∵（已知） ________（________） 又（已知） ________（________） （________） （2）∵（已知） ∴________（________） 又∵（已知） ∴________________（等量代换） ∴________ 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）；两直线平行，内错角相等；；3 ； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． （1）根据平行线的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】解：（1）∵（已知） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴． 3．如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）． 解：∵，（________）， ∴（________） ∴（________） ∴________（________） 又∵（________）， ∴（________） ∴________（________） ∴（________） 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等．根据相关知识点逐一判断填空即可． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 类型四、作图(最短) 【解惑】如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】解：如图所示，作法如下： （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，（则河宽，即相当于将桥平移到，的位置）． （2）连接，分别与河岸相交于点，． （3）过点作垂直于河岸于点，过点作垂直于河岸于点， 由作图可知， ∴最短路径为， ∴，即为两座桥的位置． 【融会贯通】 1．作图题 (1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．     答：在__________开始挖掘     理由：____________________． (2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． ①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的； ②线段与线段的关系是__________． 【答案】(1)点H，垂线段最短 (2)①见解析；②平行且相等 【分析】（1）过点P作于点H，根据垂线段相等，得到点H即为开挖点； （2）①找到点A、C平移后的对称点，顺次连接，即可得到； ②根据平移的性质即可得到线段与线段的关系． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短， 故答案为：点H，垂线段最短 （2）①如图所示，即为所求， ②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 【点睛】此题考查了垂线段最短、平移的作图与性质等知识，熟练掌握平移的作图和性质是解题的关键． 2．[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可． 【详解】解：如图所示：    （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为； （2）分别在和上截取河的宽度； （3）连接，分别交和于点和； （4）过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和； （5）连接和．则桥建在和处才能使两村之间的路程最短． 【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解． 3．按要求画图． (1)①如图①由点A到河边l的最短路线的依据是________________． ②如果从点A经过点B再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线． (2)如图②，内有一点P．过点P作交于点C，交于点D． 【答案】(1)①垂线段最短    ②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据“点到直线的距离，垂线段最短”即可得到答案；②先连接，再过点B作直线l的垂线段，即为所求； （2）利用平移的作法作出两条已知射线的平行线即可． 【详解】（1）解：①由点A到河边l的最短路线的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； ②如图，即为所求作： （2）解：如图，、即为所求作： 类型五、平行的折线模型 【解惑】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【融会贯通】 1．应用意识： 小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板的两边与是否平行时，将某测量工具（）按如下图所示的方式放置，交于点交于点，测得．小明马上用所学的数学知识帮师傅进行了说明，请你帮小明写出规范的说明过程． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，过在左边作，即可得到，再由可得，得到，根据同旁内角互补，两直线平行可得判定，即可得到． 【详解】解：如图，过在左边作． 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 2．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键． 对于（1），先由材料中的结论得，再根据平行线的定义得，然后根据平行线的性质得，最后代入整理可得结论； 对于（2），作，可得，由上述可得，及，再根据平行线的性质得，即可得，进而得出，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图3，过点作， ∵， ∴， 由结论可得， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 类型六、平行线中的角平分线 【解惑】问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)①② (3) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）当点P在的左侧时，过点P作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解；当点P在的右侧时，同理可求解； （2）①由（1）知，，即可求解；② ，分别平分和，设：，，即可求解； （3）同理可得，，可得，即可求解； 掌握查了平行线的判定及性质，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当点P在的左侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 当点P在的右侧时， 如图，过点P作， ， ， ， ， ； 故答案为：， ； （2）解：①由（1）知， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， 故答案为； ②如图3，，分别平分和， 设：， ， 则 ， ， 即：； （3）解：同理可得， ， ， 故：． 【融会贯通】 1．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以角的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差倍分的计算是解决本题的关键． （1）首先推导出，进而得到．由平分，得到； （2）①由平分，得．由平分，得，进而求得； ②分两种情况讨论：当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 又平分， ； （2）解：①由（1）知：， ， 又平分， ， 平分， ， ； ②当点位于点左侧时，如图2． 由①得：， ， 当点位于点右侧时，如图3， 由题意可得，， 又平分，平分， ，， ， 综上，为或． 2．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点作，则，由平行线的性质得到，， 设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解；如图，过点作， ∵， ， ，， 设，， 、分别平分、， ，， 又， ， 又，， ∴ ， ， ， ． 3．已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行的性质得到，即可证明结论； （2）根据，分别平分，，得到即可证明． （3）分别过点P，Q作，根据平行的性质得到，角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）说明：过点P作， ， ， ， ， ， ， ；    （2）解： 说明：由（1）知，， ，分别平分，， ，， ， 即； （3）解：成立 说明：分别过点P，Q作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又与的角平分线相交于点Q， ，， ， 即．    类型七、平行线中的数量关系 【解惑】综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）过点P作，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （3）过点E作，根据平行线公理得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出，最后得出结果即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ， ． ∵， ， ， ． （2）． 理由：如图2，过点P作， ∵， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3，过点E作， ∵， ， ， 的平分线和的平分线交于点E． ， 由（2）得， ， ， ． 【融会贯通】 1．（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键 （1）通过平行线性质可得，再代入，，可求即可； （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作， ， ， ， ∵，， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； 过点作 ∴， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； 过点作， ， ， ， ； 综上所述：或． 2．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析； ． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 3．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 类型八、平行线中的光线问题 【解惑】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 (3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是对性质定理和判定定理的熟练掌握和灵活运用． （1）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （2）先由，求出，再根据，得出； （3）根据平行线的性质得出，根据平角定义求出，由，，得出，根据三角形内角和定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ， 即：， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：96； （3）解： 理由：∵， ， ， ，， ， ． 【融会贯通】 1．如图1，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为， 则一定有．光线是由镜反射得到．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2， 镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线于点Q， 若，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， 证明见解析 (2)， 证明见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定的实际应用，读懂题意找出图中的相等的角是解决此题的关键． （1）求出，根据，推出，根据平行线的判定推出即可． （2）由平行线的性质得，结合可求出． 【详解】（1）， 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）， 证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴． 2．【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． (1)【初步应用】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当，（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 (2)【拓展探究】 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________； 【答案】(1)①；②详见解析 (2) 【分析】（1）①由可求，再根据已知的平行条件可得，从而求解； ②由的度数求出，再根据，，可求出，根据平行线的判定和性质可得； （2）过点作，根据平行公理推论证明，根据平行线的性质，找出角与角之间的关系，求出，，进而可得，在由三角形内角和为，求出． 【详解】（1）解：（①∵， ∴． 又∵， ∴． ②由题意知，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过点作，．    ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理可得， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的关系． 3．【知识链接】 ①三角形三个角的和是． ②如图，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则． 【课本问题】 （1）如图，一束平行光线，照射一个平面镜后被反射，写出反射光线与平行的理由； 【问题改编】 （2）如图，，是两个镜面平行的平面镜，光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与平行吗？为什么？ （3）如图，，是两个镜面垂直的平面镜，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与是否平行？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）平行；见解析；（3）平行；见解析； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质可得，根据已知可得，，则，即可得证； （2）根据平行线的性质以及得出-，-，根据平行线的性质可得，则，即可得证； （3）同（2）得-，-，根据 ，得出 ，即可得证． 【详解】解：（1）如图， ， ． ，， ． ． （2）平行 如图， ， ， -． 同理-． ， ． ． ． （3）平行． 如图， ， -． 同理-． ， ． ， ． -- - - ． ． 类型九、平行线中的比值 【解惑】如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°． （1）求证：ABCD； （2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探决∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由； （3）若点H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）（3）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明； （2）作EP∥AB，FQ∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解． 【详解】证明：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB， 又∵∠EBD＋∠EDB＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°， ∴AB∥CD； （2）作EP∥AB，FQ∥AB，如图3， 又∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ， ∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°， ∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF ∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED， ∴＝ （3）∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠EBD， ∵BI平分∠HBD， ∴∠HBD＝2∠IBD， 如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD， ∠EBI＝∠EBD−∠IBD， ∴∠ABH＝2∠EBI， ∵AB∥CD， ∴∠BHD＝∠ABH， ∴∠BHD＝2∠EBI， 如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD， ∠EBI＝∠EBD＋∠IBD， ∴∠ABH＝2∠EBI， ∵AB∥CD， ∴∠BHD＝180°−∠ABH， ∴∠BHD＝180°−2∠EBI， 综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论并理清图中各角度之间的关系． 【融会贯通】 1．如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ； ②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ； （2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）； （3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN的度数． 【答案】（1）130°，CBN；（2）90°-0.5x°；（3）不变，1：2；（4）90° 【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出； （2）由角平分线的定义可以证明∠CBD=∠ABN，即可求出结果； （3）不变，∠APB:∠ADB=2:1，证∠APB=∠PBN，∠PBN=2∠DBN，即可推出结论； （4）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN，可得∠ABC=∠DBN，再由角平分线的定义、平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵AM∥BN，∠A=50°， ∴∠ABN=180°-∠A=130°， 故答案为：130°； ②∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN， 故答案为：CBN； （2）∵AM∥BN， ∴∠ABN＋∠A=180°， ∴∠ABN=180°-x°， ∴∠ABP＋∠PBN=180°-x°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°， ∴∠CBD=∠CBP＋∠DBP=； （3）不变，∠APB:∠ADB=2:1， ∵AM∥BN， ∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN=2∠DBN， ∴∠APB:∠ADB=2:1； （4）∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN， 当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC＋∠CBD=∠CBD＋∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP， ∴2∠DBN=∠ABN， ∵∠A+∠ABN=180°， ∴2∠DBN+∠A=（∠A+∠ABN）=90°． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF． （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）判断线段AB与OC 的位置关系是什么？并说明理由； （3）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值． 【答案】（1）与相等的角是；（2），证明详见解析；（3）与的度数比不随着位置的变化而变化， 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得、，再根据邻补角的定义求出即可得解； （2）根据两直线的同旁内角互补，两直线平行，即可证明； （3）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到比值不变． 【详解】（1） ∴ 又 与相等的角是； （2） 理由是： 即 （3）与的度数比不随着位置的变化而变化 平分， 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质以及判定定理是解题的关键． 3．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点. （1） ； ； （2）当点运动到某处时，，求此时的度数. （3）当点运动时，：的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； 【答案】(1)100°，50°；（2）25°；（3）∠APB：∠ADB=2：1. 【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得100°；再根据角平分线的定义可得2∠CBP+2∠DBP=100°，即可得50°. （2）由平行可得∠ACB=∠CBN，结合已知可得∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；即==25°. （3）可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN． 【详解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=80°， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=100°； ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP=100°， ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°； 故答案为100°，50°； （2）∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN， 又∵∠ACB=∠ABD， ∴∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN， ∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN， ∴∠ABC=∠ABN==25°， （3）不变．理由如下： ∵AM∥BN， ∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， 又∵BD平分∠PBN， ∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB， 即∠APB：∠ADB=2：1． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 类型十、平行线中的定值 【解惑】我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （2）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （3）分别过A，B，E作，则，根据平行线的性质可得，结合为定值可得m，n互为相反数，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图2：分别过A，B两点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为；    （2）解：如图2，分别过A，B两点作AC∥a，BD∥a， ∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为； （3）解：如图3，分别过A，B，E作，    ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为定值，即为定值， ∴m，n互为相反数， ∴， 故答案为． 【融会贯通】 1．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 2．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 3．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)定值为；理由见详解； (3)； 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【详解】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：定值为：，理由如下： 过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． 【一览众山小】 1．小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 【详解】解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 2．生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，首先利用平行线的性质定理得到，然后利用同旁内角互补两直线平行得到的度数即可，熟练掌握平行线的性质与判定方法的区别与联系是解决此题的关键． 【详解】解：且， ， ， ， ， 故选：B． 3．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 5．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了方向角，平行线的判定和性质，过点作，可得，即得，，再根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：．    6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知，、分别平分、，且，求证 证明：（ ） 、分别平分、（ ） ，（ ） （ ） ∵， ∴， （ ） ，（ ） （ ） 【答案】已知；已知；角平分线的定义；角平分线的定义；两直线平行，错角相等，；两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，等角的补角相等．根据以上知识写出证明的理由，即可求解． 【详解】证明：（已知） 、分别平分、（已知） ，（角平分线的定义） （等量代换） ∵， ∴， （两直线平行，内错角相等） ，（两直线平行，同旁内角互补） （等角的补角相等） 8．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 9．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 10．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、平移的性质求阴影 【解惑】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【融会贯通】 1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把直角三角形沿所在直线平移到三角形的位置，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．    3．如图，的边长，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 类型二、三角板旋转平行 【解惑】如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的值为（    ） A．65° B．75° C．85° D．80° 【融会贯通】 1．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，那么（    ）度． A．30 B．45 C．60 D．75 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为 ． 3．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在上，，．小明将从图中位置开始，绕点A按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行． 类型三、平行的性质与判定证明依据 【解惑】在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线，，． (1)求的度数； 解：（已知），且（________）， （________） （已知）， （________）． ________（等量代换）． (2)求证：直线． 证明：（________）， ________（________）． 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【融会贯通】 1．如图，已知，，于点D，于点，试说明．请补全说理过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵，， ， ① ，（② ）， （③ ）， 又，（已知）， （④ ）， （⑤ ）， （等量代换）． 2．把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，，，． （1）试说明； （2）推导证明与的位置关系． 解：（1）∵（已知） ________（________） 又（已知） ________（________） （________） （2）∵（已知） ∴________（________） 又∵（已知） ∴________________（等量代换） ∴________ 3．如图，已知，，垂足分别为、，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）． 解：∵，（________）， ∴（________） ∴（________） ∴________（________） 又∵（________）， ∴（________） ∴________（________） ∴（________） 类型四、作图(最短) 【解惑】如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【融会贯通】 1．作图题 (1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．     答：在__________开始挖掘     理由：____________________． (2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． ①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的； ②线段与线段的关系是__________． 2．[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）    3．按要求画图． (1)①如图①由点A到河边l的最短路线的依据是________________． ②如果从点A经过点B再到河边l，要使路程最短，在图中画出行走路线． (2)如图②，内有一点P．过点P作交于点C，交于点D． 类型五、平行的折线模型 【解惑】（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【融会贯通】 1．应用意识： 小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板的两边与是否平行时，将某测量工具（）按如下图所示的方式放置，交于点交于点，测得．小明马上用所学的数学知识帮师傅进行了说明，请你帮小明写出规范的说明过程． 2．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 3．生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 类型六、平行线中的角平分线 【解惑】问题情境：如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点P，满足．求，，满足的数量关系． 思路点拨：由于点P是平行线，之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论，过点P作的平行线，通过平行线的性质推出，，的数量关系． (1)问题解决：如图1，当点P在的左侧时，写出，，满足的数量关系_____；如图2，当点P在的右侧时，写出，，满足的数量关系______． (2)问题迁移：如图3，、分别平分和，且点P在左侧． ①若，则的度数为_______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，直接写出与满足的数量关系． 【融会贯通】 1．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 2．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 3．已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 类型七、平行线中的数量关系 【解惑】综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 【融会贯通】 1．（1）如图1，，，，求的度数； （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，请写出与x，y之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出与x，y之间的数量关系． 2．已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． (1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． (2)类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 3．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 类型八、平行线中的光线问题 【解惑】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 (3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图1，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为， 则一定有．光线是由镜反射得到．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2， 镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线于点Q， 若，猜想与的数量关系，并说明理由． 2．【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． (1)【初步应用】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当，（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 (2)【拓展探究】 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________； 3．【知识链接】 ①三角形三个角的和是． ②如图，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则． 【课本问题】 （1）如图，一束平行光线，照射一个平面镜后被反射，写出反射光线与平行的理由； 【问题改编】 （2）如图，，是两个镜面平行的平面镜，光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与平行吗？为什么？ （3）如图，，是两个镜面垂直的平面镜，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与是否平行？为什么？ 类型九、平行线中的比值 【解惑】如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°． （1）求证：ABCD； （2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探决∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由； （3）若点H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系． 【融会贯通】 1．如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ； ②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ； （2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）； （3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN的度数． 2．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF． （1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由； （2）判断线段AB与OC 的位置关系是什么？并说明理由； （3）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值． 3．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点. （1） ； ； （2）当点运动到某处时，，求此时的度数. （3）当点运动时，：的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； 类型十、平行线中的定值 【解惑】我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【融会贯通】 1．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 2．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 3．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【一览众山小】 1．小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 2．生活情境·路线图如图所示是一条街道的路线图，若，且，那么当等于（   ）时，． A． B． C． D． 3．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 5．如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 7．如图，已知，、分别平分、，且，求证 证明：（ ） 、分别平分、（ ） ，（ ） （ ） ∵， ∴， （ ） ，（ ） （ ） 8．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 9．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 10．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．    (1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$