第1章 平行线（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、生活中的平移 【解惑】下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．进而可以解决问题． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有B选项符合要求， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 2．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案． 【详解】解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：， 故． 故答案为：． 3．如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平移重合图形的识别，正确理解平移重合图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，只有平行四边形是平移重合图形， 故答案为：②． 类型二、平面中的两种位置关系 【解惑】下列说法中，正确的是（     ） A．相交的两条直线叫做垂直 B．经过一点可以画两条直线 C．平角是一条直线 D．两条直线相交，只有一个交点 【答案】D 【分析】此题考查垂直、直线、平角、相交等知识，根据相关知识逐项进行判断即可. 【详解】解：A. 相交的两条直线，有一个夹角是时，叫做两条直线互相垂直；故选项错误，不符合题意； B. 经过一点可以画无数条直线，故选项错误，不符合题意； C. 平角不是一条直线，故选项错误，不符合题意； D. 两条直线相交，只有一个交点，选项正确，符合题意. 故选：D 【融会贯通】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答． 【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系， 故选：B． 2．平面上两条直线的位置关系是 或 ． 【答案】 相交 平行 【详解】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．本题主要考查平面内两直线的位置关系，注意垂直是两直线相交的特例． 【分析】 解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行． 故答案为：相交、平行． 3．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故答案为：平行或相交． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键, 在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角． 根据同位角的定义逐一判断，解决此题． 【详解】解：A．由图可知：，是同位角，A故不合题意； B．由图可知：，是同位角，故B不合题意； C．由图可知：，是同位角，故C不合题意； D．由图可知：，不是同位角，故D符合题意． 故本题选：D． 【融会贯通】 1．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 2．如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 【答案】16 【分析】此题考查了同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．根据同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，注意每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手即可求得答案． 【详解】解：直线，被所截有2对同旁内角； 直线，被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角． ∴共有16对同旁内角． 故答案为：16． 3．如图，若，则的同位角= ，的内错角= ，的同旁内角= ． 【答案】 /78度 /78度 /102度 【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的定义结合邻补角与对顶角的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴的同位角，的内错角，的同旁内角； 故答案为：，， 【点睛】本题考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角，同时考查了邻补角与对顶角． 类型四、平行公理 【解惑】数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理，根据平行线公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这说明了如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故选A． 【融会贯通】 1．已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意； 故选： B． 2．如果直线，直线，那么直线a和直线c的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵直线，直线， ∴， ∴直线a和直线c的位置关系是平行， 故答案为：平行． 3．如图，，则点B，P，A在同一条直线上的理由是 ． 【答案】经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】略 类型五、平移的性质 【解惑】如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可知：平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），只改变了图形的位置，平移前后两个图形对应边平行且相等、对应角相等，所以平移前后两个图形的面积也相等． 【详解】解：把向右平移得到， A、根据平移前后两个图形对应边平行且相等，可知：，故A选项不符合题意； B、平移前后两个图形对应边平行且相等，可知：，故B选项不符合题意； C、根据平移前后两个图形对应角相等，可知：，故C选项不符合题意； D、平移前后两个图形对应边平行且相等、对应角相等，所以平移前后两个图形的面积也相等，可知：，故D选项符合题意． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 2．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 /30度 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答即可． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ∵，，， ∴，，， 故答案为：、、；；；． 3．如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故①、⑤正确； 根据题意得不到， 故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， 故③正确； ∵不一定等于， 故证明不出， 则不一定等于， 故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 类型六、平行线之间的距离 【解惑】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 【融会贯通】 1．平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 故选：B． 2．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线之间，和直线在直线的外侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当直线在直线之间时，直线与的距离是； 当直线在直线的外侧时，直线与的距离是； 故答案为：或． 3．如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于三点，若，，则平行线b、c之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是4． 故答案为：4． 类型七、平行线的性质与判定——同位角相等 【解惑】如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由． 【答案】垂直，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂直的定义得出，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，，平分，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等是解答此题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，故可得出结论． 【详解】证明：， ，， 平分， ， ． 2．如图，已知于点D，点E在上，于点F，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂线定义，平行线的性质，余角的性质，先根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，根据余角的性质证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． (1)若，求； (2)求证：平分； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的判定和性质、垂线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，只要求出即可解决问题． （2）利用等角的余角相等证明即可． （3）设，则，根据平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， 又， ， ， ，即平分； （3）解：设，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 类型八、平行线的性质与判定——内错角相等 【解惑】如图，直线，直线，，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，根据可求出的度数，根据可求出的度数． 【详解】解：，， ． ， ， ． 【融会贯通】 1．如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再证明即可得出结论． 【详解】解：． 理由为：因为分别平分和， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 2．如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，证明可得，由得，根据等量代换可得结论． 【详解】证明：， ， ． ， ， ． 3．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找与的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得，则；根据平行线的性质，可得，结合已知条件，得，根据平行线的判定，得，从而求得结论． 【详解】解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型九、平行线的性质与判定——同旁内角互补 【解惑】如图，已知在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定． （1）根据，推出，即可解答； （2）根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，最后根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，E是上一点，交于点F，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）由推出，得到，进而推出； （2）根据角平分线的性质得到，及，求出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 3．问题情境：已知，，平分交于点． 探究（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，，，当时，求的度数； 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定 （1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论； 【详解】解：（1）． 理由如下：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 类型十、平移作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到， （2）连结，由图可得平行且相等． 【详解】（1）解：由题可得： 就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结，如下图所示： 由图可得：线段和线段为平行且相等． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)互补 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 2．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 3．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−−平移变换，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据网格特征和垂线段的定义画图即可； （2）利用平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 【一览众山小】 1．生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 2．下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误； ②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题正确； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 综上分析可知：正确的有1个． 故选：A． 3．如图，有下列条件：，其中能判定的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，故正确； ②，，故错误； ③，，故正确； ④，，故正确． 综上所述：正确的有①③④．共3个． 故选：C． 4．如图，，则等于 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先得出，则，故，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点作， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 5．如图，已知，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先证明，再根据两直线平行同旁内角互补可得的度数． 【详解】设的对顶角分别为 ， ， ． 故答案为： 6．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 【答案】60 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， 故答案为：60． 7．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 8．如图，已知，，且，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由可得，，再由得到，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ，， 又， ， ，且， ， ． 9．如图，直线与直线相交于点． (1)按要求完成画图． 过点画，交于点； 过点画，垂足为； (2)在（）所画的图形中，按要求完成下列问题． 点到直线的距离是线段_________的长； 写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 图见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（）按照作平行线的方法作图即可； 按照作垂线的方法作图即可； （）由题意即可直接得出答案； 根据平行线的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求作； （2）解：由题意可知，点到直线的距离是线段的长， 故答案为：； ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，平行线性质的应用等知识点，熟练掌握基本的作图方法和技巧是解题的关键． 10．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、生活中的平移 【解惑】下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 3．如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 类型二、平面中的两种位置关系 【解惑】下列说法中，正确的是（     ） A．相交的两条直线叫做垂直 B．经过一点可以画两条直线 C．平角是一条直线 D．两条直线相交，只有一个交点 【融会贯通】 1．在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行 2．平面上两条直线的位置关系是 或 ． 3．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 3．如图，若，则的同位角= ，的内错角= ，的同旁内角= ． 类型四、平行公理 【解惑】数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【融会贯通】 1．已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 2．如果直线，直线，那么直线a和直线c的位置关系是 ． 3．如图，，则点B，P，A在同一条直线上的理由是 ． 类型五、平移的性质 【解惑】如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 2．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 3．如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 类型六、平行线之间的距离 【解惑】已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【融会贯通】 1．平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 2．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 3．如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于三点，若，，则平行线b、c之间的距离为 ． 类型七、平行线的性质与判定——同位角相等 【解惑】如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由． 【融会贯通】 1．如图，，平分，求证． 2．如图，已知于点D，点E在上，于点F，，试说明：． 3．如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． (1)若，求； (2)求证：平分； (3)当时，求的度数． 类型八、平行线的性质与判定——内错角相等 【解惑】如图，直线，直线，，求，的度数． 【融会贯通】 1．如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 2．如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 3．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 类型九、平行线的性质与判定——同旁内角互补 【解惑】如图，已知在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．判断与是否平行，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知，，试说明的理由． 2．如图，，E是上一点，交于点F，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 3．问题情境：已知，，平分交于点． 探究（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，，，当时，求的度数； 类型十、平移作图 【解惑】如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出； (2)连结，则线段和线段有什么关系？ 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 2．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 3．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【一览众山小】 1．生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 2．下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，有下列条件：，其中能判定的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，，则等于 ． 5．如图，已知，则等于 ． 6．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 7．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 8．如图，已知，，且，试求的度数． 9．如图，直线与直线相交于点． (1)按要求完成画图． 过点画，交于点； 过点画，垂足为； (2)在（）所画的图形中，按要求完成下列问题． 点到直线的距离是线段_________的长； 写出与的数量关系，并说明理由． 10．用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$