1.5 平行线的性质 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

1.5 平行线的性质 平行线的性质： 性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。即两直线平行，同位角相等。 性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。即两直线平行，内错角相等。 性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。即两直线平行，同旁内角互补。 巩固课内例1:两直线平行，同位角相等 1．如图，直线，交于，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．如图，，直线l分别与，相交，若，则度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据“两直线平行，同位角相等”，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：130 3．如图，已知直线，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， ． 巩固课内例2:平行线的性质与判定——同位角相等 1．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：∵，， ， ． 故选：A． 2．如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【答案】或度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，即可． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可知，结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义和平角的概念，熟知两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 巩固课内例3:两直线平行，内错角相等 1．如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据图示可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 2．如下图，直线a，b被直线c所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等，两条交叉直线的对顶角相等，先根据图形得到对顶角相等，再根据两直线平行内错角相等，可得到结果，掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：由图可得的对顶角和的对顶角互为内错角， ∵， ∴的对顶角和的对顶角互为内错角，并且相等， ∵对顶角相等， 则， 故答案为：． 3．已知：如图，点、分别在、上，，，，请说明：．（不必注明依据） 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键． 巩固课内例4:两直线平行，同旁内角互补 1．如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．如图，，那么的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质并熟练运用，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，．求和的度数．    【答案】，． 【分析】根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等，同旁内角互补”求出和的度数即可． 【详解】解：，，， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 类型一、平行的性质——同位角相等 1．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行的性质，余角的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质求出的补角，即可求出，即可求出答案． 【详解】解：设的邻补角为， ，， ， ， 故的余角为． 故选A． 2．如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【答案】130 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，先根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：130． 3．如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可证得，于是可得，进而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 类型二、平行的性质——内错角相等 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 3．如图，点、、分别是的边、、上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质可得，进而可得，然后由平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型三、平行的性质——同旁内角互补 1．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂线的定义得到，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．根据平行线的性质可求，再根据角平分线的定义求得，再根据平行线的性质可求． 【详解】解：， ，， 是的平分线， ， ． 故答案为：． 3．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及“两直线平行，同旁内角互补”即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型四、平行线之间的距离 1．能表示两条平行线间距离的线段有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查平行线间距离的定义，正确理解该定义是解题的关键．根据平行线间的距离定义，即可选择． 【详解】解：因为平行线是两条向两边无限延伸的直线， 又因为两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离， 所以表示这两条平行线间距离的线段有无数条． 故选D． 2．如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 3．如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)大于0小于等于5 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到； （2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离， 即设三角形的边上的高为， 由三角形的面积计算公式可得： ，即， 解得：， 与之间的距离为2.4； （3）解：过点作于，连接，   ， 当与重合时，， 当无限接近时，无限接近0， ， 点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 类型一、平行的性质与对顶角相等结合 1．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 首先根据邻补角的性质可得的度数，然后根据平行线的性质可得的度数， 【详解】如图所示， ∵ ∴． 故选：B． 2．小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）利用两直线平行同位角相等，求出的同位角即可； （2）综合利用两直线平行，同位角和内错角相等，用表示出，通过等量代换即求出． 【详解】（1）如图， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图（2），过点作，则， ． 由（1）知， ， 即 ． 即． 故答案为：． 3．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 类型二、平行的性质与余、补角结合 1．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，掌握两直线平移，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．由平行线可得，再结合三角板的性质，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．如图，，平分．若，则的度数为 °． 【答案】110 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据同旁内角互补，得出，进而得到，，再结合角平分线的恶性一定义，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，， 平分， ， ， 故答案为：110． 3．如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． （1）结合平行线判定和性质和角的关系求得，，从而求解； （2）根据平行线的性质和判定进行推理论证． 【详解】（1）解：， ， ． ， ，即． （2）证明：由（1），可知， ． 又， ， 类型一、折线模型 1．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，，分别交、于点、，平分，平分，平分，下列四个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定和性质判断即可求解； 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ； ； 平分，平分， ， ， ； 根据题中条件无法判断，故③错误； 综上所述；四个结论中正确的有①②④； 故答案为：①②④ 3．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 类型二、平行线中的数量关系 1．如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系． 过点作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作，如图：    因为 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，已知，E是平行线间一点，与的平分线交于点与的平分线交于点，则与的数量关系是 ． 【答案】（或） 【分析】过E点作直线，根据平行线的性质可得，则可得．同理过F点作直线，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，同理可得，即可得解． 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过E点作直线， ， ， ，， ． 同理，过F点作直线， 则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即． 同理，过P点作直线 则， ∵平分，平分， ， （或）． 故答案为：（或）． 3．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 类型三、平行线中的角平分线 1．如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 【详解】解：如图：令与的交点为， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得， 故答案为：． 3．如图，直线与直线分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，在（）的条件下，与的角平分线交于点，延长交于点，点是上一点，且，求证：． (3)如图，在（）的条件下，连接，是上一点，且，若，请直接写出的度数（不需要写过程）． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据对顶角相等，同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据与的角平分线交于点，可得，进而证明； （）根据平角定义及角的和差计算即可得到结论； 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴； （2）由（）知， ∴， 又∵ 与的角平分线交于点， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 类型四、平行线中的旋转平行求t 1．“一带一路”让中国和世界更紧密，为了安全起见，在某段“中欧铁路”的两旁安装了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度，铁路两旁是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动_____秒时，两灯的光束互相平行．（    ）    A．20 B．10或85 C．10或95 D．20或95 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的 应用，解题的关键是分类讨论思想的运用；设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，，，，再根据平行线的性质建立方程并求解即可； 【详解】解：设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行， 当时，灯A射线转动至，灯B射线转动至，则，，如图一，   ， ， ， ， ，． ， 解得：； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至，则，，如图二，   ， ， ， ， ，． ， ， ， ； 当时，灯A射线转动至立即回转并转至，灯B射线转动至，则，，如图三，   ， ， ， ， ，． ， ，不符合题意， 综上所述，灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行， 故选：B； 2．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 【答案】12或48或84 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论： ①，在直线l上方，得； ②在直线l下方，直线l上方，得； ③，都在直线l下方，得； ④，在直线l上方和下方，得，分别解方程即可． 【详解】解：分情况讨论： ①当，在直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ②当在直线l下方，直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ③当，都在直线l下方时，如图： 当时，则， ， ； ④当在直线l上方，直线l下方时，如图： 当时，则， ， （舍去）， 为12或48或84， 故答案为：12或48或84． 3．如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，． (1) °； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 【答案】(1)30 (2)①或；②秒或秒或秒 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，根据即可求解； （2）分情况讨论：当在和之间时，当在和之间时，根据平行线的性质求解即可；分情况讨论，根据根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）过点P作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）①当在和之间时，如图2， ∵， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②I．当由运动如图4时， 根据题意可知，经过t秒， 则，即， 解得（秒）； Ⅱ．当垂直时，立刻按原速返回到时，与相交于点H， 根据题意可知，经过t秒， 则，即， 解得； Ⅲ．当由运动如图时，， 根据题意可知，经过t秒， 则，即， 解得（秒）， ∴当t的值为秒或秒或秒时，． 1．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．根据题意可得，由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B ． 2．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行得到，进而求出的度数，求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【详解】解：，都与地面l平行， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握各个性质是关键． 根据已知条件及角平分线性质、平行线的判定及性质逐项判断即可． 【详解】， ，故①正确； 平分，， ． 又， ∴， ，故②正确； ， ，故④正确； 、分别平分、，， ， ∴，即，故③正确； 无法证明，故无法证明，故⑤错误 故正确的个数为4个． 故选C． 4．如图，且被直线所截，，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】此题考查了对顶角以及平行线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据对顶角以及平行线的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：， 5．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 如图所示，作，可得，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴路政工程车的工作示意图中的度数为， 故答案为： ． 6．[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【答案】/23度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质证明，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 结合已知条件，根据同位角相等两直线平行，可证得，再根据两直线平行内错角相等可得，结合已知条件，可得，再根据同位角相等两直线平行即可得出结论． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， 又， ， ， 答：与平行． 8．如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由两直线平行，同位角相等得到，进而可得，则可证明，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 9．将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）A；（4）；（5）45或75或165 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案为：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． 10．如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识． （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义即可解答； （2）过点G作，则，根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）过点G作，过点P作，则，由平行线的性质推出，，得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点G作，则， ∴，， ∴； （3）如图，过点G作，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 平行线的性质 平行线的性质： 性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。即两直线平行，同位角相等。 性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。即两直线平行，内错角相等。 性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。即两直线平行，同旁内角互补。 巩固课内例1:两直线平行，同位角相等 1．如图，直线，交于，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，直线l分别与，相交，若，则度数为 ． 3．如图，已知直线，． 求证：． 巩固课内例2:平行线的性质与判定——同位角相等 1．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 3．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数． 巩固课内例3:两直线平行，内错角相等 1．如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如下图，直线a，b被直线c所截，若，，则 ． 3．已知：如图，点、分别在、上，，，，请说明：．（不必注明依据） 巩固课内例4:两直线平行，同旁内角互补 1．如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，那么的度数为 ． 3．如图，，，．求和的度数．    类型一、平行的性质——同位角相等 1．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 3．如图，，平分，与相交于，．求证：． 类型二、平行的性质——内错角相等 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 3．如图，点、、分别是的边、、上的点，且，．求证：． 类型三、平行的性质——同旁内角互补 1．如图，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ． 3．已知：如图，．求证：． 类型四、平行线之间的距离 1．能表示两条平行线间距离的线段有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 3．如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 类型一、平行的性质与对顶角相等结合 1．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 3．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 类型二、平行的性质与余、补角结合 1．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，平分．若，则的度数为 °． 3．如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 类型一、折线模型 1．如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，分别交、于点、，平分，平分，平分，下列四个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④ 3．如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 类型二、平行线中的数量关系 1．如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知，E是平行线间一点，与的平分线交于点与的平分线交于点，则与的数量关系是 ． 3．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 类型三、平行线中的角平分线 1．如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 3．如图，直线与直线分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，在（）的条件下，与的角平分线交于点，延长交于点，点是上一点，且，求证：． (3)如图，在（）的条件下，连接，是上一点，且，若，请直接写出的度数（不需要写过程）． 类型四、平行线中的旋转平行求t 1．“一带一路”让中国和世界更紧密，为了安全起见，在某段“中欧铁路”的两旁安装了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度，铁路两旁是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动_____秒时，两灯的光束互相平行．（    ）    A．20 B．10或85 C．10或95 D．20或95 2．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 3．如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，． (1) °； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，求t的值． 1．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，且被直线所截，，则的度数是 ． 5．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 6．[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 7．如图，已知，，则与平行吗？请说明理由． 8．如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 9．将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 10．如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$