1.1 直线的相交 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

1.1 直线的相交 一、相交线的性质 1.对顶角：两条直线相交，形成对顶角。对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线，对顶角相等。 2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角是互补角（和为180度）的一种特殊情况。 二、垂直的概念及表示方法 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直。垂直通常用符号“⊥”表示，例如直线a与直线b垂直，记作a⊥b。 三、垂线的画法与性质 1.垂线的画法：可以用三角尺或量角器画垂线。具体步骤为：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合，然后沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 2.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 巩固课内例1:图中的对顶角 1．如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 2．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 3．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 巩固课内例2:对顶角相等 1．如图，直线相交于O，若，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点平分，则 ． 3．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 巩固课内例3:垂直的性质 1．如图，直线，相交于点O，射线平分，垂足为O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线和交于点，，，则 ． 3．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 类型一、对顶角的定义 1．如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 3．如图，直线，相交于点，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______． (2)若，且平分，求的度数． 类型二、邻补角的定义 1．如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 2．如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    3．如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 (1)的邻补角是 ；的对顶角是 ； (2)求的度数． 类型三、垂线的定义 1．如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，O为直线上一点，，分别平分和，则和的位置关系是 ． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 类型一、对顶角相等求解 1．如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点，，平分，若，则 ． 3．如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 类型二、邻补角互补求解 1．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，O是直线上一点，，则 °． 3．如图，直线相交于点O，平分，平分，若，求的度数． 类型三、垂线段最短 1．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 3．如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 类型四、点到直线的距离 1．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    3．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 类型一、相交线的规律 1．三条直线相交，交点最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 3．观察下列图形，并阅读相关文字． 2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交； 有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角； 通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）． 类型二、画垂线 1．用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   2．如图，AB⊥m，BC⊥m，B为垂足，那么A、B、C在同一直线上的依据是 . 3．如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 1．点为直线外一点，点、、为直线上三点，，则点到直线的距离为（   ） A．cm B．cm C．小于cm D．不大于cm 2．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 5．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 6．如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 7．如图，，垂足分别是点C，D． (1)点C到直线的距离是线段___________的长度； (2)点B到直线的距离是线段___________的长度． 8．如图，直线交于点O，，垂足为O，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 9．已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 10．已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的相交 一、相交线的性质 1.对顶角：两条直线相交，形成对顶角。对顶角的顶点相同，角的两边互为反向延长线，对顶角相等。 2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角是互补角（和为180度）的一种特殊情况。 二、垂直的概念及表示方法 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直。垂直通常用符号“⊥”表示，例如直线a与直线b垂直，记作a⊥b。 三、垂线的画法与性质 1.垂线的画法：可以用三角尺或量角器画垂线。具体步骤为：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合，然后沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 2.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 巩固课内例1:图中的对顶角 1．如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，找出交点的个数与对顶角组数的数量关系是解决此类问题的关键．两条直线相交有一个交点，在交点处有两对对顶角；三条直线交于一点对顶角有六对，根据交点与对顶角的数量关系求解即可． 【详解】解：图中的对顶角有（对）， 故选D 2．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【答案】 2 6 【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对对顶角；依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】解：如图1，图中共有对对顶角； 如图2，图中共有对对顶角； 研究图1图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得： 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：2，6，． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 3．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 巩固课内例2:对顶角相等 1．如图，直线相交于O，若，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意可求得，根据角平分线的定义可得，即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 3．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 巩固课内例3:垂直的性质 1．如图，直线，相交于点O，射线平分，垂足为O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据射线平分，得到，结合余角计算即可． 本题考查了角的平分线，垂直的意义，余角的计算，熟练掌握定义，余角的计算是解题的关键． 【详解】解：∵射线平分， ∴，， ∴， ∴故选：C． 2．如图，直线和交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的性质，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．根据垂直的定义，得出，再根据平角即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、对顶角、垂直的定义等知识点，掌握角平分线的定义及对顶角相等的性质是解题的关键． 根据垂直的定义得出，对顶角的性质可得的度数，再利用角的和差即可求得；再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴，． 类型一、对顶角的定义 1．如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，逐一判断即可． 【详解】解：根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， ①和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； ②和两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不是对顶角； ③和两边互为反向延长线，有一个公共顶点，是对顶角； ④和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； 所以不是对顶角是①②④，共3个． 故选：C． 2．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 3．如图，直线，相交于点，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______． (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义以及角的相关计算． （1）根据对顶角，邻补角的定义即可得到答案． （2）由对顶角相等得出，由角平分线的定义可得出，再根据邻补角的定义即可求出． 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：； （2）， ． 平分， ， ． 类型二、邻补角的定义 1．如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，先由垂线的定义得到，则由角平分线的定义可得，即可判断A；根据对顶角相等即可判断B；有公共顶点和一条公共边，且两个角的另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 由图可知，与互为邻补角，与不互为邻补角，故C中结论正确，不符合题意，D中结论错误，符合题意； 故选：D． 2．如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【答案】 【分析】本题考查的是图形规律探索，结合已知条件及图形总结规律即可． 【详解】解：由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． 3．如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 (1)的邻补角是 ；的对顶角是 ； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． （1）根据邻补角和对顶角的定义即可得出结果； （2）根据，，可以得出，再由平分，得出，进而求出． 【详解】（1）解：， 的邻补角是， 直线和相交于点O， 的对顶角是． 故答案为：；． （2）解：，， ， 平分， ， ． 类型三、垂线的定义 1．如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，O为直线上一点，，分别平分和，则和的位置关系是 ． 【答案】/垂直 【分析】此题考查角平分线的定义，垂直的判断，解题的关键是理解题意． 根据角平分线定义得到，，得到，即可求解． 【详解】解：∵是平角， ∴，即． ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键． （1）根据垂直定义，得到即可求解； （2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可； 【详解】（1）解：． 理由如下：因为，所以， 所以． 又因为，所以， 即，所以； （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 类型一、对顶角相等求解 1．如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：． 【详解】解：，， ， 又， ， 故选：A． 2．如图，直线相交于点，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、对顶角等知识，根据对顶角相等和的度数求出的度数是解答本题的关键．根据对顶角相等，可求出的度数，从而可知的度数，进而根据与的度数之和可求出的度数． 【详解】∵与为对顶角， 且， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解； （2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 类型二、邻补角互补求解 1．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，O是直线上一点，，则 °． 【答案】144.7 【分析】本题主要考查了邻补角的定义和度分秒之间的换算的应用，根据邻补角的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：144.7． 3．如图，直线相交于点O，平分，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角，以及角平分线，关键是正确理清图中角之间的关系．先利用角平分线性质计算出的度数和的度数，然后求两角之差即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型三、垂线段最短 1．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 2．如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】9.6// 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 故答案为：9.6． 3．如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 类型四、点到直线的距离 1．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离:直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 2．如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 3．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 类型一、相交线的规律 1．三条直线相交，交点最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．故可得答案． 【详解】三条直线相交时，位置关系如图所示： 判断可知：最多有3个交点， 故选C. 【点睛】本题考查了相交线的交点个数问题，解决本题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点． 2．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1； 任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点， ∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15； ∴M-m=14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了平面图形，得到6条直线相交于一点时交点最少；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多是解题的关键． 3．观察下列图形，并阅读相关文字． 2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交； 有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角； 通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）． 【答案】n条直线相交，有n（n﹣1）对对顶角． 【分析】由材料可以得到：利用对顶角的个数，除以对应的相交直线的条数，就得到图形的顺序数．因而有n条直线相交时，这个图形是第(n-1)个图形，因而对顶角的个数是： n(n-1) 【详解】2条直线相交，有2×1=2对对顶角； 3条直线相交，有3×2=6对对顶角； 4条直线相交，有4×3=12对对顶角； 5条直线相交，有5×4=20对对顶角； … n条直线相交，有对对顶角． 类型二、画垂线 1．用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 2．如图，AB⊥m，BC⊥m，B为垂足，那么A、B、C在同一直线上的依据是 . 【答案】在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【详解】解：∵AB⊥m，BC⊥m，B为垂足， ∴A、B. C三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3．如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)；；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短等等： （1）根据网格的特点，分别取格点G、H，连接，则即为所求； （2）根据点到直线的距离的定义和垂线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，分别取格点G、H，连接，则即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点A到的距离，线段的长度是点H到直线的距离， 由垂线段最短可知， 故答案为：；；；垂线段最短． 1．点为直线外一点，点、、为直线上三点，，则点到直线的距离为（   ） A．cm B．cm C．小于cm D．不大于cm 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：当时，是点到直线的距离，即点到直线的距离cm， 当不垂直直线时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于cm， 综上所述：点到直线的距离不大于cm， 故选：D． 2．下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．正确的是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的定义以及垂线的性质，正确理解定义、定理是解题的关键． 对顶角相等，反过来不成立，即可判断①；根据平行线的定义即可判断②；③在同一平面内，命题才成立． 【详解】解：①不正确；相等的角不一定是对顶角； ②正确；这是平行线的定义； ③不正确；必须是在同一平面内； 故选：B． 3．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短，解题的关键是理解题意；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是点到直线，垂线段最短； 故答案为点到直线，垂线段最短． 5．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：80． 6．如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出，然后结合，求出的度数，根据平角定义求出的度数，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为OF平分， 所以． 7．如图，，垂足分别是点C，D． (1)点C到直线的距离是线段___________的长度； (2)点B到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到直线的距离； （1）由点到直线的距离定义，即可求解； （2）由点到直线的距离定义，即可求解； 理解点到直线的距离为“点到直线垂线段的长度”是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度； 故答案：； （2）因为， 所以点B到直线的距离是线段的长度； 故答案：． 8．如图，直线交于点O，，垂足为O，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义、角平分线的定义． （1）根据邻补角的定义求得，然后根据垂直的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义以及对顶角的性质求得，然后根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．已知，平面内三个点，，不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点，使得； ③过点画直线，垂足为；④连接． (2)观察你画出的图形，写出一个图形中正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据射线、直线、线段的画法，垂线的画法，画出图形即可求解； （2）根据两点之间线段最短即可得出 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线，线段、，，即为所求 （2）解：观察图形发现：． 10．已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式； （1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解； 【详解】（1）， 平分， ， ， ， ， 平分． （2）平分，平分， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$