精品解析：河南省信阳市固始县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度上期期末教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 提高全民安全意识，倡导安全文明风尚．下列安全提示标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 紧急出口 B. 避险处 C. 小心地滑 D. 急救药箱 2. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，是内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P是外一点，是的切线，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转150°，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 8. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，点和均在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 14. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 15. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为________人； （2）扇形统计图中“排球”所占的百分率是________．若该学校共有学生800名，请估计参加“游泳”的有________人； （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛2名同学恰为一男一女的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）点B的坐标是：________； （2）求反比例函数的表达式； （3）连接，求的面积． 19. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ （3）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）抛物线的顶点是________，________，________； （2）求抛物线的解析式； （3）小球的落点是A，求点A的坐标． 23. 如图，折线中，，固定不动，可以绕点在平面内自由转动，连接．爱思考的孙雷同学进行了如下探究： （1）如图1，在转动的过程中，的最小值为 ，最大值为 ． （2）如图2，以为边在折线异侧分别作等边三角形和等边三角形，连接．当以为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． （3）如图3，以为边作等边三角形，连接绕点在平面内转动过程中，直接写出当时，以为边正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期末教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 提高全民安全意识，倡导安全文明风尚．下列安全提示标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 紧急出口 B. 避险处 C. 小心地滑 D. 急救药箱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了 中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 根据中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．中心对称，是针对两个图形而言，是指两个图形的(位置)关系．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：A、不轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；   故选：D ． 2. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练记忆当时，方程有两个不相等的实数根． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为，对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：B． 4. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 5. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的内接三角形，可得OA=OC，从而得到∠ACO=∠OAC=20°，进而得到∠AOC=140°，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的内接三角形， ∴OA=OC， ∴∠ACO=∠OAC=20°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解题的关键． 6. 如图，P是外一点，是的切线，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转150°，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出∠BAD＝150°，AD＝AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论． 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE， ∴∠BAD＝150°，AD＝AB， ∵点B，C，D恰好在同一直线上， ∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形， ∴∠B＝∠BDA， ∴∠B＝（180°−∠BAD）＝15°， 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键． 8. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 9. 已知点，点和均在反比例函数的图象上，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限，； ，在第四象限，， ． 故选：B． 10. 如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，动点函数的知识．根据图2知，，利用正切函数的定义求得的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2知，， 当时，，， ∵， ∴， ， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 14. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 又分别为的中点， 又 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用直角三角形性质和勾股定理求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴三点共线， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图， 同理，，， ， ∴； 综上，的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用求根公式法求解． 本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 即或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴， 解得，． 17. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为________人； （2）扇形统计图中“排球”所占的百分率是________．若该学校共有学生800名，请估计参加“游泳”的有________人； （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）40 （2）；280人， （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）先求出排球的人数，再除以抽样调查的总人数即可计算本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比；根据用样本估计总体，用800乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出参加“游泳”的人数； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）． 故答案为：40． 【小问2详解】 解：参加排球项目的学生人数为（人）． “排球”所占的百分率为． 该学校共有学生800名，请估计参加“游泳”的有（人）． 参加“游泳”的人数大约为280人． 故答案为：280人； 【小问3详解】 解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）点B的坐标是：________； （2）求反比例函数的表达式； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入可求得一次函数函数解析式，将代入即可求解； （2）将点代入即可求解； （3）由一次函数可得：；根据即可求解； 【小问1详解】 解： 将点代入得：，解得； ∴一次函数的表达式为：； 将代入得： 解得： ∴点B的坐标是； 故答案为： 【小问2详解】 解：将点代入得：； ∴反比例函数的表达式为：； 【小问3详解】 解：如图所示： 由一次函数可得：； ∴ 19. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． （1）设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ （3）当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】（1） （2）12 （3）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及二次函数的应用． （1）根据，，列出代数式即可； （2）根据“围成的菜地面积为192平方米”列方程，解方程即可得到结论； （3）设围成的菜地面积为y平方米，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵矩形菜地， ∴，， 设菜地的宽为x米，则米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴， 答：当x为12米时，围成的菜地面积为192平方米； 【小问3详解】 解：设围成菜地面积为y平方米， 根据题意得，， ∵墙的最大可用长度为20米， ∴， 解得， ∴当时，有最大值； 答：当x为10米时，围成的菜地面积最大． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，由30度角的性质可求出，根据勾股定理求出，然后再由30度角的性质即可求解． 此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定定理，圆周角定理，30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ，． ． ． ． ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 如图，连接，由（1）得： 是的直径， ． ，， ∴，， ． 在中，． ． 21. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】（1）这座石拱桥主桥拱的半径为 （2）此渔船不能顺利通过这座桥 【解析】 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 【小问2详解】 解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）抛物线的顶点是________，________，________； （2）求抛物线的解析式； （3）小球的落点是A，求点A的坐标． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）由点，可知，抛物线是关于对称轴是，由抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的对称性可求，， （2）可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可； （3）联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标． 【小问1详解】 解：由表格可知：时，，时，， ∴抛物线的对称轴为：直线，故顶点为， ∵与 是关于直线的对称轴， ∴，故； ∵和 抛物线上，关于直线的对称， ∴ 【小问2详解】 根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：经过，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 【小问3详解】 联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 23. 如图，折线中，，固定不动，可以绕点在平面内自由转动，连接．爱思考的孙雷同学进行了如下探究： （1）如图1，在转动的过程中，的最小值为 ，最大值为 ． （2）如图2，以为边在折线异侧分别作等边三角形和等边三角形，连接．当以为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． （3）如图3，以为边作等边三角形，连接绕点在平面内转动过程中，直接写出当时，以为边的正方形的面积． 【答案】（1）， （2）当以为顶点的三角形是直角三角形时，的长为或 （3）当时，以为边的正方形的面积为或 【解析】 【分析】（1）根据在转动的过程中，当点在线段上时，的值最小；当点在线段的延长线上时，的值最大；计算即可得出答案； （2）证明，得出，再分两种情况：当时， 当时，利用勾股定理求解即可； （3）作等边，连接，分两种情况，分别画出图形，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在转动的过程中，当点在线段上时，的值最小，为，当点在线段的延长线上时，的值最大，为； 【小问2详解】 解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵以为顶点的三角形是直角三角形， ∴当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，的长为或； 【小问3详解】 解：∵是固定的，绕点旋转， ∴有两种情况， 作等边，连接， 如图，， ∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， 如图，，作于， ∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， 综上所述，当时，以为边的正方形的面积为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $