精品解析：广东省梅州市平远县2024-2025学年上学期九年级数学期末质量监测试题

2024—2025学年度第一学期九年级期末质量监测数学试题 说明： 1．本试卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分． 2．答题时，考生务必将考生号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息、请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，用5个相同的小正方体搭成立体图形，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从左面看几何体的形状，熟练掌握从左面看到图形的画法是解题的关键．本题画出从左边看到的平面图形即可． 【详解】解：根据题意，从上面看到的形状是： 故选：A． 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 3. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 4. 在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞1 B. k＞0 C. k≥1 D. k＜1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围． 【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小， 即可得k﹣1＞0， 解得k＞1． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 5. 将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意画如下树状图： 共有12种情况，其中2种符合题意， ∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：， 故选：C． 6. 如图，在的正方形网格中，的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，对边∶邻边即为正切的性质，据此代入数值进行作答即可 【详解】解：依题意如图所示： 故选：B 7. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 由平行易证，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴与周长之比为， 故选：C． 8. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比解答即可．本题考查了位似图形的性质：位似图形对应点的坐标比等于位似比，熟练运用位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵以点为位似中心，把缩小为原来的，点的坐标为， ∴当在原点的同侧时，点的坐标为， 即点的坐标为， ∴当在原点的两侧时，点的坐标为， 即点的坐标为， ∴点坐标为或， 故选． 10. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质．过点D作于点E，交于点M，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 详解】解：如图，过点D作于点E，交于点M，连接， ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， ∵菱形的边长为6， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故选：D． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 12. 如图，已知边长为的正方形二维码，若想估算出二维码黑色部分的面积，在正方形区域内随机取100个点，有70个点在黑色部分．则黑色部分的面积约为_________ ． 【答案】17.5 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在黑色部分的频率即可得出答案． 【详解】解∶黑色部分的面积约为， 故答案为∶17.5． 13. 若抛物线的顶点在直线上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质和求一次函数的函数值．先求出抛物线的顶点，再把顶点坐标代入即可求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为， 把代入得到， 故答案为： 14. 已知是关于的一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可解答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，注意：如果是一元二次方程（a，b，c为常数，）的两个解，则，． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵正方形，边长为4， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知方程的一个根为2，求的值． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：∵方程的一个根为2 即 解得，， ∴m的值为3或． 17. 某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， 由可得，所以，进而得到方程求解即可． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得， ， 答：甲、乙两名同学之间的距离为． 18. 已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1） （2）有最小值，最小值为1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 20. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）0.1，16，0.4； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键； （1）先求出总人数，再求出b的值，进而a和c的值； （2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可； （3）画出树状图，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ，， 故答案为：0.1，16，0.4； 【小问2详解】 （人）， 答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种， 所以恰好选到一名女生和一名男生的概率= 21. 如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？ （2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作，垂足，解直角三角形求出，即可解决问题． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．解直角三角形求出，，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足，如图所示： 在中，，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 答：D离桌面的高度为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．如图所示： 根据作图可知，四边形和四边形为矩形， ∴，，， 由题意可得：， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：， 在中，， ， 解得：， ， 答：此时离桌面的高度约为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （2）如图2，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． 【答案】（1）点是边的三等分点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的折叠问题、矩形的折叠问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，学会利用相似三角形的性质求线段比例是解题的关键． （1）通过证明得到，再由得到，即可得出结论； （2）设，则有，，，通过证明四边形是矩形得到，利用勾股定理求出，设，则，再证明，得到，得到，即可求出的值． 【小问1详解】 解：点是边的三等分点，证明如下： 由第1步的操作可知分别是的中点， 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为边的三等分点． 【小问2详解】 由折叠得，， 点为边的三等分点， ， 设，则， ，， ， 由折叠性质得，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得，， 设，则， ， ， 又， ， 又， ， ，即， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①面积为；② （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得，即可求得答案； ②过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：（1）①当时，， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， 的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， 【小问2详解】 点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则 ，， 点是的中点， 的纵坐标为 化简得，， ， 又点不与点重合， 此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期九年级期末质量监测数学试题 说明： 1．本试卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分． 2．答题时，考生务必将考生号用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息、请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，用5个相同的小正方体搭成立体图形，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在反比例函数图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞1 B. k＞0 C. k≥1 D. k＜1 5. 将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中，的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 9. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么___________． 12. 如图，已知边长为正方形二维码，若想估算出二维码黑色部分的面积，在正方形区域内随机取100个点，有70个点在黑色部分．则黑色部分的面积约为_________ ． 13. 若抛物线的顶点在直线上，则的值为_____． 14. 已知是关于的一元二次方程的两个根，则的值为___________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知方程的一个根为2，求的值． 17. 某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 18. 已知抛物线对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 21. 如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？ （2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （2）如图2，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． 23. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$