10.1.2两角和与差的正弦学习任务单-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

§10.1.2　两角和与差的正弦 知识点一、两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)= ______________________ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)= ______________________ α，β∈R 公式推导： 注意点： (1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”. 知识点二、辅助角公式： 题型1 给角求值 例1 求下列各式的值． （1）sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°； （2）sin 105°； （3）. 跟踪训练1（1）求值：sin 15°＋sin 75°＝________． （2）＝________． （3）求值：=　　　　.  题型2 给值求值 例2.1 已知α∈. （1）若sin α＝，求sin 的值； （2）若cos ＝，求sin α的值． 例2.2 （1）已知α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，求sin β的值． （2）已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝. （1）求tan α的值； （2）求sin β的值． 跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 题型3 给值求角 例3　（1）已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． （2）已知sin=，sin=，且α－∈，β－∈，求的值. 跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值． 题型4 辅助角公式 例4.1　(1)已知sin=，则cos α+sin α的值为　　　　.  跟踪训练4　(1)化简：sin α+cos α； (2)求值：. 例4.2　已知f(x)=sin 2x－cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 跟踪训练5　函数y=cos x+cos的最小值是　　　　，最大值是　　　　.  课堂小结 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式. (2)给值求值. (3)给值求角. (4)掌握辅助角公式. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围，忽略辅助角的范围. 随堂演练 1.sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为　　　　.  2.已知cos(α－β)=，sin β=－，且α∈，β∈，则sin α等于　　　　.  3.已知cos α=，cos(α－β)=，且0<β<α<，那么β等于　　　　.  4.化简cos x+sin x等于(　　) A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos 5.函数f(x)=sin x－cos的值域为　　　.  6.(多选)设函数f(x)=cos x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为2π B.f(x)的图象关于直线x=－对称 C.f的一个零点为π D.f(x)在上单调递减 两角和与差的正弦 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ §10.1.2　两角和与差的正弦 知识点一、两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=sin α·cos β+cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)=sin α·cos β－cos αsin β α，β∈R 注意点： (1)公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)两角和与差的正弦公式可记忆为“正余余正，符号相同”. 知识点二、辅助角公式： 题型1 给角求值 例1 求下列各式的值． （1）sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°； （2）sin 105°； （3）. 【解】(1)原式=sin(20°+40°)=sin 60°=. 　(2)sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝. (3)＝＝ ＝＝sin 30°＝. 跟踪训练1（1）求值：sin 15°＋sin 75°＝________． 解析：原式＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝2sin 45°cos 30°＝. （2）＝________． 解析：由题意可得，＝＝＝＝sin 60°＝. （3）求值：=　　　　.  解析：原式====== =2－. 反思感悟　探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式. 题型2 给值求值 例2.1 已知α∈. （1）若sin α＝，求sin 的值； （2）若cos ＝，求sin α的值． 【解】　(1)因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，所以sin ＝sin α＋cos α＝＋＝. (2)因为α∈，所以α＋∈，又因为cos ＝，所以sin ＝， 所以sin α＝sin ＝sin －cos ＝－＝. 例2.2 （1）已知α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，求sin β的值． 解　∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝＝， ∵α，β都是锐角，∴－<α－β<，又sin(α－β)＝，∴cos(α－β)＝＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝×－×＝. （2）已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝. （1）求tan α的值； （2）求sin β的值． 解：(1)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝. (2)因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，因为cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝， 所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)·sin α＝×－×＝. 反思感悟　给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 解　∵<β<α<，∴－<－β<－， 又β<α，∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴sin(α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－＝－＝－. ∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－， 即sin 2α＝－. 题型3 给值求角 例3　（1）已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 解　因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝. 又因为0<β<，所以0<α＋β<π. 因为sin(α＋β)＝<sin α，所以cos(α＋β)＝－， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 又因为0<β<，所以β＝. （2）已知sin=，sin=，且α－∈，β－∈，求的值. 解　方法一　∵α－∈，β－∈，∴0<<π，cos=，cos=. ∴cos =cos=coscos－sinsin =××=，∴=. 方法二　∵sin=<，sin=<，α－∈，β－∈， ∴α－∈，β－∈，∴∈，cos=，cos=. ∴sin =sin=sincos+cossin=×+×=，∴=. 跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值． 解　因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. 又因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 故α－β＝－. 反思感悟　解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 题型4 辅助角公式 例4.1　(1)已知sin=，则cos α+sin α的值为　　　　.  解析　cos α+sin α=2=2sin=. (2)求值：sin －cos =　　　　.  解析　sin －cos =2=2=2sin=2sin =. 反思感悟　辅助角公式的作用就是把两个同角的正弦、余弦三角函数式化为一个角的三角函数的形式，实质上是两角和与差的正弦公式的逆应用. 跟踪训练4　(1)化简：sin α+cos α； (2)求值：. 解　(1)sin α+cos α=2=2=2sin. (2)====－. 例4.2　已知f(x)=sin 2x－cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 解　(1)f(x)=sin 2x－cos 2x===sin. (2)由f(x)=sin得，f(x)的最小正周期T==π，f(x)的最大值为. 跟踪训练5　函数y=cos x+cos的最小值是　　　　，最大值是　　　　.  解析　y=cos x+cos xcos －sin xsin =cos x－sin x==cos， 当cos=－1时，ymin=－.当cos=1时，ymax=. 课堂小结 1.知识清单： (1)两角和与差的正弦公式. (2)给值求值. (3)给值求角. (4)掌握辅助角公式. 2.方法归纳：构造法、转化化归. 3.常见误区：求角或求值时易忽视角的范围，忽略辅助角的范围. 随堂演练 1.sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为　　　　.  解析　原式=sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° =sin(7°－37°)=sin(－30°) =－sin 30°=－. 2.已知cos(α－β)=，sin β=－，且α∈，β∈，则sin α等于　　　　.  解析　∵∴0<α－β<π. 又cos(α－β)=，∴sin(α－β)==. ∵－<β<0，sin β=－，∴cos β=， ∴sin α=sin[(α－β)+β]=sin(α－β)cos β+cos(α－β)sin β=×+×=. 3.已知cos α=，cos(α－β)=，且0<β<α<，那么β等于　　　　.  解析　∵0<β<α<，∴0<α－β<，由cos α=，得sin α=，由cos(α－β)=，得sin(α－β)=， ∴sin β=sin[α－(α－β)]=sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)=××==，∴β=. 4.化简cos x+sin x等于(　　) A.2cos B.2cos C.2cos D.2cos 答案　B 解析　cos x+sin x=2=2=2cos. 5.函数f(x)=sin x－cos的值域为　　　.  答案　[－，] 解析　f(x)=sin x－cos x+sin x=sin x－cos x==sin， 因为x∈R，所以x－∈R，所以f(x)∈[－，]. 6.(多选)设函数f(x)=cos x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为2π B.f(x)的图象关于直线x=－对称 C.f的一个零点为π D.f(x)在上单调递减 答案　ABC 解析　f(x)=cos x－sin x=－2sin. 由正弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π，故A正确； 函数f(x)=－2sin的对称轴满足条件x－=kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，所以y=f(x)的图象关于直线x=－对称，故B正确； f=－2sin=－2sin x，－2sin π=0， 所以f的一个零点为π，故C正确； 函数f(x)=－2sin在上先减后增，故D错误. 两角和与差的正弦 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$