精品解析：广西壮族自治区贵港市平南县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋季期九年级期末教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 下列选项中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，根据二次函数的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】A．，是一次函数，故本选项错误； B．，是反比例函数，故本选项错误； C．，是二次函数，故本选项正确； D．，是一元二次方程，故本选项错误． 故选C． 4. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧（或等弧）所对圆周角是圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断给出各点是否在反比例函数的图象上，只需将各选项坐标代入验证即可. 【详解】A.，∴点在反比例函数的图象上，符合题意； B.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； D.，∴点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况． 【详解】解：∵， 而， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 如图，在中，，，，，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，代入数据求出的长，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ，即， 解得：， ． 故选：D． 8. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ） A. 180度 B. 210度 C. 240度 D. 270度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份日用电量，“平均数等于所有数据的和除以数据的个数”． 【详解】解：∵这5天的日用电量的平均数为（度）， ∴估计他家6月份日用电量为9度， ∴估计她家6月份的用电量为：（度），故D正确． 故选：D． 9. 已知一个扇形的半径为10，扇形的弧长为，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的求法，根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 10. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 11. 如图，已知是半圆的直径，是的切线，切点为点，交的延长线于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理，三角形内角和定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 连接，可得，根据是的切线，可得，再利用三角形内角和定理即可求解； 【详解】解：连接， ， ， ∵是的切线， ， ， 故选：A 12. 抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称性和x=-1时y＞0可判断②；利用抛物线的顶点的纵坐标变为3可以判断③；由抛物线与直线y=2有两个不同的交点，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 即，，故①错误 又∵抛物线与x轴的一个交点在(-4，0)，(-3，0)之间， ∴根据抛物线的对称性可知另一个交点在(-1，0)，(0，0)之间， ∴当x=-1时，y＞0，将此条件代入抛物线解析式中得 ∵ ∴，故②错误 ∵抛物线的顶点的纵坐标为3 ∴，即 则 ∵，， ∴，故③正确 由抛物线与直线y=2有两个不同的交点，可以判断④是正确的 故正确的选项一共有两个 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，顶点坐标与系数之间的关系，解题的关键在于熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【详解】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得， 即的值为6． 故答案为：6． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 15. 如图，在四边形中，，则的最大值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接， ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 16. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可． 【详解】解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点D， ∴可令，可得， 解得，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴， 如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】x1=-4，x2=-2 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解． 【详解】 ∴x+4=0或x+2=0 解得x1=-4，x2=-2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）12． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【小问1详解】 解：把代入到，得 ， 解得，； 【小问2详解】 如图，过A作于点C，设点A的坐标为， 设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 19. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）此残片所在圆的半径为10． 【解析】 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 20. 如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点． （1）求m的值和二次函数的表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入一次函数可求出的值，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）不等式表示的是一次函数的图象位于二次函数的图象的下方（含交点），结合函数图象求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数得：， ∴， 将点，代入二次函数得：， 解得， 则二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：不等式表示的是一次函数的图象位于二次函数的图象的下方（含交点）， 结合函数图象可知，不等式的解集为或． 21. 某商店销售一种商品，平均每天可以销售30件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品每降价1元，商店平均每天可以多卖5件． （1）若每件商品降价2元，则降价后每件商品盈利______元，平均每天可以卖______件商品，所得利润是______元； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）10，40，400； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价3元，所得的最大利润是405元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意，列出函数关系式． （1）根据每件盈利12元，每件商品降价2元，列式可得每件商品的盈利，根据每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件，可得平均每天可卖商品件数，根据售量每件盈利利润，可得所得利润； （2）设每件商品降价x元时，利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，每件商品盈利元， 平均每天可以卖件，所得利润为元， 故答案为：10，40，400； 【小问2详解】 解：设每件商品降价x元时，利润为w元， 则， ∴当时，w最大． 答：该商店想要一天的盈利最大，应降价3元，所得的最大利润是405元． 22. 如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． （1）求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； （2）求这个圆锥的侧面展开图中的度数； （3）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【小问1详解】 解：弧的长度=底面圆的周长； 【小问2详解】 解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； 【小问3详解】 解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 23. 学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】 （1）如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； （2）如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）在上截取一点E，使得，连接，，根据，D是弦所对的优弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等证明和都为等边三角形，得到，再证明，得到，即可得到结论； （3）分两种情况讨论，①当点D是弦所对的劣弧的中点时，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，根据四点共圆得到，点D是弦所对弧的中点，得到，，证明，得到，再证明，得到，在中，利用即可求解；②当点 D是弦所对的优弧的中点时，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，由同弧所对的圆周角相等，得到，证明，得到，，证明，得到，在中，，得到，即可求出结果． 【小问1详解】 解：，， ， ，都是的直径， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，在上截取一点E，使得，连接，， ，D是弦所对的优弧的中点， ， ，，， 和都为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当D是弦所对的劣弧的中点时，如图，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F， A，B，C，D四点共圆， ， ， ， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 在和中， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 点D是弦所对弧的中点，， ， 在中， ， ； ②当点 D是弦所对的优弧的中点时，如图，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】此题属于圆的综合题，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，作辅助线，一定要注意将所学知识贯穿起来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期九年级期末教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 3. 下列选项中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，在中，，，，，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ） A. 180度 B. 210度 C. 240度 D. 270度 9. 已知一个扇形的半径为10，扇形的弧长为，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知是半圆的直径，是的切线，切点为点，交的延长线于点，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 15. 如图，在四边形中，，则的最大值为___________． 16. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 19. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 20. 如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点． （1）求m的值和二次函数的表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 21. 某商店销售一种商品，平均每天可以销售30件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品每降价1元，商店平均每天可以多卖5件． （1）若每件商品降价2元，则降价后每件商品盈利______元，平均每天可以卖______件商品，所得利润是______元； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少元？ 22. 如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． （1）求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； （2）求这个圆锥的侧面展开图中的度数； （3）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 23. 学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】 （1）如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； （2）如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $