指对幂函数专题训练-2025届高三数学一轮复习

指对幂函数专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 2．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论不正确的为（   ） A． B．的取值范围为 C．a的取值范围为 D．不等式的解集为 4．函数的图象的大致形状是（   ） A． B． C． D． 5．若三个函数，，，的零点分别为，求（    ） A． B． C．1 D．2 6．函数的最小值为（   ） A． B． C． D．1 7．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知是函数图像上不同的两点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 11．函数过定点，若，则结论正确的是（   ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 13．已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，，则的最小值为 . 14．在数学中连乘符号是“”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的m共有 个． 四、解答题 15．已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. (1)求的值； (2)解不等式. 16．已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)求证：当时，． 17．已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)对任意，存在使得成立，求实数的取值范围． 18．设函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《指对幂函数专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B A A D C ACD BCD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【详解】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 2．D 【分析】借助指数函数与幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上是增函数，所以，即， 而，因为在上是增函数， 所以，即，所以. 故选：D. 3．C 【分析】画出的图象，根据与的交点个数对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，，， ， 画出函数的图象，如图示： 对于C，有个不等的实根和有个不同的交点， ，故C错误； 对于A，， ，故A正确， 对于B，，故，故B正确， 对于D，结合图象不等式的解集为，故D正确. 故选：C 【点睛】易错点睛： 分段函数的性质理解错误：对于分段函数的不同区间，需要分开讨论，避免混淆. 忽略函数的单调性：分析方程的根时，必须注意函数在不同区间的单调性. 不等式的边界值误解：解不等式时，可能会忽视边界值的影响，导致错误的解集. 4．B 【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，根据指数函数单调性可判断出所求函数单调性，进而得到所求图象. 【详解】当时，， 当时，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选：B 5．A 【分析】由可得，构造函数可知在递增，进而可得，结合，可得，结合求解即可. 【详解】由题意知， 整理得，即， 所以， 令可知在递增. 即，即， 代入得， 又由，得， 所以. 故选：A. 6．A 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】， 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故选：A. 7．D 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 8．C 【分析】举反例判断A，B，利用对数函数的性质结合基本不等式判断C，D即可. 【详解】由题意不妨设，因为是增函数， 所以，即． ， 当且仅当时取等，则， 即，故C正确，D错误． 取，则，故A错误， 取，则，故B错误． 故选：C 9．ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】构造函数，利用单调性可判断AB正确；由指数函数在上单调递增可判断C；由指数函数在上单调递减可判断D. 【详解】对于A，由，，得， 又函数在上单调递增，且，所以，A错误； 对于B，， 且，所以，则，B正确； 对于C，由指数函数在上单调递增，所以，C正确； 对于D，由指数函数在上单调递减，且， 即，所以，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用函数的单调性解题. 11．CD 【分析】由对数函数的性质可得，利用集合与元素的关系可得，即可得A；借助对数运算结合基本不等式计算可得B；借助基本不等式及指数运算法则计算可得C；借助“1”的活用可得D. 【详解】对于A：由，故定点， 由，故有，即，故A错误； 对于B：， 当且仅当时，等号成立，即最大值为，故B错误. 对于C：，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：由， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 12． 【分析】根据，可求得定点的坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为：. 13． 【分析】根据题意解方程易得，，进而得到，进而结合求解即可. 【详解】由，得或， 所以，，所以. 由，或， 所以，，所以， 所以. 又因为，所以，则， 则，所以， 即的最小值为. 故答案为：. 14．8 【分析】根据已知条件利用对数运算求得，再由为整数，利用指数运算等知识求得正确答案． 【详解】由于， 故 要使为整数，则，从而，． 而，故， 结合，，…，，，知可取． 从而，故使为整数的m共有8个． 故答案为：8． 15．(1)4 (2) 【分析】（1）将点代入且求出的值，将点代入，求出的值，进而得到的值； （2）将转化为，根据对数函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为函数且的图象经过点. 所以， 所以 函数的图象经过点， 所以，所以， 所以. （2）由（1）得， 转化为， 即得出， 所以， 即不等式的解集为：. 16．(1) (2)偶函数 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得的定义域. （2）由来判断出是偶函数. （3）根据指数型函数值域的求法，结合函数的奇偶性来证得不等式成立. 【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为. （2）函数的定义域为， ， 为偶函数. （3）当时， ， 因为是偶函数，的成立． 【点睛】易错点睛：忽略分母条件：在求函数的定义域时，容易忽略分母为零的条件，导致定义域错误.奇偶性判断不准确：在判断函数奇偶性时，可能会错误地推导出函数是奇函数而不是偶函数. 17．(1)1 (2) 【分析】（1）由偶函数的定义得到，即可求出参数的值； （2）将问题转化为，令，则，求出的最大值为，再将问题转化为在上有解，则可得，再构造函数，求出其的最小值即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以． 所以， 即恒成立，所以，则，经检验符合题意； （2）由（1）知，， 因为对任意，存在使得成立， 所以， 设，， ，，令，， 所以根据对勾函数的性质可得，在上单调递增， 即， 所以，在上有解， 即在上有解，即，； 设，， 因为，所以值域为， 所以，即，所以的取值范围是 18．(1)奇函数 (2)增函数,证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论； （2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤； （3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围． 【详解】（1）由解得， 函数的定义域为， ， 可得是定义域为的奇函数； （2）函数在上为增函数． 证明：设，，且， ， 由，可得，所以， 由，可得，, 所以，则，所以， 即， 所以在上为增函数； （3）因为是定义域为的奇函数，所以， 不等式化为， 因为在上为增函数，所以， 解得：或， ，解得： ，解得：, 综上：实数的取值范围 19．(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$