精品解析：四川省广安市邻水县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋义务教育阶段质量监测样卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 清代诗人袁枚的《苔》中描写了微小却盛开得灿烂的苔花：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”苔花的花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 7. 小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱．某超市用200元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用300元购进第二批这种西红柿，所购质量是第一批质量的2倍，但每千克的进货价降了0．8元．设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置） 11. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 12. 计算：______ 13. 分解因式：______． 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 15. 若关于x的分式方程的解为，则m的值为________． 16. 如图，在等腰三角形中，底边的长为，的面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标为________； （2）已知点，请在x轴上找到一点P，使得的值最小．（不写作图方法，保留作图痕迹） 20. 如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 22. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 23. 某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运产品，甲机器人搬运产品所用的时间与乙机器人搬运产品所用的时间相同，乙机器人每小时搬运多少千克产品？ （1）下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：________同学的，改为正确的方程是________； 孙丽同学：设乙机器人每小时搬运产品．根据题意，得． 王宁同学：设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时．根据题意，得． （2）在（1）的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过程． 24. 小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长度． 五、推理论证题（9分） 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1． （1）已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数． ①C所代表的代数式为________； ②求x的值． （2）已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 六、拓展探究题（10分） 26. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋义务教育阶段质量监测样卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念． 2. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质．根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：C． 3. 清代诗人袁枚的《苔》中描写了微小却盛开得灿烂的苔花：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”苔花的花粉直径约为，数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和整式的乘法公式，正确运用法则进行计算是解决此题的关键．用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，整式乘法的完全平方公式逐一排除即可求解． 【详解】解：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．因此，故正确； 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．，故B错误； 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故C错误； 根据乘法的完全平方公式：．，故D错误． 故选：A． 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角与外角问题，掌握多边形内角与外角的关系成为解题的关键． 由正八边形的外角和为，再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上的内角和外角互补列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为． 故选：C． 6. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 7. 小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，而与不一定相等，A说法错误，符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，C说法正确，不符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 9. 樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱．某超市用200元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用300元购进第二批这种西红柿，所购质量是第一批质量的2倍，但每千克的进货价降了0．8元．设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的倍，列出方程即可． 【详解】解：设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为， 故选C． 10. 如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键． 延长交于，依据，即可得到，进可得到，据此可得． 【详解】解：如图所示，延长交于， 由作图可得，平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将最简答案填写在答题卡相应位置） 11. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 12. 计算：______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握零指数幂、负整数指数幂成为解题的关键． 先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后再加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底. 14. 如图，中，，，于H，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 若关于x的分式方程的解为，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，先将代入分式方程中得到，然后解分式方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， 故m的值为4， 故答案为：4． 16. 如图，在等腰三角形中，底边的长为，的面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高．解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可解题． 【详解】解：连接，，如图所示．  ∵ 是等腰三角形，，点D为边的中点， ∴． ∵，， ∴，． ∵是的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为A． ∴． ∵， ∴的长为的最小值． ∴的周长的最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，首先根据幂的乘方和积的乘方运算法则，对和进行计算，然后根据单项式乘单项式和单项式除单项式的运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 18. 先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号，再算除法，最后根据分式分母不为0选取代入求值即可． 【详解】解： ． ，且， 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标为________； （2）已知点，请在x轴上找到一点P，使得的值最小．（不写作图方法，保留作图痕迹） 【答案】（1）如图：即为所求， ． （2）如图：点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形、坐标与图形、轴对称最短线段问题等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质分别确定关于轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，最后直接写出的坐标即可； （2）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为所求点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）△ADE的周长＝10；（2）∠DAE＝20°． 【解析】 【分析】（1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长； （2）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案． 【详解】（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10． （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】20海里 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， 又， ， 是等边三角形， （海里）， 答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 22. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）计划种植草坪的面积为 （2）种植草坪应投入的资金是243000元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解． 【小问1详解】 解：（1）两块空地总面积：， ， 栽花面积：， 草坪面积：． 【小问2详解】 ，，草坪价格为30元/， 应投入的资金元． 23. 某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品．甲机器人比乙机器人每小时少搬运产品，甲机器人搬运产品所用的时间与乙机器人搬运产品所用的时间相同，乙机器人每小时搬运多少千克产品？ （1）下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：________同学的，改为正确的方程是________； 孙丽同学：设乙机器人每小时搬运产品．根据题意，得． 王宁同学：设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时．根据题意，得． （2）在（1）的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过程． 【答案】（1）孙丽， （2）解：若选择孙丽，解答过程如下： 设乙机器人每小时搬运产品． 根据题意，得：，解得：， 经检验：是原方程的解； 答：乙机器人每小时搬运产品． 若选择王宁，解答过程如下： 设乙机器人搬运产品所用的时间为x小时． 根据题意，得：，解得：， 经检验：是原方程的解； ∴； 答：乙机器人每小时搬运产品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据孙丽同学所设未知数及结合题意可进行求解； （2）根据题意结合孙丽与王宁两位同学的解答过程可进行求解 【小问1详解】 解：由题意可知：错误的是孙丽同学，正确的方程是； 故答案为孙丽，； 【小问2详解】 略 24. 小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）44m． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等． （1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案； （2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴池塘的长为． 五、推理论证题（9分） 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1． （1）已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数． ①C所代表的代数式为________； ②求x的值． （2）已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）①；②； （2）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减法、根据分式方程解的情况求值等知识点，注意计算的准确性即可． （1）①计算即可求解；②关键，结合题意可得或，即可求解； （2）由题意，得，推出，，即可求解； 【小问1详解】 解：①，， ． 与B互为“和整分式”，且“和整值”为3， ， ． ②，且x为正整数，分式B的值为正整数， 或， （舍去）． 【小问2详解】 解：由题意，得， ， ， 整理，得． 方程无解， 或， 当时，解得； 当，时，， 解得． 综上，m的值为1或． 六、拓展探究题（10分） 26. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3） 证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】对于（1），利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； 对于（2），在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； 对于（3），延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $