圆锥曲线的离心率 专题训练-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线的离心率专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 8．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（   ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 10．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项不正确的是（    ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 11．已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 三、填空题 12．一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为，则水面椭圆的离心率为 ． 13．已知双曲线的焦点为，实轴长为2，则双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 14．已知双曲线C：的左顶点、右焦点分别为A，F，C上的点M在第一象限，且，若，则C的离心率的取值范围是 . 四、解答题 15．已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)为椭圆的左焦点，为上顶点，点在轴上，且.过点直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 16．已知点，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积为． (1)求椭圆C的离心率； (2)若，直线与椭圆C的另一个交点为Q，且直线与直线相交于点M，O为坐标原点，求的取值范围． 17．已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 18．已知圆，双曲线，直线，其中． (1)当时，求双曲线的离心率； (2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； (3)设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．过双曲线C：（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交抛物线于点，若（为坐标原点），设为抛物线的焦点. (1)若抛物线上一点到点的距离是3，求的值； (2)求双曲线C的离心率； (3)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A，B两点，l2与抛物线交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF||NF|的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《圆锥曲线的离心率专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A A A A D AD ABC 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 2．B 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】根据为等腰直角三角形，故, 故 ， 故选：B 3．A 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率. 【详解】由椭圆定义得，而，则， 又，，于是，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 4．A 【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假． 【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则，所以A正确． 故选：A． 5．A 【分析】设在渐近线上，结合角的关系求出即可代入渐近线结合离心率公式计算求解. 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 6．A 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 7．A 【分析】由已知得双曲线的渐近线为，即可求解离心率. 【详解】依题意可知，双曲线：的渐近线方程为， 即双曲线的渐近线方程为. 又双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的方程为， 其中依次为的实半轴和虚半轴， 渐近线方程为， 所以， 所以， 则双曲线的离心率. 故选：A 8．D 【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有，即可求离心率范围. 【详解】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D. 9．AD 【分析】A项，根据方程求出即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可得出结论；C项，利用几何知识即可知道的取值范围，进而得出结论；D项，求出点的位置，分别得出，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，， A项，离心率，故A正确； B项，如图所示， 由对称性知，， ，故B错误； C项，由几何知识得， ,即， 因为，故C错误； D项，设， ∴， 当的面积为时，， 由几何知识得，，解得： 当，即时，此时，， ∴， ∴， 当，即时，同理可得，， 故D正确； 故选：AD. 10．ABC 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方程为，即可求解BC，根据余弦定理可得，即可求解正弦，根据面积公式即可求解D. 【详解】对于A， 双曲线的渐近线为，故A错误； 对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故， 设椭圆方程，则，故，又， 故，则椭圆方程为，C错误； 离心率为，B错误； 对于D，， 故， 故的面积为，故D正确. 故选：ABC. 11．AC 【分析】由已知，可求得双曲线中的，则可得离心率，即可判断A、B；写出双曲线C的渐近线方程，由直线和与渐近线的位置关系，即可判断C、D. 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 12． 【分析】如图，可得椭圆的长轴与短轴，据此可得答案. 【详解】如图，AC为椭圆长轴，为椭圆短轴， 因水面与底面所成的二面角为，则，则， 则. 故答案为： 13． 2 【分析】根据题意先求，进而求解离心率和渐近线方程. 【详解】由题意得，，，即，且焦点在轴上， 则，即， 所以双曲线的离心率为， 渐近线方程为. 故答案为：2；. 14． 【分析】在中，由余弦定理得出，再在在中，由余弦定理求得关于的不等关系，从而得出离心率的范围． 【详解】在中，， 由余弦定理得 又，所以， 整理得，解得. 设双曲线的左焦点为则， 在中，由余弦定理得， 得，由，得， 整理得，所以， 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为：． 15．(1)； (2) 【分析】（1）根据已知条件，构造方程组，求出椭圆方程即可； （2）利用向量垂直求出点的坐标，接着设出直线方程与椭圆方程联立，通过韦达定理求出两根之和与两根之积，最后根据向量数量积的关系求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）由已知得方程组解得. 所以椭圆的方程为. 椭圆离心率，所以. （2）先求出点的坐标，由（1）得. 因为，向量，设，则. 由于，即， 根据向量数量积公式，得到，解得，所以.   设直线，， 代入椭圆方程，并整理得. ，展开并化简得，， 进一步得到，解得. 由韦达定理可得，. 计算，将，代入得. 把，代入上式得. 因为，即，化简得，即， 解得，所以.   直线的方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）设点，由，利用斜率公式可得，进而可得，即可求得椭圆C的离心率； （2）由已知可得椭圆C的方程为，设，设出直线和直线的方程，设直线PQ：，可得，联立，化简后，由韦达定理可得，代入，可得，又直线的斜率不能为0，所以点M不取，可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 【详解】（1）由题知，，， 设点，由，可得， 又，即，所以， 所以， 所以，即，则， 故椭圆C的离心率． （2）由（1）可得，又因为，可得，所以，，， 则椭圆C的方程为，则，， 设，直线的方程为：， 直线的方程为：， 联立，两式相除可得， 即， 设直线PQ：，所以，， 代入可得， 联立，整理得， ， 所以， 所以，即， 所以， 则，解得， 当直线的斜率为0时，与重合，不满足题意，所以点M不取， 可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 17．(1) (2)与 【分析】（1）根据题意得到关于双曲线参数的方程组，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式将的面积化为关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为双曲线，点在双曲线上，且其离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去,得， 则且，即且， 设，则， 又， 即，则， 整理得，即， 又，所以，解得， 所以直线的方程为与. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据离心率公式即可； （2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明； （3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可. 【详解】（1）由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. （2）由直线与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即与双曲线的左右两支各有一个公共点. （3）设， 联立，得，得， 由可得. 联立得，得 且分别交于左右两支可得 又，又、、、四个点在同一直线上， ， ，还可得， ， 即，化简后可得:， 代入后化简可得:，解得，由，得. 经检验，此时与两支分别有交点， 为唯一满足条件的实数.    【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得，即，再代入韦达定理式计算即可. 19．(1) (2) (3)8 【分析】（1）先设点，再根据焦半径公式得出进而得出点的坐标进而得出； （2）先得出右焦点为，为的中点，又可得为的中点，所以为的中位线，得到，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于和的关系式，最后求得离心率. （3）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）为抛物线的焦点, 设，，所以，则， 所以 （2） 双曲线的左焦点， 因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，为的中点， 因为，所以为的中点，， 因为，所以， 因为切圆于，所以，所以， 因为，所以， 过点作轴的垂线，即抛物线的准线， 根据抛物线的定义知，点到的距离为， 设，则，所以， 在中，， 即，， ，又，. （3）由可知焦点为， 由已知可得，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0， 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为， 所以直线AB的方程为， 联立方程，消去x得， 设点，则， 因为为弦AB的中点，所以， 由，得，所以点， 同理可得， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：求最小值的关键是应用基本不等式解题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$