精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高一上学期1月期末检测数学试题

资阳市安岳中学2024-2025学年度上期高一年级期末检测 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 8. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，下列结论中正确是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 11. 已知函数，以下说法正确的有（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若的定义域是，则 C 若恒成立，则 D. 若，则的值域不可能是 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 13. 函数的单调递增区间是______. 14. 已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为___________. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 16. 已知二次函数． （1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围． 17. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上. （1）求的值； （2）若，且，求值. 18. 某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 资阳市安岳中学2024-2025学年度上期高一年级期末检测 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合,再利用交集的定义求解. 【详解】解：由题得， 所以. 故选：C 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上是单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数可得定义域为，将代入函数，可得，所以函数为奇函数，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，将代入函数，可得，所以函数为偶函数， 当时，函数解析式为，易知该函数是增函数，故B正确； 对于C，由函数的定义域为，将代入函数，可得，所以函数为偶函数， 当时，函数解析式为，易知该函数是减函数，故C错误； 对于D，由函数的定义域为，将代入函数，可得，所以函数为奇函数，故D错误； 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合诱导公式，再从充分性和必要性判断即可. 【详解】①因为，所以，所以是的充分条件； ②由，可得，即， 或得，即， 所以，或者， 所以不是的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，问题转化不等式非负的问题，分，两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，不等式为，故符合题意； 当时，要使恒成立，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：C 5. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解． 【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，  依题意，可得，  整理，得， 则， ， 同理得，  解得：，  所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时． 故选：C 6. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，求解实数的取值范围． 【详解】的图象开口向下，对称轴为，且， ∵函数在区间上的值域为， ∴由图可知，，即实数的取值范围是. 故选：A． 7. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】函数， 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 8. 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由题可得的奇偶性及单调性，然后不等式可化为，根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得. 【详解】设，则， 所以函数为偶函数， 所以，当时，， 在上是增函数， 由，可得， ， 所以，即， 所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解. 【详解】由图知，，即， 所以，由题意，结合图象解得， 又因为， 所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得，所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，以下说法正确的有（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若定义域是，则 C. 若恒成立，则 D. 若，则的值域不可能是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知对任意的，，列出关于的各种情况，可判断B选项；利用对数运算求出的值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数定义域为， 则关于的不等式的解集为，故，A错； 对于B选项，若函数的定义域为，则对任意的，， 所以，或，B错； 对于C选项，由可得， 即，所以，，C对； 对于D选项，当时，则函数的值域为， 若函数的值域为，则，显然是不可能的，D对 故选：CD 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 13. 函数的单调递增区间是______. 【答案】（也可以写作） 【解析】 【分析】利用复合型对数函数的定义域求得的定义域，再利用二次函数与复合函数的单调性即可得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数在其定义域内为减函数， 所以由复合函数单调性知，的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为___________. 【答案】13 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的表达式，确定，结合求得以及的表达式，结合其平方和为1求得m的值，即可求得，从而可得的表达式，继而求得答案. 【详解】由题意得，（为辅助角）， 由题意知， 为函数的极大值点，故， 即，故， 即， 因为， 故，即， 所以， 由于，故， 解得（），故， 则或， 即或， 则实数的最小值为13， 故答案为：13 【点睛】方法点睛：解答此类有关三角函数性质类的题目，要能综合应用三角函数性质，比如周期，最值以及对称性等，求得参数的通式，再结合其他性质即可求解答案. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交并补的定义求解， （2）将问题转化为，对讨论即可求解， （3）根据交集的定义，列不等式即可求解. 【小问1详解】 由， ， 故， 或，故或 小问2详解】 由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， 【小问3详解】 由得，解得， 16. 已知二次函数． （1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质以及不等式，建立不等式组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分二次函数存在一个或两个零点的情况，结合零点的定义以及零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 因为为二次函数，所以， 又因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得． 【小问2详解】 当在上仅有一个零点时，由，解得， 此时零点为，符合题意； 当在R上有两个零点时，，即且， ①当时，，则由解得另一个零点为，符合题意； ②当时，，则由解得另一个零点为，符合题意； ③当时，由零点存在定理，则，即，解得 综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为 17. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可知，利用同角三角函数的诱导公式将原式化简，再给分子分母同除以，得到关于的表达式，代入求值即可； （2）根据及求解出的值，再根据，将上式展开，代入，，及的值求解的值，从而得出的值. 【详解】解：（1）由题意得，， ， （2）若，且，， 则，，， 所以 ， ， ，故. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的运用、考查和差角公式的运用，解答的一般思路如下： （1）当已知关于、齐次式时，可将原式化为关于的表达式求解； （2）当已知角、的三角函数值，求解的三角函数值时，可运用正弦、余弦及正切的和差角公式进行求解. 18. 某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知，， 又 所以 【小问2详解】 当时，，则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390，故当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$