精品解析：安徽省阜阳市太和县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期九年级期末质量检测卷 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，一定是关于 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，则投掷第5次时，硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．闭合开关后，经测试，发现电流（单位：A）随着电阻 （单位： ）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路的（ ） A. 最小电流是6A B. 最大电流是9A C. 最大电流是6A D. 最小电流是9A 8. 若关于 的方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是四边形 的内切圆，若，则四边形 的周长是（ ） A. 22 B. 64 C. 52 D. 44 10. 如图，正方形 的边长为分别为各边上的点，且．设，阴影部分的面积为，则关于 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 12. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 13. 如图，在 中，，将 绕点 顺时针旋转，得到，使点 的对应点恰好落在边上．若，则的度数为______． 14. 如图，是 的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出 关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； （2）请画出 绕原点O顺时针旋转 后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在一个不透明的纸盒中装有几张扑克牌，其中有一张梅花2，一张方片3，两张红桃5． （1）现从该纸盒中任意抽出一张扑克牌，求抽到方片3的概率． （2）现规定：甲同学从该纸盒先随机抽出一张扑克牌（不放回），乙同学再随机抽出一张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，是 轴上的点，且，分别过点作 轴的垂线，交抛物线于点，过点作于点，过点作于点依次进行下去，记的面积为的面积为，的面积为 根据题意，解答下列问题． （1）______； （2）______； （3）______． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间 （月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）求与 之间的函数解析式． （2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． （3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）观察图象，直接写出当时，自变量 的取值范围． （3）把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与 轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点 ，连接 ，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的弦，过圆心 作于点，延长 交于点 ，与过点 的的切线交于点 ，连接 ． （1）求证： 是的切线． （2）若，，求线段的长及阴影部分的面积． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接 ， ， ， ，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边 与边 交于点P时，若，猜想 与的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边 上时，请直接写出的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，以 为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线的顶点为，连接，求的面积． （3）在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期九年级期末质量检测卷 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，一定是关于 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意 是不等于零的常数． 根据二次函数的定义：（且 是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为 ，利用现在生产1千克甲种药品的成本 两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为 ， 根据题意可得， 故选：B． 4. 若投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，则投掷第5次时，硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小，熟练根据概率的知识得出可能性的大小是解题的关键． 根据每次投掷硬币正面朝上的可能性都一样得出结论即可． 【详解】解：每次投掷硬币正面朝上的可能性都为． 故选：C． 5. 正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象是解题的关键．分别判断正比例函数和反比例函数的图象，即可得出答案． 【详解】解：由正比例函数中，， ∴正比例函数的图象是过第一、三象限的正比例函数， 选项B、D符合； 由反比例函数中，， ∴反比例函数的图象是过第一、三象限的反比例函数， 选项C、D符合； 综上，选项D符合题意， 故选：D． 6. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算 的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 7. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．闭合开关后，经测试，发现电流（单位：A）随着电阻 （单位： ）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路的（ ） A. 最小电流是6A B. 最大电流是9A C. 最大电流是6A D. 最小电流是9A 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系． 根据图象观察可得，两个变量之间的函数关系为反比例函数，设，利用待定系数法，则可求出，然后代入求值即可． 【详解】解：根据电压 电流电阻，设， 将代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻为，该电路能通过的最大电流是． 故选：C． 8. 若关于 的方程没有实数根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据没有实数根得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于 的方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：A 9. 如图，是四边形 的内切圆，若，则四边形 的周长是（ ） A. 22 B. 64 C. 52 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键．设切点分别为 ， ， ， ，连接 ，，，，根据四边形 是的外切四边形，得出，，，，证得，再根据，即可得出四边形 的周长． 【详解】解：设切点分别为 ， ， ， ，连接 ，，，， 四边形 是的外切四边形， 由切线长定理可得，，，， ， ， 所以四边形 的周长． 故选：D． 10. 如图，正方形 的边长为分别为各边上的点，且．设，阴影部分的面积为，则关于 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】解：正方形 边长为1，， ，， ， 是 的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上， 从4个选项来看，只有B符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知 是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为2025． 12. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 13. 如图，在 中，，将 绕点 顺时针旋转，得到，使点 的对应点 恰好落在边 上．若，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，先根据旋转得到，，然后根据等边对等角得到，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是 的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是 的内心，所以，，则即可求得． （2）作 于点 ，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设 的内切圆的半径为 ，与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接 、、 、 ，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是 的内心， 平分 ，平分 ， ， ， ， 答案为：． （2）作 于点 ，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设 的内切圆的半径为 ，与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接 、、 、 ， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得． 16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出 关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； （2）请画出 绕原点O顺时针旋转 后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换（旋转作图，原点对称作图），正确理解旋转的性质，原点性质是解题关键． （1）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数确定对应点，，的坐标，依次连接即可； （2）根据旋转的性质可知，对应角都相等旋转角，对应线段也相等，再通过作直角，在角的边上截取相等的线段的方法，确定对应点，，的坐标，依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在一个不透明的纸盒中装有几张扑克牌，其中有一张梅花2，一张方片3，两张红桃5． （1）现从该纸盒中任意抽出一张扑克牌，求抽到方片3的概率． （2）现规定：甲同学从该纸盒先随机抽出一张扑克牌（不放回），乙同学再随机抽出一张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键． 根据题意，利用概率公式求解即可． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的情况数目，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽到方片3的概率为． 【小问2详解】 根据题意画树状图如图所示． 共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的结果有6种， 甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不低于8的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，是 轴上的点，且，分别过点作 轴的垂线，交抛物线于点，过点作于点，过点作于点依次进行下去，记的面积为的面积为，的面积为 根据题意，解答下列问题． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到． 【小问1详解】 解：当 时，，则，所以， 故答案为：． 【小问2详解】 当 时，，则，所以； 当时，，则，所以； 同样的方法可得，； 故答案为：． 【小问3详解】 由（1）（2）可得，， 所以， 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间 （月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）求与 之间的函数解析式． （2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． （3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】（1） （2） 月份 （3）万元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与 的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与 之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； 【小问3详解】 解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）观察图象，直接写出当时，自变量 的取值范围． （3）把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与 轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点 ，连接 ，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及一元二次方程，函数图象与不等式结合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点代入求出 ，即可知点 坐标，再代入反比例函数中即可求解； （2）当时，即，由，求出与的交点坐标，利用，即求的图象在的图象下方（包括重合）所对应的自变量 的取值范围，即可求解； （3）设直线 的解析式为，代入，求出直线 的解析式，再联立，求出点 坐标，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得：， 点． 将点代入， 得， 解得：， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 由， 解得：，， 即与的交点坐标为和， 观察图象，可知时， 的取值范围是或， 故时， 的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设直线 的解析式为． 将点代入，得， 解得：， 直线 的解析式为， 由，得， 整理，得， 解得：，， 点 的坐标为， ． 六、（本题满分12分） 21. 如图， 是的弦，过圆心作于点 ，延长 交于点 ，与过点 的的切线交于点 ，连接 ． （1）求证： 是的切线． （2）若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2），阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接 ， ，利用得出 垂直平分 ，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为 ，则，，在中，利用列式求出 ，利用， 求出，则，即可求出 和 ，则可求出，求出，利用即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接 ， ， 为的切线， ， ． ， ， 即 垂直平分 ， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为 ，则，， 由（1）可知． ， ， 解得： ， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接 ， ， ， ，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边 与边 交于点P时，若，猜想 与 的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边 上时，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）①； 理由： ∵，， ∴， ∵矩形 中， ∴ ， ∴， ∴， ∴； ②； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，（3）问的关键是构造，得到，由求解． （1）证明即可得，，由此即可证明结论； （2）①证明，由等边对等角即可得出结论； ②作，易证明，由此得出，进而求出求旋转角度； （3）延长 、 交于点 ，易求，，再证明，可得，，进而可得． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵矩形 中，， 由①得， ∴， ∴， 又 ， ∴，， 即旋转角度 （3）延长 、 交于点 ， ∵矩形矩形， ∴，， ， ∴，， ∴， 在矩形 中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，以 为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线的顶点为 ，连接，求的面积． （3）在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点 作轴于点 ，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式为．设直线 和 轴的交点为 ，得到点 的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长 至点 ，使，过点 作轴于点 ，证明进一步得到点．过点 作为垂足，且使，连接 ，则四边形为正方形．过点 作轴于点 ，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，过点 作轴于点 ，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由， 点 的坐标为． 设直线 的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线 的解析式为． 设直线 和 轴的交点为 ， 当 时，，解得 ∴点 的坐标为， ， ． 【小问3详解】 存在．如图，延长 至点 ，使，过点 作轴于点 ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点 作为垂足，且使，连接 ，则四边形为正方形． 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当 时，， 当 时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $