精品解析：江苏省无锡市经开区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024年秋学期期末考试试卷 九年级数学 2025.01 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 3. 若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ） A. 众数9环 B. 中位数是9环 C. 平均数是8环 D. 方差是1.2环 5. 二次函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 甲袋装有4个红球和1个黑球，乙袋装有6个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别，分别搅匀两袋中的球，从袋中分别任意摸出一个球，正确说法是（ ） A. 从甲袋摸到黑球的概率较大 B. 从乙袋摸到黑球的概率较大 C. 从甲、乙两袋摸到黑球的概率相等 D. 无法比较从甲、乙两袋摸到黑球的概率 7. 下列判断正确的是（ ） A. 弧长相等的弧是等弧 B. 过三点可以确定一个圆 C. 同弧或等弧所对的圆心角相等 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 8. 如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( ) A. b≤-2 B. b<-2 C. b≥-2 D. b>-2 10. 如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 方程的根为__________． 12. 写一个二次函数表达式，使其函数图像开口向上且对称轴是轴：______． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为________． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于_____度 16. 方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 17. 如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是_____．（填写正确的序号） 18. 如图，是的直径，的角平分线所在直线交于点．若，，则的长为______，的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 21. 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB． (1)求证：△ABE∽△ACB； (2)如果AB＝6，AE＝4，求CD的长． 22. 为进一步落实立德树人根本任务，全面推进素质教育，提升学生综合素养．某校组织七年级学生进行综合测评活动，内容包括品德行为表现、学业表现、实践与创新能力和身心素质四个方面．小明和小红两位同学的检测成绩（百分制）如下表（单位：分）： 姓名 品德行为表现 学业表现 实践与创新能力 身心素质 小明 88 87 82 87 小红 76 89 89 86 （1）分别对两位同学的检测成绩进行数据计算，补全下表： 姓名 平均分 中位数 众数 方差 小明 86 87 ______ ______ 小红 85 ______ 89 28.5 （2）你认为小明和小红谁的综合测评成绩更好？结合数据，从两个角度进行分析． （3）若将这四个方面的测评成绩分别按权重计算最终的综合测评分，请分别计算小明和小红的综合测评分． 23. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．以下四张图片分别是巴黎奥运会的会徽，吉祥物，奖牌以及火炬，用编号A，B，C，D来表示，这4张图片背面完全相同，现将这四张图片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为______； （2）将会徽和吉祥物Phryge的组合或奖牌和火炬的组合称为“一套”，小王和小高依次从中随机抽取一张图片（没有放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张图片恰好为一套的概率． 24. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 25. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求阴影部分面积． 26. 某公司推出一款消毒产品，成本价为8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的且销售量与销售单价的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 10 15 18 20 日销售量（千克） 240 190 160 140 （1）求关于的函数表达式； （2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？ （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 27. 如图，点是正方形边上一点，连接，以为直径作，与对角线的另一交点为，连接，． （1）判断的形状，并加以证明： （2）若正方形的边长为6，与的交点为，将沿翻折，的对称点是， ①当刚好落在上时，求的长； ②直线与的交点为，则的最大值为______． 28. 如图，二次函数的图像交轴于，两点，与轴交于点，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若点是函数图像位于第四象限上的动点， ①当时，求点坐标； ②过点作交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期末考试试卷 九年级数学 2025.01 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟．试卷满分150分． 一、选择题（共10小题、每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，未知数最高次为3，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 3. 若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，由此进行判断即可． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离． 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离. 4. 某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（ ） A. 众数是9环 B. 中位数是9环 C. 平均数是8环 D. 方差是1.2环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的求法进行计算，再逐项判断即可． 【详解】解：将8次射击成绩从小到大排列为：7，8，8，9，9，10，10，10， 可知众数10环，故A错误，不符合题意； 中位数为：环，故B正确，符合题意； 平均数为：，故C错误，不符合题意； 方差：，故D错误，不符合题意， 故选：B． 5. 二次函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 利用配方法化为顶点式即可得解． 【详解】解：， ∴顶点为， 故选：D． 6. 甲袋装有4个红球和1个黑球，乙袋装有6个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别，分别搅匀两袋中的球，从袋中分别任意摸出一个球，正确说法是（ ） A. 从甲袋摸到黑球的概率较大 B. 从乙袋摸到黑球的概率较大 C. 从甲、乙两袋摸到黑球的概率相等 D. 无法比较从甲、乙两袋摸到黑球的概率 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的计算法则可得：甲袋P（摸到黑球）=；乙袋P（摸到黑球）=.根据可得：从乙袋摸到黑球的概率较大. 考点：概率的计算 7. 下列判断正确的是（ ） A. 弧长相等的弧是等弧 B. 过三点可以确定一个圆 C. 同弧或等弧所对的圆心角相等 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 8. 如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质．由，，得，可得，，从而得，，把两式相加得，从而求出的长度． 【详解】解：，，， ∴， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 9. 如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( ) A. b≤-2 B. b<-2 C. b≥-2 D. b>-2 【答案】C 【解析】 【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围. 【详解】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D； 因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-≤1，解得b≥-2，故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解. 10. 如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 如图，连接，，，构成直角三角形以及相似三角形，根据，可得，设，则，，根据勾股定理可得方程求出的长以及的长，即可得到所求的比值． 【详解】解：如图，连接，，， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 方程根为__________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将方程移项化为一般形式，通过因式分解求解即可． 详解】原方程移项得，， 因式分解得，， 解得，或， 即，， 故答案为：，． 12. 写一个二次函数表达式，使其函数图像开口向上且对称轴是轴：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握：对于，时图象开口向下，时图象开口向上，对称轴为． 对于二次函数，由图象开口向上可知，由对称轴是轴可知，由此可解． 【详解】解：对于二次函数， ∵图象开口向上， ∴， ∵对称轴是轴， ∴，即， ∴符合条件的二次函数表达式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，熟知圆锥的侧面展开图是半径为母线，弧长为底面圆的周长的扇形是解题的关键． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于_____度 【答案】25 【解析】 【详解】试题解析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°， ∴∠D=∠BOC=×50°=25°． 考点：圆周角定理． 16. 方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，几何概率，理解几何概率的意义是解题的关键．由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的，即可求出该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率． 【详解】解：由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的， ∴在图②中任取一点，该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是， 故答案为：． 17. 如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是_____．（填写正确的序号） 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；把和代入抛物解析式可对②选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；根据时，，则，来判断④；利用二次函数的增减性对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 把代入抛物线得， 而， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标在与之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间， ∴一元二次方程的正实数根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向上， ∴时，， ∴ ∴， ∴，故④正确； ∵点，抛物线上， ∴当点都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即， ∴当或时，即当实数时，，故⑤正确， ∴正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 18. 如图，是的直径，的角平分线所在直线交于点．若，，则的长为______，的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. ## 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据勾股定理求出的值；连接，，根据同弧或相等的弧所对的圆周角相等和角平分线的性质得出及是等腰直角三角形，求出的长，再根据相似三角形的性质得出各线段的比例关系，求出的长，即可求的值． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴根据勾股定理得， 连接，， ∵平分，， ∴， 又∵，（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的性质等，根据相似三角形的性质得出线段的比例关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得： 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 21. 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB． (1)求证：△ABE∽△ACB； (2)如果AB＝6，AE＝4，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)CD＝． 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得； （2）由△ABE∽△ACB根据相似三角形的性质可求得AC的长，继而可得CE长，通过证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得CD的长. 【详解】(1)∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； (2)∵△ABE∽△ACB， ∴，即，解得AC＝9． ∴CE＝9﹣AE＝5． ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即，解得CD＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 22. 为进一步落实立德树人根本任务，全面推进素质教育，提升学生综合素养．某校组织七年级学生进行综合测评活动，内容包括品德行为表现、学业表现、实践与创新能力和身心素质四个方面．小明和小红两位同学的检测成绩（百分制）如下表（单位：分）： 姓名 品德行为表现 学业表现 实践与创新能力 身心素质 小明 88 87 82 87 小红 76 89 89 86 （1）分别对两位同学的检测成绩进行数据计算，补全下表： 姓名 平均分 中位数 众数 方差 小明 86 87 ______ ______ 小红 85 ______ 89 28.5 （2）你认为小明和小红谁的综合测评成绩更好？结合数据，从两个角度进行分析． （3）若将这四个方面的测评成绩分别按权重计算最终的综合测评分，请分别计算小明和小红的综合测评分． 【答案】（1）见解析 （2）小明综合测评成绩更好，理由见解析 （3）小明综合得分86.3分，小红综合得分84.8分 【解析】 【分析】此题考查了中位数、众数、方差、加权平均数等统计量的计算和应用，熟练掌握各统计量的求解方法是解题的关键． （1）分别求出小红成绩的中位数，小明的众数和方差，完成表格即可； （2）根据题目中提供的数据进行分析解答即可； （3）分别计算两人的加权平均数即可得到答案． 【小问1详解】 解：小明得87分出现了2次，且最多， 因此小明得分众数为87分，， 小明得分方差为： 小红得分从小到大为，因此中位数为， 则填表为： 姓名 平均分 中位数 众数 方差 小明 86 87 ___87___ ___5.5___ 小红 85 __87.5____ 89 28.5 【小问2详解】解：小明综合测评成绩更好， 从平均数看，小明的平均分高于小红，所以小明的平均成绩更好； 从方差看，小明的方差小于小红，所以小明的成绩更加稳定； 【小问3详解】 解：小明综合得分：分； 小红综合得分：分． 23. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．以下四张图片分别是巴黎奥运会的会徽，吉祥物，奖牌以及火炬，用编号A，B，C，D来表示，这4张图片背面完全相同，现将这四张图片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为______； （2）将会徽和吉祥物Phryge的组合或奖牌和火炬的组合称为“一套”，小王和小高依次从中随机抽取一张图片（没有放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张图片恰好为一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是熟练掌握画树状图． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，小明和小红她们抽到的两张卡片恰好配套的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张图片， ∴从中任意抽取一张图片，恰好是“吉祥物Phryge”的概率为． 故答案为∶ ． 【小问2详解】 解：画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好配套的结果有4种，分别是∶、、、， ∴她们抽到的两张卡片恰好配套的概率为． 24. 如图，已知中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）①作的平分线与交点即为点，以为圆心，为半径画圆，则与的交点即为切点，根据角平分线的性质定理即可说理； ②过点作的垂线与交点即为点，由垂径定理的推论可得； （2）连接，先导角证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求： ②如图，点即为所求： 【小问2详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∵ ∴， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，尺规作图角平分线和垂线等知识点，正确作图是解题的关键． 25. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，即，即可得证； （2）解求得，，由计算即可． 【小问1详解】 解：直线与的位置关系是相切，理由如下： 如图，连接，     ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：连接     ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26. 某公司推出一款消毒产品，成本价为8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的且销售量与销售单价的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 10 15 18 20 日销售量（千克） 240 190 160 140 （1）求关于的函数表达式； （2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？ （3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为14元 （3）当销售单价为21元时，每天获得的利润最大，最大利润为1590元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并掌握二次函数的性质． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出方程求解； （3）在利润表达式基础上减去捐赠的100元，再通过求二次函数最值来确定销售单价和最大利润． 【小问1详解】 解：设，将和代入可得： ， 用第二个方程减去第一个方程：， 即， ， 解得， 把代入得：， 解得， ∴关于的函数表达式为． 【小问2详解】 解：销售单价为元，则每千克利润为元，日销售量为千克， 根据利润每千克利润销售量，可得：， 展开式子得， 即， ， ， 分解因式得， 解得，， ∵单价不高于22元， ∴舍去， ∴销售单价应为14元． 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为元，则， 展开式子得， 即， 对于二次函数，， ∴图象开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值，， 解得（元）， ∴当销售单价为21元时，每天获得的利润最大，最大利润为1590元． 27. 如图，点是正方形的边上一点，连接，以为直径作，与对角线的另一交点为，连接，． （1）判断的形状，并加以证明： （2）若正方形的边长为6，与的交点为，将沿翻折，的对称点是， ①当刚好落在上时，求的长； ②直线与的交点为，则的最大值为______． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再由正方形的性质和同弧所对的圆周角相等可得，据此可得结论； （2）①由折叠的性质可得，，则，如图所示，过点M作于H，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则；证明，根据相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案；②设，则，同理可证明，利用相似三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径，且点F在上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：①由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，过点M作于H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则； 同理可证明， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②设，则， 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，圆的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 28. 如图，二次函数的图像交轴于，两点，与轴交于点，且． （1）求二次函数的表达式； （2）若点是函数图像位于第四象限上的动点， ①当时，求点坐标； ②过点作交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解； （2）①过点A作于，延长交轴于点，则，先求，则利用等角三角函数值相等求出，再求直线表达式，于抛物线表达式联立即可求解； ②过点P作于点T，过点P作交于，得到，将问题转化为求的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像交轴于，两点，与轴交于点，且， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：①过点A作于，延长交轴于点， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴， 解得： ， ∴直线表达式为， 联立抛物线表达式得：， 解得：或（舍）， ∴； ②过点P作于点T，过点P作交于， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以同上可求：直线表达式为： 设， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，角度的存在性问题，解直角三角形等知识点，难度较大，解题的关键需要进行转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $