精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高二上学期1月期末检测数学试题

资阳市安岳中学2024-2025学年度上期高二年级期末检测 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合两点求斜率以及斜率与倾斜角的关系即可求出结果. 【详解】因为，所以直线AB的倾斜角为. 故选：D. 2. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义,求解即可. 【详解】依题意，，， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 4. 设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值． 【详解】设方程为， 由， 消去得， 则有①， 由得， 即②， 由①②解得 ， 故选：A 5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件定义可知AB正误；根据独立事件概率乘法公式可知C错误；根据对立事件概率公式可求得D错误. 【详解】对于A，两人射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独立，A正确； 对于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”， 与不是对立事件，B错误； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A. 6. 若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程. 【详解】 如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：， 直线l与之垂直，则直线l的斜率为， 又直线l过点，故直线l的方程为，即. 故选：B. 7. 设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（ ） A. B. C. 或1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 8. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案 【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误 对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确 对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误 对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确 故选：BD 【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则，则，故，故A正确； 设直线，联立则， 设，则， 故.， 解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故C正确； 由上述分析可知，， 圆可化为，圆心，半径， 易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直， ，两切点连线的斜率为， 故两切点连线为， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛： 联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法． 面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数． 圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程． 11. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线，的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果. 【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得. 所以，直线的方程为，直线的方程为，即， 因此，两直线间的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 13. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足，则实数k的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据求出点P的轨迹方程，只需直线与点P的轨迹有公共点即可. 【详解】设点P（x，y），由可得，又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在圆x2＋（y－3）2＝9上，又在直线上，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离， 解得，所以实数k的最小值为. 故答案为： 【点睛】此题考查求曲线的轨迹方程和通过直线与圆的位置关系求参数的取值范围，直线与圆有公共点转化为圆心到直线距离小于等于半径. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，，. （1）求边BC上的高所在直线的方程； （2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其高线方程； （2）当直线l过坐标原点时可得直线方程；当直线l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、，且， 所以其高线斜率满足，即， 所以边BC的高所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知点，圆. （1）若点､点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程； （2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）设，中点为，在中，可得，再由弦长公式可得，代入点的坐标整理得答案； （2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，即，利用弦长公式及点到直线的距离公式列式求得值，则直线方程可求． 【详解】解：（1）设，中点为， 在中，， 在圆中，由弦长公式可得， ， 即， 整理得：． 该圆的圆心到圆圆心的距离，而． 曲线在圆内，符合要求， 即曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，，此时求得弦长为，满足题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 由弦长公式可得：，则， 解得：， 直线方程为， 综上，直线的方程为或． 【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，直线与圆位置关系的应用，还涉及圆的弦长、点到直线的距离公式和直线方程，考查计算能力． 17. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）求中国队在已输一场的情况下获胜的概率； （3）求至多进行四场比赛的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式进行求解即可； （2）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. （3）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件，分别求出、、、的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【小问1详解】 设事件“中国队以的比分获胜”， 中国队在每一场中获胜的概率均为， ， 中国队以的比分获胜的概率为； 【小问2详解】 设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”， ， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， ， 与是互斥事件， ， 中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； 【小问3详解】 设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件， ，， ，， ，，，是互斥事件， ， 至多进行四场比赛的概率为. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点． （1）若平面平面，求证：； （2）若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2）或 【解析】 【分析】（1）由证明平面，再由线面平行的性质得到； （2）取中点，作，由等腰三角形得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，然后建立空间直角坐标系，由已知线段的几何关系求得线段长，写出点坐标，设得到点坐标，然后写出面的向量求出两个面的法向量，由空间向量表示出面面角建立方程，解得的值即为的值. 【小问1详解】 ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. 【小问2详解】 如图，取中点，连接，过作交于点， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴， ∵， ∴， ∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系， ∵，，，且，∴ ∴，，，，， ∴，设，则， ∴，，，， 设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：，， 则，， 令，，解得，， 设平面ABE与平面PCD的夹角为，则， 即，∴或， 即或. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上． （1）求的方程． （2）设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程； （2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 故双曲线C的方程为： 【小问2详解】 由双曲线的对称性，又点及点均在轴上， 若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上. 故假设存在定点，使得以为直径的圆过点. 双曲线的左顶点， 由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：， 设，， ∴， ，解得， ∴， 由直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得. 又直线的方程为，代入， 同理，直线的方程为，代入. 要使以为直径的圆过点，则. ∴， ∴ ， 解得，或 故存在定点，或，使得以为直径的圆过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳市安岳中学2024-2025学年度上期高二年级期末检测 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 6. 若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（ ） A. B. C. 或1 D. 1或 8. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ） A. B. 若，则直线倾斜角的正弦值为 C. 若的面积为6，则直线的斜率为 D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 11. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线，的距离为__________. 13. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足，则实数k的最小值为________． 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，，. （1）求边BC上的高所在直线的方程； （2）若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程. 16. 已知点，圆. （1）若点､点都为圆上的动点，且，求弦中点所形成的曲线的方程； （2）若直线过点，且被（1）中曲线截得的弦长为，求直线的方程. 17. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）求中国队在已输一场的情况下获胜的概率； （3）求至多进行四场比赛的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点． （1）若平面平面，求证：； （2）若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上． （1）求的方程． （2）设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $