精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年高一上学期12月段考数学试题（创新班）

丰城中学2024-2025学年上学期高一创新班段考试卷 数学 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】由可得，解得或； 由. 所以. 故选：D. 2. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 3. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用抽象函数求定义域的方法求解的定义域. 【详解】解：由根据函数的解析式 可知，有，即定义域为 定义域为. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案. 【详解】由已知的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故C、D错误； 当时，，所以，故B错误. 故选：. 5. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 6. 苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知是24位数，则正整数的值为（ ） 3 4 5 6 7 8 9 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据位数定义利用对数运算表可得. 【详解】由题意可知，两边同时取对数可得， 所以，故， 由表中数据可知， 故选：C 7. 若函数是偶函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数定义可化简整理得到，代入消元，可将所求式子化为关于的二次函数，结合二次函数值域和的范围可求得结果. 【详解】为偶函数，，即， ， ，，，则， ， 且，，即的取值范围为. 故选：C. 8. 函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过条件，以及与的图象关于对称，的图象关于对称得到，然后利用等量代换以及基本不等式可分别判断各个选项. 【详解】由已知，即， ，即， 令 ，则， 又因为与的图象关于对称，的图象关于对称， 所以与分别与的交点关于对称， 所以，即， 又因为，， 由零点存在性定理可知， 又，即，所以， 对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，又， ，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立，不可能， 所以，D错误. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “是“”的充要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充分不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据命题的否定即可求解AB，根据不等式的性质，结合充要条件的定义和函数单调性即可求解C，根据一元二次方程根的分布即可求解D. 【详解】对于A， 命题“”的否定是“”，故A正确， 对于B，命题“”的否定是“”，故B错误， 对于C，设，函数定义域为R，，为奇函数， 当时，单调递增，则在R上单调递增， 可得，即， 因此“是“”的充要条件，C正确， 对于D，方程有一正一负根需要满足，解得， 因此“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D错误， 故选：ABC 10. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据分层抽样均值的求法，计算出，再比较即可；对于B，举例说明即可判断；对于C，由分层抽样方差公式计算出，结合实例判断；对于D，计算出即可判断． 【详解】对于A选项，因为， 所以，， 即，A正确； 对于B选项，不妨设第一部分样本数据为1，1，1，1，1，则，， 设第二部分样本数据为，9，则，，所以，B不正确； 对于C选项，不妨设第一部分样本数据为，，0，1，2，则，， 设第二部分样本数据为1，2，3，4，5，则，， 所以总样本的平均数， 所以，C不正确； 对于D选项，若，，则总样本的平均数， 所以，D正确． 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0； 对于B，举出反例；对于C，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误； 对于D，分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为. 【详解】选项A：时，，又因为，，故函数最小值为0（当时取到），选项正确； 选项B：不妨设，此时， 当时， 当时， 故，此时函数不存在最小值，选项错误； 选项C：在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，且， 当时，，故当时，在R上不单调递增，选项错误； 选项D：在上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在使得， 当时，无解，即在上无零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，在上有1个零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，，由A知，此时有1个零点，即， 当时，在上无零点，在上也无零点， 此时，则函数的值域为，选项正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可. 【详解】由题意得“，”是真命题，故， 因为，所以m的取值范围是． 故答案为： 13. 已知函数是奇函数，则的值等于__________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用奇函数定义可构造方程求得，代入解析式即可求得结果. 【详解】为奇函数，，即， ，整理可得：， ，解得：； 当时，，； 当时，，； 综上所述：或. 故答案为：或. 14. 若三个函数的零点分别为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根将问题转为为，，根据反函数的性质可得，进而可求解，即可求解. 【详解】由 ，故 令，则，， 联立，解得， 由于函数互为反函数，图象关于对称， 因此，的两个根分别为，则， 故，因此， 故， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据，，利用互为反函数，根据对称性可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）若图象恒在图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，得到，求得，即可求得的解析式； （2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，令，得到，再令，则，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数的定义域为， 令，因为，所以，则， 所以， 即函数的解析式为. 【小问2详解】 由图象恒在图象的下方，即恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 令，则， 再令，则， 当且仅当时，即，时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 16. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. （1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； （2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系； （2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值. 【小问1详解】 解：依题意可知，， 即 【小问2详解】 解：因为， 所以当时，， 所以当时； 当时， ， 当且仅当,， 即时等号成立，而， 由对勾函数性质可知在单调递减， 所以当，即时，， 又因为， 所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为. 17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件） 质量指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数． （2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：） 【答案】（1）69 （2）可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 【解析】 【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解． （2）根据定义先求出，，，，再利用频率分布表能求出结果． 【小问1详解】 设产品的某项质量指标值的70百分位数为， 则， 解得． 【小问2详解】 由，知， 则，， 该抽样数据落在内的频率约为， ，， 该抽样数据落在内的频率约为， 可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或， 解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 19. 正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”. （1）若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由； （2）若，证明：集合不是“三元可拆集”； （3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是，，可拆成或､； （2）证明:对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数， 则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而， 中所有元素和为，与和为偶数矛盾， 所以集合不是“三元可拆集”； （3）有48个元素，可以拆成16个三元子集， 将这16个三元子集中的最大的数依次记为， 则； 另一方面，中所有元素和为， 所以， 所以，解得，即； 当时，，可拆为､ ､ ､ （拆法不唯一）； 综上所述，的最大值是7. 【解析】 【分析】（1），可拆成或､； （2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，中所有元素和为，与和为偶数矛盾； （3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为，利用等差数列求和得到，结合，得到不等式，求出，当时写出相应的集合以及具体拆法，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学期高一创新班段考试卷 数学 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 3. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. 苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知是24位数，则正整数的值为（ ） 3 4 5 6 7 8 9 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 若函数是偶函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”的否定是“” C. “是“”的充要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充分不必要条件 10. [多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 设总样本的方差为，若，，则 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 13. 已知函数是奇函数，则的值等于__________ 14. 若三个函数的零点分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）若图象恒在图象的下方，求实数的取值范围. 16. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. （1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； （2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件） 质量指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数． （2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：） 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”. （1）若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由； （2）若，证明：集合不是“三元可拆集”； （3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $