精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐四十一中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解. 【详解】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 2. 已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得与和均平行的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解． 【详解】根据题意，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为2， 则,0,，,0,，,0,，,2,， ,2,，,2,，,1,，,1,， 所以，， 设与和均平行的平面的法向量为,,， 则有，令，则,1,， 对于A，，则， 所以与和共面，故A正确； 对于B，，则， 所以不与和共面，故B错误； 对于C，，则， 所以不与和共面，故C错误； 对于D，，则， 所以不与和共面，故D错误． 故选：A． 3. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】由题设，，， 在方向上的投影向量为. 故选：D 4. 已知直线与圆相切，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径的的关系，消元后利用基本不等式求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题知，，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以，所以的最大值为. 故选：C 5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A 6. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程形式，确定圆，圆的圆心和半径，根据条件可得两圆外切，结合圆的位置关系列方程求. 【详解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 7. 已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积. 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（ ） A. 若，则平面 B. C. 若且平面过点，则的最小值为4 D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D. 【详解】对于选项 A，因为，即，所以，从而平面， 又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确； 对于选项B， 连接并延长交于点H ，连接，则，因为O是重心，所以 ，故B错误； 对于选项C，因为，且，所以，又因为平面过点O，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项 D，延长交于Q，连接，并延长交于F ， 设，在如图②所示的图形中，由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为三点共线，所以，所以 ，即， 所以点F到平面的距离为点C到平面的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为，即点C到平面的距离为，故点F到平面得距离为.故D正确. 故选：ACD. 10. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值. 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点，动点与两点连线的斜率分别为且（为常数），下列结论正确的有：（ ） A. 若，则动点一定在椭圆上 B. 若，则动点一定在双曲线上，且双曲线的焦点在轴 C. 若，则的取值范围是 D. 若为坐标原点，且直线上存在点使得，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可得，再由椭圆以及双曲线定义可判断A错误，B正确，利用椭圆的参数方程以及辅助角公式计算可得C正确，利用直线和圆的位置关系，由点到直线距离解不等式可得结果. 【详解】由可得，即 对于A，若，则点M在圆上，选项A错误 对于B，若，则点轨迹为焦点在轴上的双曲线，B正确 对于C，若，则，即， 可设点， 则，可得C正确 对于D，当时，点M轨迹为， 当垂直于直线，且为圆切线时，此时最大， 此时需满足，即， 由点到直线距离，解得，D正确. 故选；BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且共面，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三个向量的坐标，得出向量，不共线，根据，，共面，得出可由，表达，列出对应关系式，即可得出结论 【详解】由题意，， 因为向量，不共线，且，，共面， 所以存在实数，使得， 即有，解得：． 故答案为：1. 13. 设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合已知及斜率两点式求参数值即可. 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 14. 将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】新双曲线的实轴长为2, 若的离心率最大，即焦距最大,由双曲线的定义可求得的值，从而知道点的轨迹，进而知道在何时取得最大值，即能求出点坐标. 【详解】由题意知，新双曲线的实轴长为2．若的离心率最大，则最大． 由双曲线定义可知，，又， 所以或， 所以点在以为圆心，7为半径的圆上，或者点在以为圆心，3为半径的圆上， 故，或， 所以，此时点在的延长线上， 设，则，解得，，即． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知等腰梯形分别为的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足. （1）证明：平面； （2）设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 在线段取一点，使得， 因为，所以，且， 因为， 所以，所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 存在，理由如下： 因为等腰梯形分别是的中点， 所以平面， 所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，，， 所以，， 设，因为， 所以， 解得，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则， 解得，因为，所以. 16. 在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. （1）建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； （2）设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； （3）求出. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； （3）根据计算即可. 【小问1详解】 以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； 【小问2详解】 由题意知，， 故； 【小问3详解】 ， 所以. 17. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 18. 已知的周长为定值，、、，的最大值为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性可知当时，角取最大值，结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，求出的值，即可得出曲线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点的横坐标以及，考虑即可，结合基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 设，，设，即，且， 由三角形的三边关系可得，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为余弦函数在上为减函数，且， 故当取最大值时，取最小值，所以，，解得， 所以，， 因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为， 所以，， 因此，动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 易知点，根据题意，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 则， 故点，所以，， 线段的中点为，， 所以，线段的中垂线方程为， 同理可得，线段的中垂线方程为， 其中，， 联立，可得， 所以，， 要求的最大值，只需考虑即可， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等. （1）求证：的方程为：； （2）如图2：在（1）的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于. 求证：（ⅰ） （ⅱ） 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用联立方程组应用判别式计算得出椭圆上在点处的切线方程得证； （2）（ⅰ）先联立方程组得出得出韦达定理再结合即可证明；（ⅱ）先联立方程求出，进而得出，最后结合光学性质得出，再根据相似证明结论即可. 【小问1详解】 当切线斜率存在时，设直线与相切于点， 联立直线和椭圆方程可得， 所以，整理可得； 又易知，即，所以可得； 整理可得； 又因为切点在椭圆上，即，整理可得 联立①②可得，即，可得； 所以切线方程为，化简可得； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆上在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以双曲线， 得出的方程为：， 设，再用与联立， ， 得到， 所以， ， 同（1）写出的方程， ,， 得到其斜率之积，又因为所以，即可得出； （ⅱ）联立，得到， 因为,于是，用两点之间距离公式计算 ，，， 由此可得：，再由光学性质得到直线与的夹角大小相等， 所以，又因为，所以与相似，从而. 【点睛】关键点点睛：解题第二问的关键点是对（1）的结论即椭圆上在点处的切线方程为的应用求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年新疆乌鲁木齐四十一中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 2. 已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相切，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 7. 已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（ ） A. 若，则平面 B. C. 若且平面过点，则的最小值为4 D. 若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 10. 若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆和y轴相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 11. 已知点，动点与两点连线的斜率分别为且（为常数），下列结论正确的有：（ ） A. 若，则动点一定在椭圆上 B. 若，则动点一定在双曲线上，且双曲线的焦点在轴 C. 若，则的取值范围是 D. 若为坐标原点，且直线上存在点使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且共面，则______． 13. 设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 14. 将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知等腰梯形分别为的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足. （1）证明：平面； （2）设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由. 16. 在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. （1）建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； （2）设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； （3）求出. 17. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 已知的周长为定值，、、，的最大值为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 19. 椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等. （1）求证：的方程为：； （2）如图2：在（1）的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于. 求证：（ⅰ） （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $