专题21 四边形中的五种类型的作图（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题21 四边形中的五种类型的作图（原卷版） 类型一 四边形中的尺规作图 1．（2023春•商南县校级期中）如图，直线l1∥l2，线段AD分别与直线l1，l2交于点B，C，且AB＝CD．请使用尺规作图的方法，在l1，l2上分别作出点M，N，使得四边形AMDN为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2023春•市南区期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：△ABC， 求作：▱BCDE，使得D在AB边上，且它到AC、BC两边的距离相等． 类型二 四边形中的计算作图 3．（2023春•瑞安市期中）如图，在方格纸中按要求画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为1，点A，B，C，D都必须在格点上） （1）在图1中画一个▱ABCD，使∠ABC＝135°，BC＝3． （2）在图2中画一个▱ABCD，使各边长均为无理数，且该平行四边形的面积为6． 4．（2023•宝山区三模）如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是60°．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）． （1）在图1﹣1和图1﹣2中分别画▱ABCP，使∠CPA＝120°，▱ABCP的面积为，且这两个平行四边形不全等； （2）在图2﹣1和图2﹣2中分别画矩形PQMN，使矩形PQMN的面积为，且这两个矩形互不全等． 类型三 四边形中非网格无刻度直尺作图 5．（2023春•大余县期末）如图所示，线段EF的两端点E，F分别是正方形ABCD的边BC，AD的中点，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，以EF为较长对角线画菱形EHFG： （2）在图（2）中，以BD为较长对角线画菱形DNBM． 6．（2023春•峡江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BC，点E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图①中，在CD上找一点F，使得EF∥AC； （2）在图②中，在AC上找一点P，使得BP平分∠ABC． 7．（2023春•仪征市期末）如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在边AD上找点F，使得直线EF将正方形ABCD的面积平均分成相等的两部分：（在图1中完成） （2）在边AB上找点G，使得BG＝BE；（在图2中完成） （3）连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 类型四 斜边网格中的无刻度直尺作图 8．（2024春•新余期末）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形． （1）在图1中画出以AB为边的矩形ABCD，且点C，D均在格点上； （2）在图2中画出以AB为边的菱形ABEF，且点E，F均在格点上． 9．（2023春•镇海区期末）如图1，图2，图3是由边长为1且有一个内角为60°的菱形构成的网格，A，B是格点．只用不含刻度的直尺按以下要求画图，并保留画图痕迹． （1）在图1中画出线段AB关于点O的中心对称图形； （2）在图2中画一个以AB为一边的矩形ABCD（C，D为格点），并写出矩形ABCD的面积； （3）在图3中以AB为一边的作一个矩形ABCD（C，D不一定为格点），使其面积为3． 类型四 正方形网格中的无刻度直尺作图 10．（2023春•江汉区期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点时做格点．图中A、B，C都是格点，点D在网格线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）填空：AB与BC的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）在图（1）中作矩形ABCP，并过点D作直线l，使直线l平分矩形ABCP的面积； （3）在图（2）中取AD的中点M，在BC上找一点N，使MN⊥BC． 11．（2024•南关区二模）如图是由小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，O，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，在射线OA上画点C，使∠CBO＝∠AOB； （2）在图（2）中，在射线OA上画点D，使∠ABD＝∠AOB； （3）在图（3）中，画∠AOB的平分线OE． 12．（2023春•汉阳区期中）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、C两点在格点，B点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在线段AB上取点D，使AD＝BD； （2）过（1）中的点D画线段EF，使EF＝AB； （3）画点M，使以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形． 13．（2024春•江岸区期中）如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. （1）画出以AB为边的菱形ABCD； （2）直接写出点D到AB的距离 　 　； （3）在CD上画点E，使∠ABE＝45°； （4）如图2，点F为AB与格线交点，取AF中点G，连AC，在AC上画点H，使GH＝GF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 四边形中的五种类型的作图（解析版） 类型一 四边形中的尺规作图 1．（2023春•商南县校级期中）如图，直线l1∥l2，线段AD分别与直线l1，l2交于点B，C，且AB＝CD．请使用尺规作图的方法，在l1，l2上分别作出点M，N，使得四边形AMDN为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】结合菱形的判定，作线段BC的垂直平分线，分别交l1，l2于点M，N，连接AM，DM，DN，AN即可． 【解答】解：如图，作线段BC的垂直平分线，分别交l1，l2于点M，N，连接AM，DM，DN，AN， 则四边形AMDN即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键． 2．（2023春•市南区期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：△ABC， 求作：▱BCDE，使得D在AB边上，且它到AC、BC两边的距离相等． 【分析】先作∠ACB的平分线交AB于点，然后分别以B、D为圆心，以CD、BC为半径画弧，两弧相交于点E，则利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形可判断四边形BCDE为平行四边形． 【解答】解：如图，▱BCDE为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和平行四边形的判定与性质． 类型二 四边形中的计算作图 3．（2023春•瑞安市期中）如图，在方格纸中按要求画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为1，点A，B，C，D都必须在格点上） （1）在图1中画一个▱ABCD，使∠ABC＝135°，BC＝3． （2）在图2中画一个▱ABCD，使各边长均为无理数，且该平行四边形的面积为6． 【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）； （2）作一个长宽分别为3，的矩形即可． 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求； （2）如图2中，四边形ABCD即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2023•宝山区三模）如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是60°．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）． （1）在图1﹣1和图1﹣2中分别画▱ABCP，使∠CPA＝120°，▱ABCP的面积为，且这两个平行四边形不全等； （2）在图2﹣1和图2﹣2中分别画矩形PQMN，使矩形PQMN的面积为，且这两个矩形互不全等． 【分析】（1）由该5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是60°，求出该小菱形的高为，从而得出每个小菱形的面积为，即▱ABCP包含四个小菱形即可，进而可画出图形； （2）由题意可求出上下相邻的两个小菱形的较短对角线与其上底或下的夹角为90°，且长度为，即可作矩形的宽，再取其长为3即可画出一种；又可求出小菱形较短的对角线长度为1，较长的对角线长度为，且互相垂直，即取较短的对角线一条，较长的对角线3条即可又画出一种． 【解答】解：（1）如图1﹣1中▱A1B1C1P和图1﹣2中▱A2B2C2P即为所作； （2）如图2﹣1中▱PQ1M1N1和图2﹣2中▱PQ2M2N2即为所作； 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 类型三 四边形中非网格无刻度直尺作图 5．（2023春•大余县期末）如图所示，线段EF的两端点E，F分别是正方形ABCD的边BC，AD的中点，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，以EF为较长对角线画菱形EHFG： （2）在图（2）中，以BD为较长对角线画菱形DNBM． 【分析】（1）根据矩形的性质及菱形的判定定理作图； （2）根据平行四边形的性质及菱形的判定定理作图． 【解答】解：（1）如图（1）中：菱形EHFG即为所求； （2）如图（2）中：菱形DNBM即为所求． 【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 6．（2023春•峡江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BC，点E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图①中，在CD上找一点F，使得EF∥AC； （2）在图②中，在AC上找一点P，使得BP平分∠ABC． 【分析】（1）连接AD，与BC相交于点，再连接EO并延长交CD于点F，根据平行四边形的性质得到OB＝OC，又BE＝AE，由三角形的中位线性质OE∥AC，即EF∥AC； （2）分别连接AD，CE相交于点M，连接BM并延长交AC于点P，可得出AO与CE是ABC的中线，且交于点M，由三角形三条中线交于一点可得BP也是△ABC的中线，又由BA＝BC可得BP平分∠ABC． 【解答】（1）如图所示，点F即为所求； （2）如图所示，点P即为所求， 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行四边形的性质、三角形的中位线性质、等腰三角形的性质等知识． 7．（2023春•仪征市期末）如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在边AD上找点F，使得直线EF将正方形ABCD的面积平均分成相等的两部分：（在图1中完成） （2）在边AB上找点G，使得BG＝BE；（在图2中完成） （3）连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，作出旋转后的三角形．（在图3中完成） 【分析】（1）连接AC，BD交于O，连接EO并延长交AD于F，直线EF即为所求； （2）连接BD，AE交于H，连接CH交AB于G，则BG即为所求； （3）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，连接BF交AC于点J，连接DJ，延长DJ交AB于点K，连接KF，延长KF交CD的延长线于点G，连接AG，△ADG即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）点G即为所求； （3）△ADG即为所求． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题． 类型四 斜边网格中的无刻度直尺作图 8．（2024春•新余期末）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形． （1）在图1中画出以AB为边的矩形ABCD，且点C，D均在格点上； （2）在图2中画出以AB为边的菱形ABEF，且点E，F均在格点上． 【分析】（1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据菱形的判定作出图形． 【解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，菱形ABEF即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2023春•镇海区期末）如图1，图2，图3是由边长为1且有一个内角为60°的菱形构成的网格，A，B是格点．只用不含刻度的直尺按以下要求画图，并保留画图痕迹． （1）在图1中画出线段AB关于点O的中心对称图形； （2）在图2中画一个以AB为一边的矩形ABCD（C，D为格点），并写出矩形ABCD的面积； （3）在图3中以AB为一边的作一个矩形ABCD（C，D不一定为格点），使其面积为3． 【分析】（1）根据作一个点关于某个点的对称点的方法分别找出点A和点B关于点O的对称点A'、B'，连接A'B'，则线段A'B'就是线段AB关于点O的中心对称图形； （2）用菱形较短的对角线作矩形ABCD的另一边，使C、D均为格点，顺次连接得到符合要求的矩形ABCD，再根据求矩形面积的方法求出面积即可； （3）根据已知矩形的面积和AB边的长求出邻边的长，然后找出两个菱形对角线的交点就是符合要求的点C和D，再连接AD、DC和BC就是符合要求的矩形ABCD． 【解答】解：（1）如图1，点A和点B关于点O的对称点为A'、B'，连接A'B'，则线段A'B'就是线段AB关于点O的中心对称图形； （2）如图2，点C和点D分别在如图位置时，四边形ABCD为矩形（答案不唯一）， ∵如图是由边长为1且有一个内角为60°的菱形构成的网格， ∴AB＝CD，较短对角线AD＝BC＝1， ∴矩形ABCD的面积1； （3）∵矩形ABCD的面积为3，AB＝CD， ∴AD＝BC， 如图3，图中标记的两个点是菱形对角线的交点，此时AD＝BC， 连接AD、DC和BC，则矩形ABCD就是符合要求的矩形ABCD． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查中心对称，菱形的性质，矩形的判断和性质以及尺规作图，深入理解题意是解决问题的关键． 类型四 正方形网格中的无刻度直尺作图 10．（2023春•江汉区期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点时做格点．图中A、B，C都是格点，点D在网格线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）填空：AB与BC的数量关系是 　AB＝2BC　，位置关系是 　AB⊥BC　； （2）在图（1）中作矩形ABCP，并过点D作直线l，使直线l平分矩形ABCP的面积； （3）在图（2）中取AD的中点M，在BC上找一点N，使MN⊥BC． 【分析】（1）可根据网格中小正方形的边长为1，利用勾股定理计算出AB，BC，进而可得出AB与BC的数量关系；再利用勾股定理计算出AC，然后再利用勾股定理的逆定理可得出较ABC＝90°，据此可得出AB与BC的位置关系； （2）设AC与网格正中间的水平格线交于点O，作射线BO与网格的格点交于点P，连接AP，CP，则四边形ABCP为矩形；连接矩形ABCP的对角线BP与AC交于点O，过点D，O作直线l，则直线l平分矩形ABCP的面积； （3）设AD与正中间水平格线的交点为AD的中点M，连接BD与水平格线的交点为H，连接MH并延长交BC于点N，则MN⊥BC． 【解答】解：（1）AB＝2BC，AB⊥BC． 理由如下：连接AC， ∵网格中小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：，， ∴AB＝2BC； 由勾股定理得：AC2＝12+82＝65， 又∵AB2+BC2＝65， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，即∠B＝90°， ∴AB⊥BC． 故答案为：AB＝2BC，AB⊥BC． （2）设AC与网格正中间的水平格线交于点O， 作射线BO与网格的格点交于点P，连接AP，CP， 则四边形ABCP为矩形； 过点D，O作直线l，则直线l平分矩形ABCP的面积． 理由如下： 利用勾股定理得：，， ∴AB＝CP，AP＝BC，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCP为矩形； 设直线l交AE于点E，交CD于点F， ∵四边形ABCP为矩形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB∥CP，OA＝OC，AB＝CD，AP＝BC，∠BAP＝∠APC＝∠PCB＝∠CBA＝90°， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEF＝∠CFE， 在△AEO和△CFO中 ， ∴△AEO≌△CFO， ∴AE＝CF， ∵AB＝CD， ∴DF＝BE， 在四边形AEFP和四边形CFEB中， AE＝CF，DF＝BE，AP＝BC，EF＝EF，∠AEF＝∠CFE，∠BAP＝∠APC＝∠PCB＝∠CBA＝90°， ∴四边形AEFP≌四边形CFEB， ∴S四边形AEFP＝S四边形CFEB． （3）设AD与正中间水平格线的交点为AD的中点M， 连接BD与水平格线的交点为G， 连接MG并延长交BC于点N， 则MN⊥BC． 理由如下： 过点M作MH⊥CD于点H， 根据网格的特点得：AK＝MH，AK∥MH，∠AKM＝∠MHD＝90°， ∴∠MAK＝∠DMH， 在△AMK和△MDH中， ， ∴△AMK≌△MDH（ASA）， ∴AM＝MD， 即点M为AD的中点． 同理可证点G为BD的中点， ∴MG为△ABD的中位线， ∴MG∥AB，即MN∥AB， 由（1）可知：∠ABC＝90°， ∴∠MNC＝∠ABC＝90°， 即MN⊥BC． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握网格的特点，难点是通过观察找出网格上的特殊点，利用这些特殊点构造符合题意的图形，解答时注意数形结合、直观图形的应用． 11．（2024•南关区二模）如图是由小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，O，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，在射线OA上画点C，使∠CBO＝∠AOB； （2）在图（2）中，在射线OA上画点D，使∠ABD＝∠AOB； （3）在图（3）中，画∠AOB的平分线OE． 【分析】（1）点C在线段OB的垂直平分线上； （2）取格点J，连接BJ交OA于点D，点D即为所求； （3）构造等腰三角形AOK，取格点J，连接AK，BJ交于点E，作射线OE即可． 【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求； （2）如图2中，点D即为所求； （3）如图3中，射线OE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2023春•汉阳区期中）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、C两点在格点，B点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在线段AB上取点D，使AD＝BD； （2）过（1）中的点D画线段EF，使EF＝AB； （3）画点M，使以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）取格点E、F，连接EF并交网格线与点G，连接CG交AB于点D，点D即为所求作的点； （2）取格点E、F，连接EF并延长交网格线于点G，连接CG交AB于点D，连接ED并延长交格线于点F，连接ED并延长交网格线于点F，连接BF，线段EF即为所求作的线段； （3）由（1）及作法，即可作得． 【解答】解：（1）如图1：取格点E、F，连接EF并延长交格线于点G，连接CG交AB于点D，点D即为所求作的点， 证明：由作法可知：EG∥AB且EG＝AB， ∴四边形AEGB是平行四边形， ∴AE＝BG＝AC，EC∥BG， ∴四边形ACBG是平行四边形， ∴点D是AB的中点， ∴AD＝BD； （2）如图2：取格点E、F，连接EF并延长交网格线于点G，连接CG交AB于点D，连接ED并延长交网格线于点F，连接BF，线段EF即为所求作的线段， 证明：由作法可知：四边形AEBF是矩形， ∴EF＝AB； （3）如图3：点M1、M2即为所求作的点， 由（1）四边形ACBM1是平行四边形， 同理，可作得点M2， 故点M1、M2即为所求作的点． 【点评】本题考查了作图﹣特殊四边形，平行四边形及矩形的判定与性质，理解题意，作出图形是解决本题的关键． 13．（2024春•江岸区期中）如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. （1）画出以AB为边的菱形ABCD； （2）直接写出点D到AB的距离 　4　； （3）在CD上画点E，使∠ABE＝45°； （4）如图2，点F为AB与格线交点，取AF中点G，连AC，在AC上画点H，使GH＝GF． 【分析】（1）根据菱形的定义画出图形； （2）利用菱形的高的性质解决问题； （3）取格点J，构造等腰直角△ABJ，BJ交CD一点E，∠ABE即为所求； （4）取AC的中点E，连接BE，利用平行线的判定定理在AE上取一点H，使得AH＝2HE．作线段GH即可，这里利用直角三角形斜边中线的性质证明GH＝GF＝GA． 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求； （2）点D到AB的矩形是菱形的高＝AH＝4， 故答案为：4； （3）如图1中，∠ABE即为所求； （4）如图2中，点G，点H即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$