第4章　因式分解单元素养测评- 2024-2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

单元素养测评　第4章　因式分解 时间：120分钟　满分：120分　班级：________　姓名：________ 　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ) A．m(a＋b)＝ma＋mb B．3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1 C．x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2) D．(m－)2＝m2－2＋ 2．下列因式分解正确的是( ) A．ax＋ay＝a(x＋y)＋1 B．3a＋3b＝3(a＋b) C．a2＋4a＋4＝(a＋4)2 D．a2＋b＝a(a＋b) 3．多项式4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是( ) A．a2 B．a2b C．2a2b D．2ab 4．下列添括号中，错误的是( ) A．－x＋5＝－(x＋5) B．－7m－2n＝－(7m＋2n) C．a2－3＝＋(a2－3) D．2x－y＝－(y－2x) 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2＋2x＋2 D．x2－2x＋1 6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2的值为( ) A．5 B．6 C．9 D．1 7．若将x2－nx－6分解因式后得(x－2)(x＋3)，则常数n的值为( ) A．－1 B．1 C．－3 D．3 8．下列多项式中，能分解出因式m＋1的是( ) A．m2－2m＋1 B．m2＋1 C．m2＋m D．(m＋1)2＋2(m＋1)＋1 9．已知代数式P＝2m2－mn，Q＝mn－2n2，则代数式P，Q的大小关系是( ) A．P≥Q B．P＞Q C．P≤Q D．P＜Q 10．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．(1)因式分解：a2＋ab＝____． (2)因式分解：x2－x4＝____． 12．若m＋n＝5，m－n＝－1，则(m＋1)2－(n－1)2的值为____． 13．已知多项式x2＋kx＋16能够用完全平方公式进行因式分解，则实数k的值为____． 14．若一个正方形的面积为4a2＋12ab＋9b2(a＞0，b＞0)，则这个正方形的边长为____． 15．因式分解x2＋mx－12＝(x＋p)(x＋q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值是____． 16．若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为____． 三、解答题(共72分) 17．(8分)因式分解： (1)9a3＋6a2b＋ab2. (2)(x－1)2＋2(x－5). 18．(8分)用简便方法计算： (1)5×492－512×5. (2)2 0242－2 024×2 048＋1 0242. 19．(8分)已知a2－2a＋1＝0，求代数式a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1的值． 20．(8分)已知两个正方形的边长分别为x cm和y cm，且x＞y，两个正方形的周长差为96 cm，它们的面积相差960 cm2. (1)求x－y，x＋y的值． (2)求这两个正方形的边长． 21．(8分)分解因式(3x＋y)2－(x＋3y)2.小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．如表是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： (3x＋y)2－(x＋3y)2， ＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x＋3y)①， ＝(4x＋4y)(2x＋4y)②， ＝8(x＋y)(x＋2y)③. 小禾的检验：当x＝0，y＝1时， (3x＋y)2－(x＋3y)2，＝12－32， ＝－1－9， ＝－8， ∵－8≠16， ∴分解因式错误． 8(x＋y)(x＋2y)， ＝8×1×2， ＝16. 任务： (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 22．(10分)已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n＋1来表示. (1)分解因式：(2n＋1)2－1. (2)我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 23．(10分)在当今时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x(x2－9)＋2(x2－9)因式分解的结果为(x＋2)(x＋3)(x－3)，当x＝15时，x＋2＝17，x＋3＝18，x－3＝12，此时，可获得密码171 812或171 218或181 712等． 根据上述方法，解答以下问题： (1)当x＝20，y＝2时，对于多项式x3－xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码？(求出四个即可) (2)已知多项式x3＋ax2＋bx＋3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202 224，求a，b的值． 24．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是奇特数． (1)填空：32________奇特数，2 024________奇特数．(填“是”或者“不是”) (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元素养测评　第4章　因式分解 时间：120分钟　满分：120分　班级：________　姓名：________ 　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是(C) A．m(a＋b)＝ma＋mb B．3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1 C．x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2) D．(m－)2＝m2－2＋ 2．下列因式分解正确的是(B) A．ax＋ay＝a(x＋y)＋1 B．3a＋3b＝3(a＋b) C．a2＋4a＋4＝(a＋4)2 D．a2＋b＝a(a＋b) 3．多项式4a3b－6a2b2＋2a2b的公因式是(C) A．a2 B．a2b C．2a2b D．2ab 4．下列添括号中，错误的是(A) A．－x＋5＝－(x＋5) B．－7m－2n＝－(7m＋2n) C．a2－3＝＋(a2－3) D．2x－y＝－(y－2x) 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(D) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2＋2x＋2 D．x2－2x＋1 6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2的值为(B) A．5 B．6 C．9 D．1 7．若将x2－nx－6分解因式后得(x－2)(x＋3)，则常数n的值为(A) A．－1 B．1 C．－3 D．3 8．下列多项式中，能分解出因式m＋1的是(C) A．m2－2m＋1 B．m2＋1 C．m2＋m D．(m＋1)2＋2(m＋1)＋1 9．已知代数式P＝2m2－mn，Q＝mn－2n2，则代数式P，Q的大小关系是(A) A．P≥Q B．P＞Q C．P≤Q D．P＜Q 【解析】P－Q＝(2m2－mn)－(mn－2n2)＝2m2＋2n2－2mn＝(m2＋n2－2mn)＋m2＋n2＝(m－n)2＋m2＋n2，∵(m－n)2＋m2＋n2≥0，∴P≥Q. 10．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是(D) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】∵(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，∴b2－2bc＋c2＝4c－4－4bc＋4b， ∴(b2＋2bc＋c2)－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c)2－4(b＋c)＋4＝0， ∴(b＋c－2)2＝0，∴b＋c＝2. 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．(1)因式分解：a2＋ab＝__a(a＋b)__． (2)因式分解：x2－x4＝__x2(1＋x)(1－x)__． 12．若m＋n＝5，m－n＝－1，则(m＋1)2－(n－1)2的值为__5__． 13．已知多项式x2＋kx＋16能够用完全平方公式进行因式分解，则实数k的值为__±8__． 14．若一个正方形的面积为4a2＋12ab＋9b2(a＞0，b＞0)，则这个正方形的边长为__2a＋3b__． 15．因式分解x2＋mx－12＝(x＋p)(x＋q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值是__11__． 16．若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为__－5__． 三、解答题(共72分) 17．(8分)因式分解： (1)9a3＋6a2b＋ab2. (2)(x－1)2＋2(x－5). 解：(1)原式＝a(9a2＋6ab＋b2)＝a(3a＋b)2. (2)原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3)(x－3). 18．(8分)用简便方法计算： (1)5×492－512×5. 解：原式＝5×(492－512) ＝5×(49＋51)(49－51) ＝5×100×(－2) ＝－1 000. (2)2 0242－2 024×2 048＋1 0242. 解：原式＝2 0242－2×2 024×1 024＋1 0242 ＝(2 024－1 024)2 ＝1 0002 ＝106. 19．(8分)已知a2－2a＋1＝0，求代数式a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1的值． 解：a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1 ＝a2－4a＋a2－1＋1 ＝2a2－4a ＝2(a2－2a)， ∵a2－2a＋1＝0，∴a2－2a＝－1，∴原式＝2×(－1)＝－2. 20．(8分)已知两个正方形的边长分别为x cm和y cm，且x＞y，两个正方形的周长差为96 cm，它们的面积相差960 cm2. (1)求x－y，x＋y的值． (2)求这两个正方形的边长． 解：(1)∵4x－4y＝4(x－y)＝96，∴x－y＝24. ∵x2－y2＝960，∴(x＋y)(x－y)＝960，把x－y＝24代入，得x＋y＝40. (2)由解得 答：两个正方形的边长分别为32 cm和8 cm. 21．(8分)分解因式(3x＋y)2－(x＋3y)2.小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．如表是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： (3x＋y)2－(x＋3y)2， ＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x＋3y)①， ＝(4x＋4y)(2x＋4y)②， ＝8(x＋y)(x＋2y)③. 小禾的检验：当x＝0，y＝1时， (3x＋y)2－(x＋3y)2，＝12－32， ＝－1－9， ＝－8， ∵－8≠16， ∴分解因式错误． 8(x＋y)(x＋2y)， ＝8×1×2， ＝16. 任务： (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，应为(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y). (2)(3x＋y)2－(x＋3y)2＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y)＝(4x＋4y)(2x－2y)＝8(x＋y)(x－y). 22．(10分)已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n＋1来表示. (1)分解因式：(2n＋1)2－1. (2)我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 解：(1)(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝4n(n＋1). (2)所有“白银数”的最大公约数是8. 理由：∵n正整数，则n与n＋1必有一个偶数， ∴n(n＋1)必是2的倍数，则4n(n＋1)必是8的倍数， ∴所有“白银数”的最大公约数是8. 23．(10分)在当今时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x(x2－9)＋2(x2－9)因式分解的结果为(x＋2)(x＋3)(x－3)，当x＝15时，x＋2＝17，x＋3＝18，x－3＝12，此时，可获得密码171 812或171 218或181 712等． 根据上述方法，解答以下问题： (1)当x＝20，y＝2时，对于多项式x3－xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码？(求出四个即可) (2)已知多项式x3＋ax2＋bx＋3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202 224，求a，b的值． 解：(1)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)，当x＝20，y＝2时，x＋y＝22，x－y＝18，此时，可获得密码202 218，201 822，182 022，182 220，222 018，221 820. (2)当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202 224，∴x3＋ax2＋bx＋3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位(x－3)，(x－1)，(x＋1)，(x－1)(x＋1)(x－3)＝(x2－1)(x－3)＝x3－3x2－x＋3， ∴a＝－3，b＝－1. 24．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是奇特数． (1)填空：32________奇特数，2 024________奇特数．(填“是”或者“不是”) (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 解：(1)∵8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52， 则8，16，24这三个数都是奇特数， ∴奇特数是8的整数倍，即8n(n是正整数)， ∵32＝8×4＝92－72，∴32是奇特数． ∵2 024＝8×253＝5072－5052， ∴2 024是奇特数． (2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由： ∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n， ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． (3)S阴影部分＝992－972＋952－932＋912－892＋…＋72－52＋32－12 ＝(99＋97)(99－97)＋(95＋93)(95－93)＋(91＋89)(91－89)＋…＋(7＋5)(7－5)＋(3＋1)(3－1) ＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2 ＝×2 ＝5 000. 学科网（北京）股份有限公司 $$