精品解析：浙江省宁波市鄞州区横溪、东吴、咸祥等2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024学年第一学期期末考试八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 2. 点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：因为点的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件， 所以点在第二象限． 故选：B． 3. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 5. 若长度为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三条边的关系求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴a不可以是2． 故选A． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对应角相等两个三角形是全等三角形． B. 三个内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形． C. 平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离． D. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质进行判断即可． 【详解】A：对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误不符合题意； B：设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°， 则三个内角分别为：45°、60°、75°， ∴三个内角之比为3:4:5的三角形不是直角三角形，本选项错误不符合题意； C：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误不符合题意； D：角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，全等三角形的判定、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质，熟记这些性质是解题的关键． 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 8. 点和都在直线上，且，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数值比较大小，理解并掌握一次函数图象与性质是解题关键．根据题意，确定一次函数图象的增减性，即可获得答案． 【详解】解：对于直线，∵， ∴该函数值随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：A． 9. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 10. 如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了点的变化规律，通过观察可知右下标是（除外）：数字的倍数的点在第三象限，的倍数余的点在第四象限，的倍数余的点在第一象限，的倍数余的点在第二象限，得出点在第四象限，由此判断即可． 【详解】解：根据题意，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，……， 个点一循环， ∵， ∴点在第四象限， ∴点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：设函数解析式，将代入函数解析式，得 ． 解得， 函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 12. “x的2倍与3的差小于5”用不等式表示为：_________． 【答案】2x﹣3＜5 【解析】 【分析】x的2倍表示为：2x，小于表示为：＜，由此可得不等式． 【详解】解：x的2倍与3的差小于5，用不等式表示为：2x﹣3＜5． 故答案为：2x﹣3＜5． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，关键是将文字描述转化为数学语言． 13. 如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论．此类题目考查基本知识的同时，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养． 根据等腰三角形的性质，分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可． 【详解】解：若的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为； 若的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：； 故答案为：或． 14. 如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，已知BC=10，△BDC的周长为22，则AC=_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵DE是AB的中垂线， ∴DB＝DA， ∵△BDC的周长为22， ∴BC+BD+CD＝22，即BC+CD+DA＝BC+CA＝22， ∴AC＝22﹣10＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵为的角平分线， ∴ 在中，，， ∴， ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，则BP=B′P， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′，BC=B′C， ∴△ABC≌△AB′C(SAS)， ∴S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC， 即AB•B′D=2×BC•AC， ∴5B′D=24， ∴B′D=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 三、解答题（本大题有7小题，共52分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以x轴为对称轴，作出的轴对称图形； （2）写出点，，的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，理解并掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，． 19. 如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）65° 【解析】 【分析】（1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证； （2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 20. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求函数y的值； （3）求当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，根据点的坐标利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【小问1详解】 解：设，将点，代入得： ，解得， 函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴随的增大而减小， 将和代入得，， 解得，， ∴当时，， 自变量x的取值范围为． 21. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 （2）购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【小问1详解】 解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 22. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】（1）， t的取值范围是；（2）从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；（3）甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解析】 【分析】（1）直线经过两点，采用待定系数法确定解析式即可； （2）根据0时到3时是正比例函数，确定工作效率，用总时间减去修机器的时间1小时就是工作时间，可确定总量； （3）确定再次工作时甲的解析式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与t之间的函数关系式为． 把，分别代入，得 解得 ∴与时间t之间的函数关系式为： ； t的取值范围是； （2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个， 故甲的工作效率为每小时加工零件40个． 甲组共加工（时）， 得（个）． ∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件； （3）由题意可知，当时，由于工作效率没变， ∴． 当时， ， 解得． 答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，一次函数与一元一次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 23. 如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 【答案】（1）；； （2）或或； （3）6cm． 【解析】 【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案； （2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可； （3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，当点在线段上运动时， ，． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵是边长为的等边三角形， ，， 如图1中，当时， 图1 ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：根据题意，当点从点运动到点过程中， ， 如下图，设与交于点，过点作，交于点， 则，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即与中点重合， ∴中点的运动轨迹在边上， 当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点， 当与点重合时，此时， ∴， ∴，即此时中点与点重合， ∴中点经过的路径长． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末考试八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C D. 5. 若长度为a，3，5三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对应角相等的两个三角形是全等三角形． B. 三个内角之比为3:4:5的三角形是直角三角形． C. 平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离． D. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 7. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 8. 点和都在直线上，且，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 10. 如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为____________． 12. “x的2倍与3的差小于5”用不等式表示为：_________． 13. 如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是_____． 14. 如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，已知BC=10，△BDC的周长为22，则AC=_______． 15. 如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为____________． 16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为_____． 三、解答题（本大题有7小题，共52分） 17. 解不等式组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以x轴为对称轴，作出的轴对称图形； （2）写出点，，的坐标． 19. 如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求函数y的值； （3）求当时，自变量x的取值范围． 21. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 22. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件总数为480个． 23. 如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为． （1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）． （2）当与的一条边垂直时，求的值． （3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $