精品解析：广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025学年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨港澳台学生期末考试 数学 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：D 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式得到三角方程，利用同角的商数关系计算即得. 【详解】由可得：， 显然则得. 故选：B. 3. 已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，结合实部等于虚部建立方程，解之即可求解. 【详解】， 所以，解得. 故选：D 4. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ） A. -2 B. 4 C. 8 D. -2或4 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，根据成等比数列，得到方程，求出，检验后得到答案. 【详解】由题意得，，且， 设公差为，则，解得， 若，则，，满足要求， 若，则，不合要求，舍去， 故. 故选：B 5. 5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知椭圆的焦点在轴上，且，据此可求椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长为6， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系进行弦切互化和二倍角公式即可求解. 【详解】，解得， （另解：去分母化为即）. . 故选：C. 10. 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可得，即求出离心率为. 【详解】如下图所示： 易知， 所以，又为等边三角形，所以， 可得，所以离心率为. 故选：A 11. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 12. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程，再直线曲线联立，借助韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式计算高，最后计算面积即可. 【详解】由题知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得，则，. ∴. ∵，∴四边形为平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为， ∴平行四边形的面积为. 故选：A. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案：. 14. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令，得到，从而求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得， 故. 故答案为： 15. 若圆关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上， 则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意. 故答案为：. 16. 已知函数是偶函数，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，然后可得. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 17. 函数的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求解. 【详解】函数，定义域为， 令，所以， 所以， 函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线， 所以时，函数取最大值，最大值， 即函数的最大值为1． 故答案为：1． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求. 【详解】由可得， 由于关于原点对称，,关于原点对称， 所以四边形为矩形，故， 由于又， 所以，因此， 故，进而可得， 所以渐近线方程为： 故答案为： 三､解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分） 19. 已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）利用奇函数的定义求解析式； （3）根据函数的单调性和奇偶性解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在的奇函数，所以. 【小问2详解】 因为当时，， 所以当时，，， 所以. 【小问3详解】 由题，函数是定义域为单调减函数，且为奇函数， 所以由，可得， 即，所以， 所以恒成立， 因为在时有最小值，最小值为， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 20. 在中，角所对的边长分别为，已知. （1）求； （2）若是中点，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由，正弦定理得，再由，得，可求； 方法二：已知条件结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，可求； （2）方法一：利用向量数量积求； 方法二：由，有，利用余弦定理求的长度 【小问1详解】 方法一： 因为，由正弦定理得：， 又，得， 中，，所以， 又因为在中，所以. 方法二： 因为，由余弦定理得：， 解得，所以， 又因为在中，所以. 【小问2详解】 方法一： 在中，是中点，所以， ， ，即的长为. 方法二： 由（1）方法二，知， 又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 因为， 所以， 即， 解得，即的长为. 21. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设求数列的前20项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据得等比数列公比为2，结合条件计算的值，得到的通项公式.（2）由（1）计算，利用分组求和的方法得出数列的前20项和. 【小问1详解】 由题意有：当时， 所以，所以等比数列的公比. 当时，由 有，，解得 所以 所以 【小问2详解】 由题意得，当为奇数时，， 当偶数时，， 所以 所以 22. 设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标，由椭圆离心率的值和它的一个顶点，可得的值，即求出椭圆方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线方程，可证得直线经过定点. 小问1详解】 易知抛物线的焦点， 由可得，由离心率，且， 解得； 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 证明：由（1）可知， 显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 由可得直线的斜率为，所以直线的方程为； 联立，消去整理可得. 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 若，即，可得， 直线的斜率为； 直线方程为， 令，解得 所以直线过定点， 若，则，此时，直线也过定点. 综上可得，直线过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨港澳台学生期末考试 数学 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列首项为1，若成等比数列，则（ ） A -2 B. 4 C. 8 D. -2或4 5. 5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ） A. 18 B. 36 C. 48 D. 60 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8 8. 椭圆长轴长为6，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 9 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 不等式的解集为____________． 14. 在的展开式中，常数项为__________. 15. 若圆关于直线对称，则______． 16. 已知函数是偶函数，则的值为__________ 17. 函数的最大值为______. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______． 三､解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分） 19. 已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 在中，角所对的边长分别为，已知. （1）求； （2）若是中点，求的长度. 21. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设求数列的前20项和． 22. 设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$