专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华师大版2024）

专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 合并同类项与移项解一元一次方程 题型三 去括号解一元一次方程 题型四 去分母解一元一次方程 题型五 解一元一次方程的拓展问题 题型六 一元一次方程的同解问题 题型七 一元一次方程的整数解问题 题型八 一元一次方程的含参问题 题型九 一元一次方程中的错看、错解问题 题型十 一元一次方程的遮挡问题 题型十一 一元一次方程中的新定义问题 题型十二 含绝对值计算的一元一次方程 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点01 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 判断是否是一元一次方程】 【例1】（2024七年级下·四川·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式中，①；②；③；④；⑤，一元一次方程的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 3．（24-25七年级下·四川·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【经典例题二 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·河南·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于 ． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如：，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则B=________； (2)若，，求x的值； (3)已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，且满足，求m的值． 【经典例题三 去括号解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级下·广西百色·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的方程的解为非负整数，且不等式组无解，则符合条件的整数k的值之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 【经典例题四 去分母解一元一次方程】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 1．（2024·四川·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（23-24七年级下·福建漳州·期末）规定一种运算：，其中，为常数，若，则不等式的解集为 ． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）下面是某同学求解一元一次方程的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………第四步 系数化为1，得…………第五步 请认真阅读并完成下面的相应问题． (1)以上求解步骤中，第一步去分母的变形依据是___________； (2)上述解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______________； (3)请帮该同学改正错误，写出完整的解题过程． 【经典例题五 解一元一次方程的拓展问题】 【例5】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【经典例题六 一元一次方程的同解问题】 【例6】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于的方程与的解相同，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 1．（24-25七年级下·四川内江·期末）如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如果方程的解与方程的解相同，求a的值． 【经典例题七 一元一次方程的整数解问题】 【例7】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）从中选一个数作为k的值，使得关于x的方程的解为整数，则所有满足条件的k的值的积为（    ） A． B． C．32 D．64 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则 ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【经典例题八 一元一次方程的含参问题】 【例8】（2024七年级下·全国·专题练习）关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，则m的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如下表，整式的值随的取值变化而变化，则关于的方程的解是(   ) 0 1 2 2 A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么 ． 3．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 【经典例题九 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例9】 （24-25七年级下·湖南·期末）某同学在解关于的方程时，把看错了，结果解得，则该同学把看成了（   ） A． B．2 C． D． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 2．（24-25七年级下·河南·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【经典例题十 一元一次方程的遮挡问题】 【例10】（23-24七年级下·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【经典例题十一 一元一次方程中的新定义问题】 【例11】（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【经典例题十二 含绝对值计算的一元一次方程】 【例12】（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 1．（23-24七年级下·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 2．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 1．（24-25七年级下·北京·期末）若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 2．（24-25七年级下·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 4．（24-25七年级下·北京·期中）若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2024七年级下·全国·专题练习）有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第9个方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·四川成都·专题练习）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 7．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）已知方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是，则n的值为 ． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为则称该方程为“商解方程”，则“商解方程”中的值为 ． 10．（24-25七年级下·安徽六安·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，所以为一元一次方程的“久久方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号 ； （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“久久方程”，则a的值为 ． 11．（24-25七年级下·天津南开·期末）解下列一元一次方程 (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·江苏·期末）已知关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境·墨迹覆盖  小明不小心把墨汁洒在了作业本上，关于的一元一次方程中的一个数字被覆盖了，小明经过思考，仍然解出了该方程，请问该方程的解是多少？被覆盖的数字有什么特点？ 14．（2024七年级下·全国·专题练习）下面是小聪解方程的过程． 解：去括号，得．…（第一步） 移项，得．…（第二步） 合并同类项，得．…（第三步） 方程两边同时除以5，得．…（第四步） 根据解答过程完成下列任务． （1）任务一：第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_______； （3）任务三：请你细心地解下列方程： ． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 合并同类项与移项解一元一次方程 题型三 去括号解一元一次方程 题型四 去分母解一元一次方程 题型五 解一元一次方程的拓展问题 题型六 一元一次方程的同解问题 题型七 一元一次方程的整数解问题 题型八 一元一次方程的含参问题 题型九 一元一次方程中的错看、错解问题 题型十 一元一次方程的遮挡问题 题型十一 一元一次方程中的新定义问题 题型十二 含绝对值计算的一元一次方程 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点01 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 判断是否是一元一次方程】 【例1】（2024七年级下·四川·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据一元一次方程的定义求出，然后代入方程，再解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 原方程为， 解得． 故选A． 1．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式中，①；②；③；④；⑤，一元一次方程的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； ②符合一元一次方程定义，符合题意； ③中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④符合一元一次方程定义，符合题意； ⑤中未知数最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意， 因此是一元一次方程的是②，④共2个； 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程”，列式求出的值，再解方程，根据方程的解为正整数，求出即可． 【详解】解：∵已知方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：， 解得：； 此方程的解为正整数，且m为整数， ∴或， ∴或 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·四川·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【答案】 【分析】由一元一次方程的定义可得，即得方程为，解方程得到，再由相反数和倒数的定义可得，，，最后代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴方程为， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义及解，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题二 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例2】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，同类项的定义，根据同类项的定义可得，，算出的值，然后代入方程可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴关于x的方程为：， ∴， 故选：C． 1．（2024七年级下·河南·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了补角，绝对值，新定义，一元一次方程，解决问题的关键是理解新定义． 根据补角的概念，先求出这个角的垂角，由垂角的定义列方程，再解答即可 【详解】设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，根据题意， ， 或 解得或， 这个角的度数为或． 故选D． 2．（24-25七年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，一元一次方程的应用；熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面， ， ， ． 故答案为： 3．（24-25七年级下·四川眉山·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项，例如：，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： (1)填空：若，则B=________； (2)若，，求x的值； (3)已知，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据处理方法，进行求解即可； （2）根据处理方法求出，列出方程进行求解即可； （3）根据处理方法，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题目中整式处理器的处理方法可得：， 故答案为：． （2）解：由题可知，， ∴， 又， ， 解得：． （3）解：由题可知，经过处理器得到整式N， 则， 又， ， ， ∴m的值为0． 【经典例题三 去括号解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级下·广西百色·期末）对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新运算的定义，得出方程是解题的关键． 根据新运算的定义，得到方程，再解这个方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：A． 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的方程的解为非负整数，且不等式组无解，则符合条件的整数k的值之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是整数进行求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负整数， ∴， ∴， 把整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数，1，2，3， ∵是整数， ∴，3， 综上，，3， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程和多项式乘以多项式的应用，能根据多项式乘以多项式展开是解此题的关键． 先根据题意展开，再解方程求出方程的解即可． 【详解】解：， 根据题意得： 即：， ， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 【答案】(1)2 (2)d的值为或 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 【经典例题四 去分母解一元一次方程】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据题意得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：C． 1．（2024·四川·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期末）规定一种运算：，其中，为常数，若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式，一元一次方程，先根据新定义列出关于的方程，解之求出的值，据此可得出不等式，求解即可．解题的关键是掌握解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ， ， ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）下面是某同学求解一元一次方程的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………第四步 系数化为1，得…………第五步 请认真阅读并完成下面的相应问题． (1)以上求解步骤中，第一步去分母的变形依据是___________； (2)上述解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______________； (3)请帮该同学改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)一，漏乘 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程；掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质2，即可求解； （2）由解一元一次方程去分母的注意事项，即可求解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，去分母的变形依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2； （2）解：第一步开始出现错误，错误的原因是漏乘， 故答案为：一，漏乘； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【经典例题五 解一元一次方程的拓展问题】 【例5】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，仿照题目中的例题进行解答即可． 【详解】解：设， 则， 解得：， 故， 故选：A． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即，解得，根据表格中数据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为 ． 【答案】/2.75 【分析】先解方程，再由“差解方程”的定义列式即可． 【详解】解方程得： ∵关于x的一元一次方程是“差解方程” ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解“差解方程”的定义，运用“差解方程”的规定是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 【经典例题六 一元一次方程的同解问题】 【例6】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于的方程与的解相同，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 【详解】解：方程的解为， 方程与的解相同， 将代入，得：， 解得：， 故选：C． 1．（24-25七年级下·四川内江·期末）如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程．若关于x的一元一次方程与是同解方程，则的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的一元一次方程，然后代入中，再解关于a得一元一次方程即可． 【详解】解： ， ∵方程与是同解方程， ∴将代入中 解得：． 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查同解方程，求出的解，将解代入中，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如果方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键．求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：． 【经典例题七 一元一次方程的整数解问题】 【例7】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（    ） A．8 B．4 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，解题的关键是分或两种情况进行讨论． 【详解】解：系数化1得，， 移项得，， 合并同类项得，， 解得，， ∵该方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴或， ①当时，，，，，，， ②当时，，，，，，， 综上所述，可取3，1，7，， ∴a的所有可能的取值的和为，， 故选：A． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）从中选一个数作为k的值，使得关于x的方程的解为整数，则所有满足条件的k的值的积为（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k的式子表示x，再根据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解． 【详解】解：由， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， ∵关于x的方程的解为整数， ∴满足条件的的值可以为：，，2，4， ∴． 故选D． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等，图中给出了幻方的部分数字，则 ． 【答案】 【详解】本题考查了一元一次方程的应用，设第一行第一列的方格中的数字为，由每行、每列上的数字之和都相等，得到，即，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解答】解：设第一行第一列的方格中的数字为，如图所示， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴， ∴ 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的拓展应用： （1）根据互为“反对方程”的定义可得答案； （2）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都是整数，由此可得答案．． 【详解】（1）解：若方程与方程互为“反对方程”，则； （2）解：可变形为， 方程的“反对方程”为， 解方程：与， 解得：，， ∵“反对方程”与的解均为整数， ∴与都是整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为或． 【经典例题八 一元一次方程的含参问题】 【例8】（2024七年级下·全国·专题练习）关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次的步骤是解题的关键； 根据题意解方程和，得，解方程即可； 【详解】解：解方程得， 解方程得， 根据题意得， 解得． 故选：A． 1．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如下表，整式的值随的取值变化而变化，则关于的方程的解是(   ) 0 1 2 2 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，由表格可知当时，；时，，即可求出、的值，代入方程即可求出方程的解． 【详解】解：由表格可知当时，；时，， ， ， 代入得， ， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先解方程可得再根据题意可得的解为，再进一步求解即可． 【详解】解： ， 解得：， 关于的方程的解比方程的解小6， ∴是方程的解， ， 去分母得：， 解得：； 故答案为： 3．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，将关于x的方程记作方程◇． (1)当，时，方程◇的解为_________； (2)若方程◇的解为，写出一组满足条件的k，b值：k=________，b=________； (3)若方程◇的解为，求关于y的方程的解． 【答案】(1) (2)1，3（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法及注意事项是解题的关键． （1）代入后解方程即可； （2）只需满足即可； （3）将代入方程◇：得，整体代入即可； 【详解】（1）解：当，时，方程◇为：， 解得：． 故答案为：； （2）解：方程◇的解为， ，．（只需满足即可） 故答案为：1，3（答案不唯一）； （3）依题意：， ， ． 解关于的方程：， ． 解得：． 【经典例题九 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例9】 （24-25七年级下·湖南·期末）某同学在解关于的方程时，把看错了，结果解得，则该同学把看成了（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 将代入中可得，求解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入中可得 ， 解得． 故选：B． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据题意得是方程的解，再将代入即可得出根的值． 【详解】解：去分母过程中忘记给右边的乘以6得到： ，则是该方程的解， ∴将代入中得， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：，即， 解得， 故答案为：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握方程的解的定义以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先按题意方式去分母，把代入计算，得到，再还原到原方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】解：按方程左边的1没有乘以10，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：， 把代入原方程，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【经典例题十 一元一次方程的遮挡问题】 【例10】（23-24七年级下·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法．设被污染的数字为a，将代入，得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】解：设被污染的数字为a． 将代入得：． 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【经典例题十一 一元一次方程中的新定义问题】 【例11】（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出，即可得出关于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【经典例题十二 含绝对值计算的一元一次方程】 【例12】（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数和绝对值的定义，代数式求值，根据绝对值的定义得到，解方程可得或；根据倒数的定义可得，解得，据此代值计算即可． 【详解】解；∵的绝对值是2， ∴， ∴或， ∴或； ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴或 故选：C． 1．（23-24七年级下·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 【答案】C 【分析】根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或， ∴或， ∴x的相反数是或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键． 2．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 1．（24-25七年级下·北京·期末）若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程．首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程， 可得：， ∵有至少两个不同的解， ∴，， 即，， 把，代入中得： ， ∴方程无解． 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键； 观察表格看取何值时，多项式和对应的值相等即可． 【详解】解：由题意知，当时，和的值相等，都是， 关于的方程的解是； 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为偶数，则或 解得或 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故选：A． 4．（24-25七年级下·北京·期中）若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，一元一次方程的解，体现了数形结合思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．根据有理数的乘法法则判断①；根据方程的解得定义判断②；根据判断③；分两种情况，根据绝对值的性质判断④；根据绝对值的几何意义判断⑤． 【详解】解：，且， ， ，故①符合题意； 将代入得：， ， ，故②符合题意； ， ， ， ，故③符合题意； 若，原式； 若，原式； ∴原式的值为2，故④不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有4个， 故选：C． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第9个方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察一系列方程找到规律，第个方程为，解为，代入即可求解， 本题考查了规律型题目，解题的关键是：总用含的式子表示出来． 【详解】解：第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； … 依此类推，第个方程为，解为， 所以第9个方程是，解为， 故选：D． 6．（2024七年级下·四川成都·专题练习）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．熟练掌握解方程与方程解的性质，是解题的关键． 解方程求出，根据方程的解为正整数，为整数，得到或，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 方程的解为正整数，为整数， 或， 或． 故答案为：0或1． 7．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）已知方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，先求出的解，把代入，然后根据一元一次方程的解法即可求出的值，熟练掌握一元一次方程的解法及正确理解同解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， 把代入得：， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义与解法，由方程的解的含义可得，再解方程即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为则称该方程为“商解方程”，则“商解方程”中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．理解并掌握“商解方程”的定义，是解题的关键．根据“商解方程”的定义，进行求解即可． 【详解】解：，即， 解得：， ∵一元一次方程是“商解方程”， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·安徽六安·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，所以为一元一次方程的“久久方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号 ； （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“久久方程”，则a的值为 ． 【答案】 ② 或/47或48 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再验证即可； （2）先解方程，求得或，再求出关于的方程的解，根据题意可分别求得的值． 【详解】解：解得：； 解得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“久久方程”； 故答案为：②； 解：∵， ∴或， 解得：或； 对于，去分母得：， 去括号、移项、合并同类项得：； 由题意，当时，，解得：； 当时，，解得：；     所以或； 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·天津南开·期末）解下列一元一次方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，针对方程的特点，灵活应用是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 12．（24-25七年级下·江苏·期末）已知关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和代数式的求值，熟练掌握一元一次方程的解法和整体代入是解题的关键．分别解两个方程得到，，由解互为相反数得，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 由题意得，， 整理得，， ∴， ∴． 即数式的值为15． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）学习情境·墨迹覆盖  小明不小心把墨汁洒在了作业本上，关于的一元一次方程中的一个数字被覆盖了，小明经过思考，仍然解出了该方程，请问该方程的解是多少？被覆盖的数字有什么特点？ 【答案】，见解析． 【分析】此题考查了解一元一次方程，分析方程的特征，确定出方程的解，进而确定出被覆盖的数字的要求即可，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：方程整理得：， 即， ∴，， 解得：，， ∴方程的解为，被覆盖的数字不能等于． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）下面是小聪解方程的过程． 解：去括号，得．…（第一步） 移项，得．…（第二步） 合并同类项，得．…（第三步） 方程两边同时除以5，得．…（第四步） 根据解答过程完成下列任务． （1）任务一：第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议_______； （3）任务三：请你细心地解下列方程： ． 【答案】（1）一；括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号 （2）移项时要变号 （3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）根据去括号法则判断即可得出答案； （2）根据解题的经验给出建议即可（答案不唯一）； （3）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意，小聪在第一步就出现了错误，原因是括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号， 故答案为：一；括号前面是“”号，去括号时括号内的每一项都要变号，没有变号； （2）根据解题的经验，给出建议为：移项时要变号， 故答案为：移项时要变号； （3）， 去括号，得： ， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 学科网（北京）股份有限公司 $$