安徽省合肥市六校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

2024一2025学年第一学期期末联考 高二年级数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.如图，以长方体ABCD一A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.若向量DB的坐标为 (4,3,2),则点C1的坐标为() A.(0,3,2) B.(0,4,2) C.(4,02) D.(2,3,4) D 【答案】A 解：DB1的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，÷B1(4,3,2), ·BC=4,DC=3,CC1=2,÷C1的坐标为(0,3,2).故选A. 2.直线：V3x-y-10=0的斜率为() A.-V3 B.3 C.-3 D. 3 3 【答案】B 【详解】由题意得：直线的斜截式方程为y=V5x-10,所以直线的斜率为√5， 故选：B 3.等比数列{an}的前n项和为5n,且a2=2,4a1+a3=8,则Ss5=() A.63 B.48 C.31 D.15 【答案】C 【详解】令等比数列{an3的公比为q,则a2=a1q=2,4a1+ag=a1(4+q2)=8, 解得a,=1,q=2,所以5，=哥=31. 故选：C 4.下列条件中，一定能使点M与点A,B,C共面的是() A.0M=0A-20B-0C B.MA+3MB+5M元=d c.0M=0A+0B+0C D.OM+0A+0E+0元=0 【答案】B 【详解】对于A,0M=0A-20B-0C,由于1-2-1=-2≠1，所以不能得出M,A,B,C共面.故A不 符合题意： 高二年级数学参考答案第1页，共10页 对于B,由于MA=-3ME-5MC,则MA,ME,MC为共面向量，所以M,A,B,C共面.故B符合题意： 对于C,ON=OA+O丽+0元，由于}+++1，所以不能得出M,A,B,C共面.故C不符合题意： 对于D,由0M+0A+0B+0C=0得0M=-0A-0B-0C,而-1-1-1=-3≠1，所以不能得出 M,A,B,C共面.故D不符合题意： 故选：B 5.圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的弦长为() A.V2 B.V3 C.22 D.2V3 【答案】C 解：x2+y2-4=0,①，x2+y2-4x+4y-12=0②， ②-①并整理得x-y+2=0,为公共弦所在直线的方程， 易知圆x2+y2-4=0的圆心为原点，半径为2，原点到公共弦所在直线的距离为2=V2, 12+12 故公共弦长的一半为V4-2=√2，公共弦长为2√2， 故选C 6.如图，四面体ABCD的所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,CD的中点，则A下.CE=() A.2 B.1 C.-1 D.-2 【答案】D 【详解】四面体ABCD的所有棱长均为2，则向量AB,AC,AD不共面，两两夹角都 为60， 则AB.AC=AC.AD=AD,AB=2×2×c0s60°=2， 因点E,F分别为棱AB,CD的中点，则=C+AD),C正=正-C=)B-AC, AF.CE=(4C+AD)·(AE-2AC)=(4C.A丽+AD·A丽-2AC2-2AC.AD)=(2+2-2×22- 2×2)=-2, 所以AF.CE=-2. 故选：D 7.数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=n(neN),若bn=a2m-a2m+1,则数列{bn的前10项的 和为() A品 B品 cm D. 【答案】C 高二年级数学参考答案第2页，共10页 解：因为a1+2a2+3ag+…+nan=n(n∈N), 所以a1+2a2+3a3+…+m-1)an-1=n-10n>2),两式相减可得nan=1,即an=品 所以b,=a2n-1am*1=品Z 11 所以6，+b+…+bho=-专+-+…+站一分=1-分》=” 故选C 8.人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+的图象与性质”，函数 y=x+的图象实际上是双曲线.则函数y=3x+的图象对应的双曲线的离心率为() A.V20-6V10 B.VW10-3 C.V10-3 D.20-6V10 【答案】A 解：双曲线y=3x+的两条渐近线的夹角记为20，渐近线y=3x的斜率k=3, 所以，tan20=子离心率e满足：e2=1+tan20,所以，e=V20-6而 故选A. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.等差数列an}的前n项和为Sn·若S4=0,a6=7,则() A.an 2n-5 B.an 3n-10 C.Sn n2 -4n D.Sn-in2-2n 【答案】AC 解：设首项为a1,公差为d,由S4=0,a6=7可得， 4a,+6d=0解得份2习 a1+5d=7 所以an=-3+2m-1)=2n-5,S=n×(-3)+m0-×2=n2-4n, 2 故选AC. 10.点0为坐标原点，过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A(x1y),B(x2,y2)两点，则() A.抛物线C的准线为x=-2 B.4y2=-8 C.0A.0B=-4D.S△A0B的最小值为4 【答案】BC 【解析】解：抛物线C:y2=4x,可得准线方程为x=-1,所以A不正确： 设过点(2,0)的直线：y=k(x-2),又交抛物线C与A(x1,y),B(x2,y2)两点，可得：y2=4+2),即 高二年级数学参考答案第3页，共10页 y2-)-8=0,所以y=-8所以B正确。 消去y可得：k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,x1x2=4k,可得x1x2+y1y2=-4,所以0A·0B=-4,所以 C正确： 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为x=my+n. 联立k-2).消去x,得y2-y-8=0,所以+h=是%=-8， y2=4x 原点(0,0)到直线的距离为d=248=1+M-=J1+是月2-4×(-8)= √1+k2 1+3k2+2k (1+k2)(1+2k2 1+2k2 k ,S△A0B=lABd=4 4 k2(1+k2) =42+2>4W2, 当直线与x轴垂直时，A(2,2N2),B(2,-2V②)，此时SA0B=4V2,所以S△40B≥4√2.故D错误. 故选：BC. I1.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P为线段B1C上的动点，下列结论正确的是(） D A.三棱锥A1-PC1D的体积为定值 B.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是，引 C.平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是，] D.直线C,P与平面A,GD所成角的正弦值的最大值为罗 【答案】ABD 解：对于A,A1D/∥B1C,A1DC平面A1C1D,B1C￠平面A1C1D, ∴B1C/∥平面A1C1D,:点P在线段B1C上运动， ÷点P到平面A1C1D的距离为定值，又·A1CD的面积为定值， 故三棱锥D-A1C1P的体积为定值，故A正确： 对于B,~A1D/B1C,六异面直线AP与A1D所成的角即为AP与B1C所成的角， 当点P位于C点时，AP与B1C所成的角为， 当点P位于B1C的中点时，~AB⊥平面BCC1B1,BP⊥B1C, AP⊥B,C,此时，AP与B,C所成的角为号，异面直线AP与A1D所成角的取值范围是后，引，即， 故B正确： 对于C,以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 高二年级数学参考答案第4页，共10页 建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P(a,1,a),a∈[0,1]， 则D(0,0,0),A(1,0,0),设平面ABCD的法向量m=(0,0,1),平面ADP的法向量m2=(x1,1,Z1), Di=a,0.0.P=a1,,则何=0，即=0 (m·Dp=0 (ax1+y1+az1=0 令y1=a,则x1=0,z1=-1,则得m=(0,a,-1), 面ADP与平面ABCD所成夹角为a,所以cosa=cosm,m2训=隔=了a本' mi-mzl 因为aeo,a2+1eL,2,所以v+1e.v冈，竖， 所以平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是受，1]，故C错误： 对于D,则D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),DA1=(1,0,1),DC=(0,1,1),C1P=(a,0,a-1), 设平面A,GD的法向量元=化，2列，则·DA=0,即任十y=0 DC=0 y+z=0 令x=1,则y=1,z=-1,得元=(1,1，-1)， 所以直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为： CiPn ma2+a-1)23 1 32a》+号 当Q=时，直线C,P与平面A:GD所成角的正弦值取得最大值，最大值为=号，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线-二=1的焦距为】 10 6 【答案】8 因为双曲线号-号=1所以c=Va+不=4，所以焦距为8 故答案为：8. 13.过动点P作圆C:(x-4)2+0y-3)2=3的切线PQ,点Q为切点，若PQ1=1P01(0为坐标原点)，则 1PQ1的最小值是 高二年级数学参考答案第5页，共10页 【答案】号 解：根据题意，设P的坐标为(m,n),圆(x-4)2+(y-3)2=3的圆心为N,则N(4,3). PQ为圆(x-4)2+y-3)2=3的切线，则有1PN2=PQ2+1NQ12=1PQ12+3, 又由PQ1=1P01,则有1PN2=P02+3,即(m-4)2+(n-3)2=m2+n2+3, 变形可得：8m+6n=22,即P在直线8x+6y=22上， 则1PQ1的最小值即点0到直线8x+6y=22的距离， 且d=18x0+6x022=号：即IPQ1的最小值是号 82+6 故答案为：号 14.如图，曲线y2=xy≥0)上的点P(i∈N)与x轴上的点Q,(i∈N)构成 一系列正三角形：△QaPQ1,△QP2Q2,,△Qm-1BnQm(n∈N).设 正三角形Qm-1PnQn的边长为an,点Qn(b,0).则数列(an}的通项公式为 an = 【答案】 解：由条件可得△P0Q1为正三角形，且边长为a1, A号a,B在曲线上，代入y2=x0≥0)中，得a=4 :a1>0,∴a1=景根据题意得点P+1(n+n+1,受au1, 3 代入曲线y2=x0≥0并整理，得ba=哈1-0n+1: 当n≥2，n∈N时，an=ba-bn-1=哈t1-+i)-匠-n) 即2(a1+an)=(an+1+an)(a+1-an). dnti>dn >0,dnti-dn= 当n=1时，bh1=好-2，aa2=或a2=-(舍) 2-a1=子故an+1-an=景“数列[an是首项为号公差为的等差数列，dan=受 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 圆x2+y2=8内有一点M(-1,2),AB为过点M且倾斜角为a的弦. 高二年级数学参考答案第6页，共10页 ()当a=平时，求弦AB的长： (2)当弦AB的长最小时，求直线AB的方程. 【答案】解：（①）当a=时，kaB=-1, 直线AB为y-2=-(x+1),故AB:x+y-1=0, 4*4…3分 由圆x2+y2=8的圆心为原点且半径为2√2，则圆心到AB:x+y-1=0距离为7 所以AB1=28-=30. …6分 (2)当直线AB与OM垂直时，弦AB的长最小. 由于直线0M的斜率为2-。=-2， -1-0 所以，直线AB的斜率为 所以，直线AB的方程为：x-2y+5=0 *****…13分 16.(本小题15分) 己知平面上两点F1(-4,0),F2(4,0),动点P满足PF|+IPF2引=10. (1)求动点P的轨迹C的标准方程： (2)当∠FPF2=90时，求点P的纵坐标. 【答案】解：(1)由F(-4,0),F2(4,0),动点P满足IPF+1PF2引=10>1F1F2=8, 可得动点P的轨迹C是以F,F2为焦点的椭圆， …4分 且a=5,c=4,b=3,即有轨迹C的标准方程为号+号=1： …7分 (2)当动点P满足∠F1PF2=90时，可得P在以FF2为直径的圆上， 设P(m,n),可得m2+n2=16, …10分 又9m2+252=25解得m2=招2-器则P的级坐标为士号 16 *4**15分 17.(本小题15分) 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=2, ∠BAC=90°，∠BAA1=120 (1)求证：AB1平面AB1C: (2)若B1C=AA1,求平面AB1C,与平面BCB1所成二面角的余弦值. 【答案】 解：(1)在三角形BB1A中，∠BAA1=120°，得∠B1BA=60°， 由AB12=22+12-2×1×2×c0560°=3，所以BB12=AB2+AB12,B1A⊥AB, ……3分 高二年级数学参考答案第7页，共10页 又∠BAC=90,AB⊥AC,AC n AB1=A,又AC、AB1C平面AB1C,故AB1平面AB1C: …6分 (2)由(1)AB1=V3,AC=1,又：B1C=A41=2 在△ABC中，可得(AA1)2=(AB)2+(AC)2,÷AB11AC 以A为原点，以AB,AC,AB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， A(0,0,0),B(1,0,0),C(01,0),B1(0,0,v3) AB1=(0,0,V3),BB1=(-1,0,V3),B1C=BC=(-1,1,0): 设平面AB1C1的法向量为元=(x,y,2), 由mA8=V32=0 (m.BiCi=-x+y=0' 取x=1,得m=(1,1,0), …10分 设平面BCB1的法向量为=(m,n,r), 由C=-m+n=0 元：BB=-m+√3r=0'取m=3,得元=(33,3， …13分 6 v42 由c0s<元，i>=2xW元= 71 故平面AB:C与平面BCB,所成二面角的余弦值为 7 …15分 圆x2+y2=8内有一点M(-1,2),AB为过点M且倾斜角为a的弦. ()当a=时，求AB的长： (2)CD是过点M的另一条弦，当AB与CD始终保持垂直时，求IAB引·ICD的最大值. 18.(本小题17分) 在数列{an中，已知a1=1,an+1=an+2n-1. (1)求数列{an)的通项公式an: (2)记bn=an+(1-)n,且数列(bn)的前n项和为Sm,若S2为数列S}中的最小项，求的取值范围. 【答案】解：(1)由a1=1,an+1=an+2m-1, 累加得：an-a1=(21+22+23+…+2n-1)-(n-1), …2分 401=1+20-20-n+1=20-n ……4分 1-2 (2)bm=am+(1-)n=2n-n+(1-2)n=2n-n, “前n项和为Sn=2+4+8+…+2n-1(1+2+3+…+m）=20-2型-1.nm+, …7分 1-2 21 若S2为数列Sn)中的最小项，则对vn∈N有2+1-2-1.n+≥6-3恒成立， 2 …9分 即2m+2-16≥(n2+n-6)λ对Vn∈W恒成立， 当n=1时，得1≥2： 高二年级数学参考答案第B页，共10页 当n=2时，得a∈R: 当n≥3时，n2+n-6=(n+3)(m-2)>0恒成立， As之m之3瓶成立. …13分 2n+2-16 令fm0=2+n-6' 2m+3-16 2*2-16(n2-n-82+2+32n+32 则f(n+l)-f(n)= (n+1'+(n+1)-62+n-6(n2+3m-4n2+n-6)’ 当n≥4时，n2-n-8>0,n2+3n-4>0,n2+n-6>0, .f(n+l)>f(n), 当n=3时，f(4)-f(3)>0也成立， .当n≥3时，数列{厂(n)》为递增数列， ≤f3),即A≤号 综上，2≤1≤号 …17分 19.(本小题17分) 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线准线上一点，点Q为线段PF与抛物线的交点，定义： d(P) ()当P(-1,-)时，求d(P): (2)证明：存在常数a,使得2d(P)=|PF+a: (3)若P,P2,P3为抛物线准线上三点，且IP P2l=P2P3,判断d(P)+d(P3)与2d(Pz)的大小关系. 【答案】解：(1)抛物线2=4x的焦点F(1,0),P(-1-,kpr=喜= 直线PF的方程为y=x-1),代入抛物线的方程， y=区-1)，解得0= 6y2=4x 抛物线的准线方程为x=-1,可得PF1=、2+等=号1QF1=+1= dp=6開=号 …4分 (2)证明：当P(-1,0)时，a=2d(P)-1PF=2×2-2=2, …6分 设P(-1,yp),根据对称性，取yp>0,直线PF的方程：x=my+1,则myp=-2, 联立x=my+1和y2=4x,可得y2-4my-4=0, 高二年级数学参考答案第9页，共10页 0=恤+16m2+16=2m+2V1+m, 2d(P)-IPFmy(m -2 +21+m=-2.1+m2-m+21+m=2, m m m 则存在常数a=2,使得2d(P)=IPF+a, 由对称性知，yp<0时也成立： …9分 (3)设P(-1,y1),P2(-1,y2),P3(-1,y3) IP1P2l=P2P3l,可知P2为P,P3中点，则y1+y3=2y2 …11分 2[d(P)+d(P3】-4d(Pz) =(IPF1+2)+(IP3F1+2)-2(IP2FI+2) …14分 -+++明-+-++4+-+ =√4+y+√4+y-√0y+y⅓)2+16， 由（√4+7+√4+）-[01+y3)2+16=2√4+y74+y贤-20y3+4), 又(4+y)(4+y3)-0yy9+4)2=40y好+y)-8y1y3=401-y)2>0, 则d(P)+d(P3)>2d(Pz). *…17分 高二年级数学参考答案第10页，共10页 高二年级数学试卷 第 1 页 共 3 页 2024—2025 学年第一学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120 分钟； 满分：150 分） 命题学校：合肥七中 命题人：蒋佃升 审题人：戴彭晴 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如图，以长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的顶点𝐷为坐标原点，建立空间直角坐标系.若向量𝐷𝐵1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 的坐标为 (4,3,2)，则点𝐶1的坐标为（ ） A. (0,3,2) B. (0,4,2) C. (4,0,2) D. (2,3,4) 2.直线𝑙: √3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0的斜率为（ ） A．−√3 B．√3 C．− √3 3 D．√ 3 3 3.等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎2 = 2，4𝑎1 + 𝑎3 = 8，则𝑆5 =（ ） A．63 B．48 C．31 D．15 4.下列条件中，一定能使点𝑀与点𝐴,𝐵, 𝐶共面的是（ ） A．𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 2𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ B．𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 5𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ C．𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 1 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 1 2 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ D．𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗ 5.圆𝐶1: 𝑥 2 + 𝑦2 − 4 = 0与圆𝐶2: 𝑥 2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0的公共弦的弦长为（ ） A. √2 B. √3 C. 2√2 D. 2√3 6. 如图，四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的所有棱长均为 2，点 E，F分别为棱 AB，CD的中点，则 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ =（ ） A．2 B．1 C．−1 D．−2 7.数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 + 2𝑎2 + 3𝑎3 + ⋯+ 𝑛𝑎𝑛 = 𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∗)，若𝑏𝑛 = 𝑎2𝑛−1 ⋅ 𝑎2𝑛+1，则数列{𝑏𝑛}的前10项的 和为（ ） A. 5 11 B. 10 11 C. 10 21 D. 20 21 8. 人教 A 版必修第一册第 92 页“探究与发现”的学习内容是“探究函数𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 的图象与性质”， 函数 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 的图象实际上是双曲线．则函数𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑥 的图象对应的双曲线的离心率为（ ） A．√20 − 6√10 B．√√10 − 3 C．√10 − 3 D．20 − 6√10 E F D A C B 高二年级数学试卷 第 2 页 共 3 页 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛．若𝑆4 = 0，𝑎6 = 7，则( ) A. 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 5 B. 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 10 C. 𝑆𝑛 = 𝑛 2 − 4𝑛 D. 𝑆𝑛 = 1 2 𝑛2 − 2𝑛 10.点 𝑂为坐标原点，过点𝑃(2,0)的直线𝑙与抛物线𝐶：𝑦2 = 4𝑥交于𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)两点，则( ) A. 抛物线𝐶的准线为𝑥 = −2 B. 𝑦1𝑦2 = −8 C. 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −4 D.△ 𝐴𝑂𝐵面积的最小值为4 11.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑃为线段𝐵1𝐶上的动点，下列结论正确的是( ) A. 三棱锥𝐴1 − 𝑃𝐶1𝐷的体积为定值 B. 异面直线𝐴𝑃与𝐴1𝐷所成角的取值范围是[ 𝜋 3 , 𝜋 2 ] C. 平面𝐴𝐷𝑃与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成夹角的余弦值的取值范围是[ 1 2 , 1] D. 直线𝐶1𝑃与平面𝐴1𝐶1𝐷所成角的正弦值的最大值为 √ 6 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.双曲线 𝑥2 10 − 𝑦2 6 = 1的焦距为 . 13.过动点𝑃作圆𝐶：(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 3的切线𝑃𝑄，点𝑄为切点，若|𝑃𝑄| = |𝑃𝑂|(𝑂为坐标原点)，则 |𝑃𝑄|的最小值是 ． 14.如图，曲线𝑦2 = 𝑥(𝑦 ≥ 0)上的点𝑃𝑖(𝑖 ∈ 𝑁 ∗)与𝑥轴上的点𝑄𝑖(𝑖 ∈ 𝑁)构成 一系列正三角形：△ 𝑄0𝑃1𝑄1，△ 𝑄1𝑃2𝑄2，…，△ 𝑄𝑛−1𝑃𝑛𝑄𝑛 …(𝑛 ∈ 𝑁 ∗).设 正三角形𝑄𝑛−1𝑃𝑛𝑄𝑛的边长为𝑎𝑛，点𝑄𝑛(𝑏𝑛, 0). 则数列{𝑎𝑛}的通项公式为 𝑎𝑛 = ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 圆𝑥2 + 𝑦2 = 8内有一点𝑀(−1,2)，𝐴𝐵为过点𝑀且倾斜角为𝛼的弦． (1)当𝛼 = 3𝜋 4 时，求弦𝐴𝐵的长； (2)当弦𝐴𝐵的长最小时，求直线𝐴𝐵的方程． 高二年级数学试卷 第 3 页 共 3 页 16.(本小题15分) 已知平面上两点𝐹1(−4,0)，𝐹2(4,0)，动点𝑃满足|𝑃𝐹1| + |𝑃𝐹2| = 10． (1)求动点𝑃的轨迹𝐶的标准方程； (2)当∠𝐹1𝑃𝐹2 = 90°时，求点𝑃的纵坐标． 17.(本小题15分) 已知三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1 = 2𝐴𝐵 = 2𝐴𝐶 = 2， ∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘，∠𝐵𝐴𝐴1 = 120 ∘． (1)求证：𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐵1𝐶； (2)若𝐵1𝐶 = 𝐴𝐴1，求平面𝐴𝐵1𝐶1与平面𝐵𝐶𝐵1所成二面角的余弦值． 18.(本小题17分) 在数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 2 𝑛 − 1． (1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛； (2)记𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + (1 − 𝜆)𝑛，且数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆2为数列{𝑆𝑛}中的最小项，求𝜆的取值范围． 19.(本小题17分) 已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 4𝑥的焦点为𝐹，点𝑃为抛物线准线上一点，点𝑄为线段𝑃𝐹与抛物线的交点，定义： 𝑑(𝑃) = |𝑃𝐹| |𝐹𝑄| ． (1)当𝑃 (−1,− 8 3 )时，求𝑑(𝑃)； (2)证明：存在常数𝑎，使得2𝑑(𝑃) = |𝑃𝐹| + 𝑎； (3)若𝑃1，𝑃2，𝑃3为抛物线准线上三点，且|𝑃1𝑃2| = |𝑃2𝑃3|，判断𝑑(𝑃1) + 𝑑(𝑃3)与2𝑑(𝑃2)的大小关系． C1 B1 A B C A1