专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程的解是 D．不等式的解集是 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线是一次函数的图像，点，在直线上．请根据图像写出方程的解 ．    3．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）用描点法，列表画出函数的图象，并利用图象解答下列问题： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（23-24八年级下·上海长宁阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 1．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ）． ①若直线与直线相交，则． ②若且a，m都不为0，则直线与直线平行． ③若表示正比例函数，则． ④若，则直线与x轴交于正半轴 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海金山·期中）一次函数的图象如图所示，由图可知方程的解为 ．    3．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式（中k，b，m，n为常数）的解集为（    ） x … 2 3 … y … 0 … A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解．若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象， 记作直线． 根据上述材料，解答以下问题： (1)请写出的一组解： (用有序数对表示)； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程： 的图象； (3)根据（2）题所画图象，可得到二元一次方程组的解是 ； (4)记直线和的交点为， 请在平面直角坐标系中标出点关于轴对称的点． 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（23-24八年级下·上海长宁·期末）若直线和直线（为正整数）与轴围成的三角形面积记为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海静安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式最值】 【例9】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（23-24八年级·上海宝山·期末）在计算机编程中有这样一个数字程序：对于二个数，用表示这两个数中较小的数．例如：，则的最大值为 ． 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【经典例题十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例10】（2024·上海静安·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x<y时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”． （1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 ； （2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 【经典例题十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例11】（2024·上海普陀·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 1．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的动点，连接，作点O关于线段的对称点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图2，当点D落在直线上时，求点P的坐标； (3)如图3，作点A关于y轴的对称点C，连接，E为的中点，连接，求线段的最小值． 1．（2024·上海静安·一模）已知直线与相交于点则关于x的方程的解是（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x=3 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）请同学们对比一次函数图象的性质探索函数的性质，其中正确的个数是(   ) ①图象关于轴对称；②当时，有最小值为-2；③的图象与轴围成的几何图形的面积是8；④若给定一个的值总能求出两个的值，则这个的值一定大于2；⑤的图象向上平移两个单位长度后，新图象经过原点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（   ） ①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ． A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 6．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解为 ． 7．（24-25八年级下·上海虹口·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 8．（2024·上海静安·一模）已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 10．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    11．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知平面直角坐标系如图所示：    (1)画出一次函数的图象； (2)当时，的取值范围是______． 13．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示C，D的坐标； (2)P是x轴上的一点，连接，，若，且，求t的值． 14．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 15．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）综合与探究 【课本再现】 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与方程、不等式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【经典例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】利用数形结合思想，结合一次函数的性质，与一元一次方程，一元一次不等式的关系解答即可． 本题考查了一次函数的性质，图象分布，与一元一次方程，一元一次不等式的关系，熟练掌握性质和两个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，， 故A错误； 图象分布中，经过了一三象限， 故， 故B错误； 方程的解是，正确， 故C符合题意； 不等式的解集是， 故D错误， 故选C． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，， 当时，，故错误，不符合题意； 方程的解是，故正确，符合题意； 当时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是，故错误，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线是一次函数的图像，点，在直线上．请根据图像写出方程的解 ．    【答案】 【分析】当时，得到，一次函数过，当时，，继而判断即可． 【详解】∵一次函数过， ∴当时，， 方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与x轴交点的横坐标就是时构成的一元一次方程的解是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）用描点法，列表画出函数的图象，并利用图象解答下列问题： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等知识点，能根据一次函数的图象和性质求出一元一次不等式和一元一次方程的解是解此题的关键． （1）根据函数的解析式画出函数的图象，根据图象得出一元一次方程的解即可； （2）根据一次函数的图象得出一元一次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：函数，列表如下： 0 1 2 0 2 4 6 8 描点法画出函数的图象如下： 由图象可知，当时，， ∴方程的解为：； （2）解：由函数图象可知，不等式的解集为：． 【经典例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例2】（23-24八年级下·上海长宁阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质可得出，进而可得出的长，再利用面积法，即可求出的长． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为． 在中，， ∴ 由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ 故选B． 1．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ）． ①若直线与直线相交，则． ②若且a，m都不为0，则直线与直线平行． ③若表示正比例函数，则． ④若，则直线与x轴交于正半轴 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①、②根据两直线平行，k、b的关系进行判断即可，③根据正比例函数的定义进行判断，④根据直线与坐标轴的交点判断即可 【详解】①若直线与直线相交，说明两直线不平行，则，正确； ②若，则a、m都不为0，则直线与直线平行，说法不正确，当时才平行； ③若表示正比例函数，则且，，③错误； ④若，则，可以判定直线与y轴交于正半轴，④错误． 综上所述，只有①正确，故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ． 【答案】 【分析】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可． 【详解】解：连接，交于点． ∵， ∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短． 当时，， 当时，，即， ∴， ∴． ∴， ∴点A在的角平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形三条边的关系，勾股定理，坐标与图形的性质，判断出当O，M，A三点共线时最短，即此时最短是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 【经典例题三 利用图象法解一元一次方程】 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 1．（2024·上海宝山·模拟预测）关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的解看成函数的图象与直线的交点的横坐标，函数的图象是定折线，直线过定点，绕定点旋转，计算旋转过程中有交点和没交点的临界状态，判断即可 【详解】解：方程的实数根，即为函数的图象与直线的交点的横坐标 如图，分别画出两函数的图象： 等价于 过定点 当直线与平行时： 当直线过点时 解得： 观察图象可知： 当时，直线与函数的图象有两个交点 故选：C 【点睛】本题考查一元一次方程一元一次函数，分段函数，图像与系数的关系；本题的关键是将方程问题转化为函数图像的交点问题 2．（23-24八年级下·上海金山·期中）一次函数的图象如图所示，由图可知方程的解为 ．    【答案】 【分析】方程的解其实就是求当函数值为0时，x的值，根据图象可得答案． 【详解】解：由一次函数图象可知：经过点（2，0）， ∴方程的解为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握如何通过图象解一元一次方程． 3．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 【经典例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例4】（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式组，解一元一次不等式组得不等式组解集，根据得，由函数图象得可判断的值 【详解】解：由图象得， 解不等式组得，， 所以，不等式组的解集为， 又不等式组的解集为， 所以，， ∴，即的值为负数， 故选：D 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下：则不等式（中k，b，m，n为常数）的解集为（    ） x … 2 3 … y … 0 … A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握表格数据信息，一次函数的增减性，是解决本题的关键． 根据表格中数据知时，，时，，得出不等式（其中k，b，m，n为常数）的解集为． 【详解】由表格可得， 时，， 时，， 知时， (其中k，b，m，n为常数)． 故选：A． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一函数的性质，一次函数解析，对称的性质，根据题意画出函数图象，求出函数G的解析式为，结合函数图象，分三种情况讨论，当；当；当；分别列出不等式求解即可． 【详解】解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了画一次函数的图象、利用图象法解不等式等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出函数图象与x轴和y轴的交点，描点连线即可； （2）根据图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，当，则， 解得：， ∴一次函数与轴分别交于点， 由此可画出图象为： （2）解：由图象可得当时，x的取值范围为：． 【经典例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数和的图象相交于点，求出点的坐标，再根据当时， 的图象在的图象的下方，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵当时， 的图象在的图象的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A． 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【详解】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； (3)①2；② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）①解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， （2）函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； （3）解：①观察图形可知， 方程有1个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 【经典例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例6】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：C． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 2．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料： 我们知道，二元一次方程有无数组解．若我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象， 记作直线． 根据上述材料，解答以下问题： (1)请写出的一组解： (用有序数对表示)； (2)在所给的平面直角坐标系中画出方程： 的图象； (3)根据（2）题所画图象，可得到二元一次方程组的解是 ； (4)记直线和的交点为， 请在平面直角坐标系中标出点关于轴对称的点． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的图象与性质，直角坐标系中点的对称，解题的关键是数形结合． （1）根据直线的点的坐标即为方程的解，即可求解； （2）利用两点作出画出函数的图象即可； （3）观察图象，两直线的交点即为该方程组的解； （4）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点在直线上， 的一组解为， 故答案为：； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 方程过点，， 过点，画出直线如下图： （3）由（2）中的图象可知，二元一次方程组的解是， 故答案为：； （4）如图，点即为所求： 【经典例题七 图象法解二元一次方程组】 【例7】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 【经典例题八 求直线围成的图形面积】 【例8】（23-24八年级下·上海长宁·期末）若直线和直线（为正整数）与轴围成的三角形面积记为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出直线和直线（为正整数）与轴的交点坐标和两直线交点的坐标，表示出两直线与轴围成的三角形面积，再进行分析判断即可得到结论． 【详解】解：当时，，解得，即直线与x轴交于点， 当时，，解得，即直线与x轴交于点， 联立与得到 ， 解得， 即与的交点为， ∴， ∴ ∵为正整数， ∴随着n的增大，越来越接近于， ∴中，的最小值为． 故选：B 【点睛】此题考查了一次函数综合题，解题的关键是求出一次函数图象与x轴的交点坐标和两直线交点的坐标． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短． 设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得，     ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得，     ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为1，的最小值为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海静安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点的坐标为，可得，根据函数图像交点的意义可得，再根据，继而得到，求解即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所构成的方程组的解． 【详解】解：如图，设点的坐标为， ∵点坐标为， ∴， ∵方程组的解为， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，三角形的面积． （1）分别令和得出对应的x和y的值即可得出两点的坐标； （2）过点E作于点F，根据四边形的面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当P在x轴负半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，进行讨论得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令时，得， 令时，得，解得， ∴，； （2）解：如图，过点E作于点F， 由（1）可得，， 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积， ∴， 分以下两种情况： ①当P在x轴负半轴上时， 设，则 ， 解得； ②当P在y轴负半轴上时， 设，则 ， 解得． ∴或． 【经典例题九 一次函数与方程、不等式最值】 【例9】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种． 【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值， 联立两直线解析式：， 解得， 把代入或解析式求得． 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键． 由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可． 【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 2．（23-24八年级·上海宝山·期末）在计算机编程中有这样一个数字程序：对于二个数，用表示这两个数中较小的数．例如：，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】分别画出函数，的图象，根据图象可知在时有最大值，求出此时的值即可． 【详解】解：令函数，， 联立得， 函数图象如下， 根据函数图象可知， 当时，min{x+1，-2x+2}的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．掌握数形结合思想，能借助图形分析是解题关键． 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)3， (3)交点坐标为， (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【详解】（1）将，代入 得，， 画图如下： （2）当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； （3）当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； （4）如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 【经典例题十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例10】（2024·上海静安·二模）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x<y时，max{x，y}＝y，例如max{﹣1﹣2}＝﹣1，max（3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令3x=x+2，解得x=1，画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断． 【详解】解：令3x=x+2，解得x=1， 直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x>1时，x+2>3x； 当x>1时，3x>x+2， 故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值． 【详解】解：联立与得， 解得， 当时，， ； 当时，， ； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选C． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”． （1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 ； （2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 ． 【答案】 （-9，7） m＜ 【分析】（1）根据点C是点A、B的“双减点”的定义可求点B坐标； （2）点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F，可表示出点F的坐标，根据点F在直线y=x+1下方可得出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）点A（-1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，-2）， ∴=4，=-2， ∴a=-9，b=7， ∵点B坐标（-9，7）， 故答案为：（-9，7）； （2）∵点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F， ∴F（，），即F（，）， ∵点F在直线y=x+1下方， ∴+1＞， 解得m＜， 故答案为：m＜． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义运算：当时，；当时，；如：；；根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出的x取值范围是__________； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，x (2)； (3)． 【分析】本题是两直线相交问题，考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，能够求得交点坐标并理解新定义的含义是解决本题的关键． （1）根据，的定义，即可求解； （2）根据，的定义，即可求解； （3）根据图象，结合，的定义即可． 【详解】（1）根据定义，得， 当时，， 故答案为：，x； （2）∵， 根据图象，可得x的取值范围：． 故答案为：． （3）∵， ∴， 解得x≥1． ∴x的取值范围是：． 【经典例题十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例11】（2024·上海普陀·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，解题关键是找到两函数的交点坐标．在同一平面直角坐标系画图，根据一次函数与不等式即可判断． 【详解】解：在同一坐标系画图： 当时，x的取值范围是． 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】利用一次函数的增减性即可判断①；由即可判断②；分两组情况讨论求得的值即可判断③；根据A的横坐标即可判断④． 【详解】解：①∵直线中， ∴随x的增大而增大， 当时，；当时，， ∴，故①错误； ②∵当时，；当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与x轴所夹锐角总等于，故②正确； ③∵时，， ∴， 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； ∴的长为2或4，故③正确； ④由③可知，直线与直线的交点A横坐标为2， ∴关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质等，求得A点的坐标是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的动点，连接，作点O关于线段的对称点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图2，当点D落在直线上时，求点P的坐标； (3)如图3，作点A关于y轴的对称点C，连接，E为的中点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)点A的坐标为；点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，是等腰直角三角形，再由对称性可得， 从而得到，是等腰直角三角形，即可求解； （3）连接，由对称性可得点C的坐标为，从而得到点E的坐标为，进而得到，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为；点B的坐标为， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵点O关于线段的对称点为点D， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：如图，连接， 由题意得∶点C的坐标为， ∵E为的中点，点B的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，掌握基础知识是解本题的关键． 1．（2024·上海静安·一模）已知直线与相交于点则关于x的方程的解是（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x=3 【答案】A 【分析】首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，成立， 故解为：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象和性质，根据一次函数图象所过象限，与坐标轴交点情况，一次函数与一元一次不等式，以及一次函数与一元一次方程关系，对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图知，过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知，，， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当时，， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知，与的交点横坐标为， 的解为， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线上运动，当线段取得最小值时，点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可知，当时，线段最短，过点D作轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，再然后将代入直线可得点D的纵坐标，由此即可得． 【详解】解：对于直线， 当时，，解得，即，， 当时，y＝﹣5，即，， 是等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，如图，当时，线段最短， 则是等腰直角三角形， 过点D作轴于点E， ∴点E是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴点E的坐标为，即为， ∴点D的横坐标为， 将代入直线得， ， 则点D的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）请同学们对比一次函数图象的性质探索函数的性质，其中正确的个数是(   ) ①图象关于轴对称；②当时，有最小值为-2；③的图象与轴围成的几何图形的面积是8；④若给定一个的值总能求出两个的值，则这个的值一定大于2；⑤的图象向上平移两个单位长度后，新图象经过原点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画出函数的大致图象，即可求解． 【详解】解：函数的大致图象如下： ①图象关于轴对称，故错误，不符合题意； ②当时，有最小值为；正确，符合题意； ③的图象与轴围成的几何图形的面积，错误，不符合题意； ④若给定一个的值总能求出两个的值，则这个的值一定大于，错误，不符合题意； ⑤的图象向上平移两个单位长度后，新图象经过原点，正确，符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组 时所画的图象(如图所示) ，让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（   ） ①可能等于：②可能等于； ③这个方程组的解为 ；④可能等于 ． A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】此题考查了图象法解二元一次方程组，一次函数的图像与性质，熟知根据图象交点即可得到方程组的解是解题的关键．根据一次函数图象的交点为方程组的解可判断③；根据其中一条直线与轴的交点是，可判断①；当时，将代入求出，可判断②；根据一次函数的图象与性质求出的取值情况，可判断④． 【详解】解：由图象可知，两条直线的交点为，则该方程组的解为，故③正确； 其中一条直线与轴的交点是， 可能等于，故①正确； 当时，第一个方程为，将代入得：， 解得：，故②正确； 当的图像过和时，将和代入得： ， 解得：， ， 当的图像过和时，， 可能等于或，故④错误； 正确的是①②③， 故选：C． 6．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式构成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴， ∴， 即两条直线的交点坐标为：， ∴方程组的解为； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海虹口·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【详解】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·上海静安·一模）已知函数，且关于、的二元一次方程有两组解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，一次函数图象等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先化简为，得出无论取何值，恒过，画出题中分段函数图象，结合随值不同，绕进行旋转，观察图象即可求解． 【详解】解：可化为， 无论取何值，恒过， 该函数图象随值不同，绕进行旋转， 作出题中，两个函数图象如下： ， 由图象可得，与轴的交点为， 当经过，时恰好与有两个交点，此时， 由图象可得，当时，的倾斜程度越缓，与只有一个交点，故的取值范围是， 当时，与平行，与只有一个交点，故的取值范围是， 综上所述，当时，关于，的二元一次方程有两组解． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围． 【详解】解：由图象可知时，一次函数的值大于0， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， 由图象，可知，不等式的解集为：； 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 12．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知平面直角坐标系如图所示：    (1)画出一次函数的图象； (2)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象及性质，画一次函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． （1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图象， （2）根据函数图象，得出答案即可； 【详解】（1）解：如图，   ； （2）解：当时，，解得， 根据一次函数图象可得：当时，； 故答案为：． 13．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示C，D的坐标； (2)P是x轴上的一点，连接，，若，且，求t的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． （1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可． 【详解】（1）解：直线分别交轴，轴于点，， 令，则， 故点的坐标为， 令，，则， 故点的坐标为， 直线分别交轴，直线于点，， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 直线与直线交于点， ， 解得， 故点的坐标为； 综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）解：过点作轴于， 设， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 解得或（，重合舍去）， 故， 当时，， 解得或（舍）， 故， 综上，或． 14．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：令得， ； 令得， ． （2）解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， ， ， 即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：．    （3）解：因为， ． 若，则， ， 解得或． 当； 当． 当或时， 此时M点的坐标． 15．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）综合与探究 【课本再现】 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【答案】(1)A (2)作图见解析 (3)，； 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）分别把，代入求出值，根据是否一致进行判断即可； （2）求出方程的两组解，确定两个点，即可画出的图象，用同样的方法画出的图象即可； （3）观察（2）中的图象，找出交点坐标，即可解答； 【详解】（1）代入得：， 所以点A在方程的图象上； 代入得：， 所以点B不在方程的图象上； 代入得：， 所以点C不在方程的图象上； 故答案为：A， （2）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，，； 把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，； 如图即为所求： （3）解：由（2）可得：的图象与的图象相交于， ∴这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； 学科网（北京）股份有限公司 $$