专题01 事件及其发生的可能性、事件的概率重难点题型专训（18大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 事件及其发生的可能性、事件的概率重重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 事件的分类 题型二 概率的意义理解 题型三 根据概率作判断 题型四 游戏的公平性 题型五 判断事件发生的可能性的大小 题型六 列举随机实验的所有可能结果 题型七 判断几个事件概率的大小关系 题型八 根据概率公式计算概率 题型九 已知概率求数量 题型十 几何概率 题型十一 列举法求概率 题型十二 列表法或树状图法求概率 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 题型十四 求某事件的频率 题型十五 由频率估计概率 题型十六 用频率估计概率的综合应用 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 题型十八 概率的其他应用 知识点01：用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点02：用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【经典例题一 事件的分类】 【例1】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 1．（2024·上海宝山·模拟预测）在一个不透明的抽奖盒里装有除颜色外无其他差别的个红球、个黄球和个蓝球，从中随机抽出个球，下列事件属于随机事件的是（   ） A．至少摸出一个蓝球 B．至少摸出两个黄球 C．至少摸出一个红球 D．至少摸出两个蓝球 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 3．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)求每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？ 【经典例题二 概率的意义理解】 【例2】（2024·上海崇明·一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 1．（2024·上海闵行·模拟预测）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 2．（2024·上海宝山·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为 ． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【经典例题三 根据概率作判断】 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024·上海虹口·一模）为提升英语听力及口语技能，小明打算在手机上安装一款英语口语APP辅助练习．他分别从甲、乙、丙三款口语APP中随机选取了1000条网络评价进行对比，统计如下： 等级 评价数量 APP 五星 四星 三星 二星 一星 合计 甲 562 286 79 48 25 1000 乙 517 393 52 21 17 1000 丙 504 210 136 116 34 1000 （说明：网上对于口语APP的综合评价从高到低依次为五星、四星、三星、二星和一星）. 小明选择 （填“甲”、“乙”或“丙”）款英语口语APP，能获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性最大． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【经典例题四 游戏的公平性】 【例4】（2025·上海杨浦·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 1．（2024·上海长宁·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率，并判断规则是否公平． 【经典例题五 判断事件发生的可能性的大小】 【例5】（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 1．（2024·上海宝山·模拟预测）下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其内角和为360° B．过平面内任意三点画一个圆 C．经过任意两点画一条直线 D．任意画一个平行四边形，其对角相等 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为 . 3．（2024·上海宝山·二模）章敏和同学利用纸牌玩游戏，所有纸牌的背面都相同，桌面上有五张背面朝上的纸牌，牌面数字分别为3，3，3，9，10．牌面数字相同的两张纸牌称为一组“对子”．    (1)从桌面的五张纸牌中随机抽取一张，抽到牌面数字是______的可能性最大；（填“3”“9”或“10”） (2)章敏先从桌面的五张纸牌中随机抽取一张，不放回，然后再从剩下的四张中随机抽取一张，请用树状图或列表法求章敏所抽的两张牌是一组“对子”的概率． A B C D E A B C D E 【经典例题六 列举随机实验的所有可能结果】 【例6】（2024·上海嘉定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级·上海长宁·单元测试）一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（        ） A．（男，女）（男，男）（女，女） B．（男，女）（女，男） C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女） D．（男，男）（女，女） 2．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）学校举办“爱家乡山水”征文活动，小明为此次活动设计一个以三座山为背景的图标（如图），现用绿、红两种颜色对图标中的三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色． （1）请写出所有涂色的可能结果： （2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块绿色、一块红色”的概率 【经典例题七 判断几个事件概率的大小关系】 【例7】（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 1．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）从谢家集到田家庵有3路，121路，26路三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从谢家集到田家庵的用时时间，在每条线路上随机选取了450个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐 （填“3路”，“121路”或“26路”）线路上的公交车，从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的可能性最大. 用时 合计（频次） 线路 3路 260 167 23 450 121路 160 166 124 450 26路 50 122 278 450 3．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 【经典例题八 根据概率公式计算概率】 【例8】（2025·上海松江·一模）2025年春节档电影精彩纷呈，其中《哪吒之魔童闹海》登顶全球动画电影票房榜首位．小晋和小阳相约观影，他们分别从图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）两盒子中装有若干除颜色不同外其余特征都相同的白球和黄球，其中A盒中有3个白球、2个黄球，B盒中有2个白球、4个黄球．现在将这两个盒子中的求全部倒入另一个不透明盒子中，然后从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为 ．如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为 ． 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）下表为某次体育赛事中三种球类比赛的部分门票价格，下图是某公司购买这三种门票数量的条形统计图． 比赛项目 票价/（元·张） 篮球 100 足球 80 乒乓球 x 根据图表信息，解答下列问题： (1)该公司购买的篮球比赛门票有______张，购买的乒乓球比赛门票数量占全部门票数量的______； (2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票文字的条件下，每人抽取1张（假设所有的门票除文字内容外其余都相同），员工小亮抽到足球比赛门票的概率是______； (3)若购买乒乓球比赛门票的总支出占全部门票总支出的，求每张乒乓球比赛门票的价格． 【经典例题九 已知概率求数量】 【例9】（23-24八年级下·上海虹口·期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共若干个，它们除颜色外其余完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表： 摸球次数 摸到白球的频数 摸到白球的频率 已知袋子里白球有个，根据表格信息，可估计出红球的个数为 ． 3．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 99 196 294 980 合格频率 0.98 0.99 0.98 0.98 0.98 (1)表格中______，______； (2)估计任抽一件该产品是合格品的概率为______．（结果保留两位小数） (3)根据（2）中的正确估值，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产______件． 【经典例题十 几何概率】 【例10】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 3．（24-25八年级下·上海长宁·随堂练习）如图，把一个圆形转盘的面积按照的比例分为A，B，C三个扇形区域，自由转动转盘，求停止后指针落在B区域的概率． 【经典例题十一 列举法求概率】 【例11】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图所示，圆盘被分成个全等的小扇形，分别写上数字，，，，，，，，自由转动圆盘，指针指向的数字的概率是 ． 3．（2024·上海宝山·模拟预测）某校组织“数学文化”知识竞赛，小美和小唯参加了这次竞赛．竞赛共10题，时间为45分钟，小美和小唯都成功地做完前7道题，此时小美和小唯都还剩下5分钟时间，由于题干较长，答题时间有限，她们只能在后3题中选取1题解答．两人采用不同的选题策略：小美直接做第8题，小唯先迅速并仔细地阅读第8题，再认真阅读第9题，若第9题比第8题简单，她就做第9题；若第9题比第8题难，她就做第10题．若这3题的难度系数按从小到大排序为0.2，0.3，0.4（难度系数越小表示题目难度越大）． (1)这3题按题目的顺序，其难度系数共有哪几种可能？ (2)请列表分析小美和小唯谁选到难度最低的题目的可能性较大？为什么？ 【经典例题十二 列表法或树状图法求概率】 【例12】（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）从，1中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象交x轴于负半轴的概率是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海宝山·一模）如图，有四张形状、大小、材质均相同的扑克牌，扑克牌正面分别标有黑桃，红桃，方块，梅花，将扑克牌反面朝上放在桌子上并洗匀，从中随机摸出张扑克牌，则摸出的张扑克牌是同一颜色（即红桃、方块或黑桃、梅花）的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·一模）一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为 ． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）为响应中央号召，每个公民应管理好自己的身体．某社区准备成立工会体育活动中心，准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．保龄球；D．羽毛球．为了解社区居民对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取社区部分居民进行调查，要求每个居民从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查中，抽查的居民总数是_____人，扇形统计图中m的值是______； (2)补全条形统计图； (3)现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四位居民中，随机选取两名居民参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两个居民的概率． 【经典例题十三 关于频率与概率关系说法的正误】 【例13】（2024·上海奉贤·二模）下列说法正确的是（    ） A．可能性很大的事件是必然发生的 B．南方的冬天永远不会下雪 C．工厂生产的产品可能有不合格的 D．掷一枚硬币，正面朝上的概率是 1．（2024·上海金山·二模）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 2．（2024·上海青浦·一模）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 200 500 1000 2000 A 出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B 出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率 0.96 0.96 0.97 0.98 0.97 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98； ③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是 （只填序号）． 3．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 10 7 9 16 10 （1）计算出现向上点数为6的频率． （2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由． （3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率． 【经典例题十四 求某事件的频率】 【例14】（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期中）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是（     ） 实验次数 100 200 300 500 800 1200 频率 0.430 0.360 0.320 0.328 0.330 0.329 A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率 C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率 D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率 2．（23-24七年级·上海长宁·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率． 【经典例题十五 由频率估计概率】 【例15】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： (1)请将数据表补充完整； 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.948 (2)画出发芽频率的折线统计图； (3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______． 【经典例题十六 用频率估计概率的综合应用】 【例16】（2024·上海闵行·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 1．（23-24八年级下·上海松江·期中）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【经典例题十七 概率在转盘抽奖中的应用】 【例17】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 1．（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践 【问题再现】 (1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 (2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为． 【拓展运用】 (3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数． 【经典例题十八 概率的其他应用】 【例18】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）某市环青云湖竞走活动中，走完全部行程的队员即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被等分成16个扇形，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三等奖，奖品分别为自行车、雨伞、签字笔．小明走完了全程，可以获得一次摇奖机会，小明能获得签字笔的概率是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． 1．（23-24八年级下·上海松江·期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 2．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 9．（23-24八年级下·上海松江·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 10．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，一只圆形平盘被同心圆划成，两个区域（其中区域是半径为的圆，区域是圆环）．随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圆半径，则大圆半径 ．    11．（2025八年级下·上海长宁·模拟预测）一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出后： (1)掷出“6”朝上的可能性有多大？ (2)哪些数字朝上的可能性一样大？ 12．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 13．（2025·上海闵行·一模）随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． (1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； (2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 14．（2024·上海虹口·一模）某校为了“中考体测”的顺利进行，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对新跳绳进行测试，绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 一分钟跳绳成绩的分组统计表 组别 跳绳次数分段 频数 A 10 B C 42 D 13 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，统计表中的的值为 ； (2)抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是 ； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，则恰好分组都是一男一女的概率是多少？ 15．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 0.954 ①当试验的麦粒数位时，发芽的频率为，是小麦发芽的概率吗？） A． 是     B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 （结果精确到） (2)迁移应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖，  现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 事件及其发生的可能性、事件的概率重重难点题型专训（18大题型+15道提优训练） 题型一 事件的分类 题型二 概率的意义理解 题型三 根据概率作判断 题型四 游戏的公平性 题型五 判断事件发生的可能性的大小 题型六 列举随机实验的所有可能结果 题型七 判断几个事件概率的大小关系 题型八 根据概率公式计算概率 题型九 已知概率求数量 题型十 几何概率 题型十一 列举法求概率 题型十二 列表法或树状图法求概率 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 题型十四 求某事件的频率 题型十五 由频率估计概率 题型十六 用频率估计概率的综合应用 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 题型十八 概率的其他应用 知识点01：用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点02：用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【经典例题一 事件的分类】 【例1】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，故符合题意； D、水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）在一个不透明的抽奖盒里装有除颜色外无其他差别的个红球、个黄球和个蓝球，从中随机抽出个球，下列事件属于随机事件的是（   ） A．至少摸出一个蓝球 B．至少摸出两个黄球 C．至少摸出一个红球 D．至少摸出两个蓝球 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件和必然事件，根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义即可判断求解，掌握随机事件、不可能事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、从中随机抽出个球，至少摸出一个蓝球是随机事件，该选项符合题意； 、从中随机抽出个球，至少摸出两个黄球是不可能事件，该选项不合题意； 、从中随机抽出个球，至少摸出一个红球是必然事件，该选项不合题意； 、从中随机抽出个球，至少摸出两个蓝球是不可能事件，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】（1）④⑥；（2）①③⑤；（3）②④⑥ 【解析】略 3．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)求每小组共比赛多少场？ (2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？ 【答案】(1)每小组共比赛6场 (2)该队出线是一个不确定事件 【分析】（1）每个小组有4个队，每队要和其余的3个队进行比赛，故要比赛场，而每两队之间只比赛一场，因此再除以2可完成解答； （2）结合（1）的结论，先求出每组的最高得分，再求出剩下的分数，然后结合确定事件和随机事件的概念进行判断，即可完成解答． 【详解】（1）（场） 答：每小组共比赛6场． （2）因为总共有6场比赛， 每场比赛最多可得3分， 则6场比赛最多共有分， 现有一队得6分， 还剩下12分， 则还有可能有2个队同时得6分， 故不能确保该队出线，因此该队出线是一个不确定事件． 【点睛】此题考查了随机事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 【经典例题二 概率的意义理解】 【例2】（2024·上海崇明·一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 1．（2024·上海闵行·模拟预测）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 【答案】C 【分析】分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．　 【详解】解：A中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误; B中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误; C中的概率为,符合这一结果,故此选项正确; D中的概率为,不符合这一结果,故此选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键． 2．（2024·上海宝山·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为 ． 【答案】 【分析】随机事件A的概率P(A)＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：设正六边形边长为a， 则灰色部分面积为3×， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为, 所以镖落在白色区域的概率P= =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了概率的公式，用列表法或画树状图法求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率为设计即可求解； （2）画出树状图列出所有情况，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中某天A地，B地都下雨的情况有1种， ∴某天A地，B地都下雨的概率为． 【经典例题三 根据概率作判断】 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（    ） A．摸到黄球、红球的概率均为 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为 C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、 D．摸到黄球、红球、白球的概率都是 【答案】B 【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项． 【详解】A.； B.，不成立； C.; D.; 故选：B． 【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 2．（2024·上海虹口·一模）为提升英语听力及口语技能，小明打算在手机上安装一款英语口语APP辅助练习．他分别从甲、乙、丙三款口语APP中随机选取了1000条网络评价进行对比，统计如下： 等级 评价数量 APP 五星 四星 三星 二星 一星 合计 甲 562 286 79 48 25 1000 乙 517 393 52 21 17 1000 丙 504 210 136 116 34 1000 （说明：网上对于口语APP的综合评价从高到低依次为五星、四星、三星、二星和一星）. 小明选择 （填“甲”、“乙”或“丙”）款英语口语APP，能获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性最大． 【答案】乙 【分析】由题意根据概率公式先求出甲、乙、丙三款口语APP获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：选择甲款口语APP获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性为， 选择乙款口语APP获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性为， 选择丙款口语APP获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性为， ∵0.91＞0.848＞0.714， ∴选择乙款英语口语APP，能获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星），乙的可能性最大． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查简单概率的计算及比较可能性大小注意掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 【经典例题四 游戏的公平性】 【例4】（2025·上海杨浦·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 1．（2024·上海长宁·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率，并判断规则是否公平． 【答案】小颖获胜的概率为，该游戏规则不公平 【分析】本题考查的是通过列表法或画树状图游计算概率及熟练公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种；其和大于10的情况有3种， 小颖获胜的概率为； 小亮获胜的概率为， 显然， 故该游戏规则不公平． 【经典例题五 判断事件发生的可能性的大小】 【例5】（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 【答案】C 【分析】本题考查了事件的可能性判断，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能，到了第二个路口，则需要剔除掉来时的方向，据此作答即可． 【详解】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能． 而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能； 如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能； 如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能； 但是这三种情况下，都有向西的可能． 所以它一直向西行驶的概率较大． 故选：C． 1．（2024·上海宝山·模拟预测）下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其内角和为360° B．过平面内任意三点画一个圆 C．经过任意两点画一条直线 D．任意画一个平行四边形，其对角相等 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A. 任意画一个三角形，其内角和为360°是不可能事件，不符合题意； B. 过平面内任意三点画一个圆是随机事件，符合题意； C. 经过任意两点画一条直线是必然事件，不符合题意；     D. 任意画一个平行四边形，其对角相等是必然事件，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为 . 【答案】 【分析】根据三等奖以上的百分比即可判断出小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性大小. 【详解】由扇形统计图可得获得三等奖以上的百分比为：一等奖占10%，二等奖占15%，三等奖占25%， 所以，占三等奖以上为50%， 故小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为. 故答案为：. 【点睛】解决此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种奖项数量的多少，直接判断可能性的大小． 3．（2024·上海宝山·二模）章敏和同学利用纸牌玩游戏，所有纸牌的背面都相同，桌面上有五张背面朝上的纸牌，牌面数字分别为3，3，3，9，10．牌面数字相同的两张纸牌称为一组“对子”．    (1)从桌面的五张纸牌中随机抽取一张，抽到牌面数字是______的可能性最大；（填“3”“9”或“10”） (2)章敏先从桌面的五张纸牌中随机抽取一张，不放回，然后再从剩下的四张中随机抽取一张，请用树状图或列表法求章敏所抽的两张牌是一组“对子”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）． （1）根据事件发生的可能性的大小可得出答案； （2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果数（如下图），再利用概率公式计算可得出答案． 【详解】（1）解：从桌面的五张纸牌中随机抽取一张，抽到牌面数字是的可能性最大； （2）列表如下： 记红桃3，红桃3，梅花3，红桃9，红桃9为，，，， A B C D E A B C D E 所有的等可能的结果数有20个，能够组成“对子”的结果数有6种， ∴所抽的两张牌是一组“对子”的概率为． 【经典例题六 列举随机实验的所有可能结果】 【例6】（2024·上海嘉定·一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 1．（23-24八年级·上海长宁·单元测试）一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（        ） A．（男，女）（男，男）（女，女） B．（男，女）（女，男） C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女） D．（男，男）（女，女） 【答案】C 【分析】根据题意，列举出所有可能结果，注意“男、女”和“女、男”是两个基本事件，而不是一个基本事件． 【详解】一个家庭有两个小孩，给两个小孩编号为1号和2号，则所有可能的基本事件是： （1）1号：男，2号：女；（2）1号：女，2号：男；（3）1号：男，2号：男；（4）1号：女，2号：女； 即共有4个基本事件． 故选C． 【点睛】列举法求等可能试验结果，列举出所有可能是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 【答案】8 【分析】本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【详解】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；三、0⇒1⇒3⇒4；四、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 【点睛】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）学校举办“爱家乡山水”征文活动，小明为此次活动设计一个以三座山为背景的图标（如图），现用绿、红两种颜色对图标中的三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色． （1）请写出所有涂色的可能结果： （2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块绿色、一块红色”的概率 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）直接列举出所有可能的结果； （2）结合（1），根据概率公式进行求解． 【详解】解：（1）所有可能为：（绿，绿，绿），（绿，绿，红），（绿，红，绿），（绿，红，红），（红，绿，绿），（红，绿，红），（红，红，绿），（红，红，红）； （2）所有等可能出现的结果共有8种，恰好“两块绿色、一块红色”的结果有3种， 所以这个事件的概率是． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，注意要不重复不遗漏的列出所有可能的结果，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【经典例题七 判断几个事件概率的大小关系】 【例7】（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）投掷一枚普通的正方体骰子，有下列事件： ①掷得的点数是6 ；②掷得的点数是奇数 ；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（　　） A．①②③④ B．④③②① C．③④②① D．③②④① 【答案】B 【分析】根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案. 【详解】根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②① 故选：B 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等；解答本题时，根据题意，易得这些事件的总情况数目相同，只需比较其包含的情况数目. 1．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王”；④抽到“黑色”的，其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小． 【详解】∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的概率为 = ； ②抽到“黑桃”的概率为 ； ③抽到“大王”的概率为 ； ④抽到“黑色”的概率为 = ， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）从谢家集到田家庵有3路，121路，26路三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从谢家集到田家庵的用时时间，在每条线路上随机选取了450个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐 （填“3路”，“121路”或“26路”）线路上的公交车，从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的可能性最大. 用时 合计（频次） 线路 3路 260 167 23 450 121路 160 166 124 450 26路 50 122 278 450 【答案】3路 【分析】只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率. 【详解】3路从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的概率 ， 121路从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的概率 ， 26路从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的概率 所以3路从谢家集到田家庵“用时不超过50分钟”的可能性最大． 【点睛】本题考查了概率，正确运用概率公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： （1）记为点A：随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （2）记为点B：抛出的篮球会下落； （3）记为点C：从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； （4）记为点D：如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． 【答案】（1）0；（2）1；（3）；（4）．图中表示见解析． 【分析】（1）先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为0求解； （2）先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为1求解； （3）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值； （4）先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值．然后依次标在图中即可． 【详解】（1）随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上面的点数之和为1为不可能事件，其概率为0； （2）为必然事件，其概率为1； （3）从装有3个红球、7个白球的口袋中任取一个球，恰好是白球，是随机事件，其概率为； （4）如图2所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内的概率为； 如图所示： 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 【经典例题八 根据概率公式计算概率】 【例8】（2025·上海松江·一模）2025年春节档电影精彩纷呈，其中《哪吒之魔童闹海》登顶全球动画电影票房榜首位．小晋和小阳相约观影，他们分别从图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 列表得出所有等可能的结果数以及小晋和小阳选择的影片相同的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小晋和小阳选择的影片相同的结果有3种， 所以小晋和小阳选择的影片相同的概率为． 故答案为：A． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； 根据题意，求得正方形的面积，再求得阴影部分面积，进而求解； 【详解】解：阴影部分面积为：， 正方形面积为：， 落在阴影部分中的概率为； 故选：C 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）两盒子中装有若干除颜色不同外其余特征都相同的白球和黄球，其中A盒中有3个白球、2个黄球，B盒中有2个白球、4个黄球．现在将这两个盒子中的求全部倒入另一个不透明盒子中，然后从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为 ．如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机摸出一个球．摸出白球的概率为， 从中随机摸出一个球．摸出黄球的概率为， 摸出的球是黄球且来自盒的概率为， 故如果摸出的是黄球，则该球来自A盒的概率为． 故答案为：，． 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）下表为某次体育赛事中三种球类比赛的部分门票价格，下图是某公司购买这三种门票数量的条形统计图． 比赛项目 票价/（元·张） 篮球 100 足球 80 乒乓球 x 根据图表信息，解答下列问题： (1)该公司购买的篮球比赛门票有______张，购买的乒乓球比赛门票数量占全部门票数量的______； (2)公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票文字的条件下，每人抽取1张（假设所有的门票除文字内容外其余都相同），员工小亮抽到足球比赛门票的概率是______； (3)若购买乒乓球比赛门票的总支出占全部门票总支出的，求每张乒乓球比赛门票的价格． 【答案】(1)30，20； (2) (3)50元/张 【分析】本题考查了条形统计图，统计表，概率公式等知识，解题的关键是： （1）由条形统计图可得购买男篮比赛的门票数为30张，购买乒乓球比赛的门票数为20张，然后计算观看乒乓球比赛的门票所占的百分比； （2）根据概率的公式求解； （3）根据题意列方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：某公司购买男篮比赛的门票张数为30（张）， ∴观看乒乓球比赛的门票所占的百分比为； （2）解：员工小亮抽到足球门票的概率为； （3）解：根据题意得． 解得， 即每张乒乓球门票的价格为500元． 【经典例题九 已知概率求数量】 【例9】（23-24八年级下·上海虹口·期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（   ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题． 【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6， 袋中白球的个数为（个）， 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（    ） A．10 B．15 C．16 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为， ∴， 解得：， ∴约为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共若干个，它们除颜色外其余完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表： 摸球次数 摸到白球的频数 摸到白球的频率 已知袋子里白球有个，根据表格信息，可估计出红球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据题可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出袋子中球的总数，从而可计算出红球的个数． 【详解】解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将接近， ∴摸到白球的概率为， ∴估计袋子中球的个数为：个， ∴袋子中红球的个数为：个， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 99 196 294 980 合格频率 0.98 0.99 0.98 0.98 0.98 (1)表格中______，______； (2)估计任抽一件该产品是合格品的概率为______．（结果保留两位小数） (3)根据（2）中的正确估值，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产______件． 【答案】(1)490，0.98 (2)0.98 (3)511 【分析】本题考查了频率与频数，利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据，即可求出m、n的值； （2）由表格可知，得到随实验次数的增多，合格品的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计； （3）根据代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ， 故答案为：490，0.98； （2）解：由表格可知，合格频率越来越稳定在0.98左右， ∴合格的概率大约为0.98， 故答案为：0.98； （3）解：（件） 所以，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产511件， 故答案为：511． 【经典例题十 几何概率】 【例10】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果． 【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为， ∴他射中8环的概率是； 故选B． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．根据几何概率的求法进行解答即可． 【详解】解：大圆的半径，小圆半径， 大圆面积是小圆面积的倍， 阴影部分面积是小圆面积的倍， 故击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海长宁·随堂练习）如图，把一个圆形转盘的面积按照的比例分为A，B，C三个扇形区域，自由转动转盘，求停止后指针落在B区域的概率． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意得到可将圆的面积均匀地分为（份），其中B区域占2份，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，可将圆的面积均匀地分为（份）， 其中B区域占2份，故P（指针落在B区域）． 【经典例题十一 列举法求概率】 【例11】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图所示，圆盘被分成个全等的小扇形，分别写上数字，，，，，，，，自由转动圆盘，指针指向的数字的概率是 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据列举法，求出自由转动圆盘指针指向的所有情况以及指针指向的数字的情况数量，通过计算即可得到答案． 【详解】自由转动圆盘，总共有8种结果，其中指针指向的数字的情况分别为：1，2 ∴指针指向的数字的概率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握列举法求概率的方法，从而完成求解． 3．（2024·上海宝山·模拟预测）某校组织“数学文化”知识竞赛，小美和小唯参加了这次竞赛．竞赛共10题，时间为45分钟，小美和小唯都成功地做完前7道题，此时小美和小唯都还剩下5分钟时间，由于题干较长，答题时间有限，她们只能在后3题中选取1题解答．两人采用不同的选题策略：小美直接做第8题，小唯先迅速并仔细地阅读第8题，再认真阅读第9题，若第9题比第8题简单，她就做第9题；若第9题比第8题难，她就做第10题．若这3题的难度系数按从小到大排序为0.2，0.3，0.4（难度系数越小表示题目难度越大）． (1)这3题按题目的顺序，其难度系数共有哪几种可能？ (2)请列表分析小美和小唯谁选到难度最低的题目的可能性较大？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)小唯选到难度最低的题目的可能性较大，理由见解析 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练列出表格是解题的关键． （1）用列举法列出所有可能性即可； （2）用列表法求出小美选到难度最低的题目的概率以及小唯选到难度最低的题目的概率，比较即可得解． 【详解】（1）解：这3题按题目的顺序，其难度系数有0.2，0.3，0.4；0.2，0.4，0.3；0.3，0.2，0.4；0.3，0.4，0.2；0.4，0.2，0.3；0.4，0.3，0.2共6种可能． （2）解：这3题按题目的顺序，小美和小唯选题难度所有可能的情况如表： 题目顺序 0.2，0.3，0.4 0.2，0.4，0.3 0.3，0.2，0.4 0.3，0.4，0.2 0.4，0.2，0.3 0.4，0.3，0.2 小美 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 小唯 0.4 0.3 0.2 0.2 0.2 0.3 由表格可知，小美选到难度最低的题目的概率是，小唯选到难度最低的题目的概率是． ∴小唯选到难度最低的题目的可能性较大． 【经典例题十二 列表法或树状图法求概率】 【例12】（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）从，1中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象交x轴于负半轴的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．根据列表法或树状图求出概率即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中时一次函数的图象交x轴于负半轴共有种等可能的结果数， 故． 故选A． 1．（2025·上海宝山·一模）如图，有四张形状、大小、材质均相同的扑克牌，扑克牌正面分别标有黑桃，红桃，方块，梅花，将扑克牌反面朝上放在桌子上并洗匀，从中随机摸出张扑克牌，则摸出的张扑克牌是同一颜色（即红桃、方块或黑桃、梅花）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率，熟练掌握画出树状图或列表法是解题的关键． 设标有黑桃，红桃，方块，梅花分别用表示，画出树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：设标有黑桃，红桃，方块，梅花分别用表示， 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，摸出的张扑克牌是同一颜色即为，，，的结果数有种， ∴摸出的张扑克牌是同一颜色的概率是， 故选：． 2．（2025·上海松江·一模）一个不透明的盒子里装有如图所示的4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），则抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， 抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）为响应中央号召，每个公民应管理好自己的身体．某社区准备成立工会体育活动中心，准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．保龄球；D．羽毛球．为了解社区居民对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取社区部分居民进行调查，要求每个居民从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查中，抽查的居民总数是_____人，扇形统计图中m的值是______； (2)补全条形统计图； (3)现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四位居民中，随机选取两名居民参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两个居民的概率． 【答案】(1)50；36 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握列表或画树状图的方法求出所有的结果数． （1）由“D”有10人占被调查的可得本次调查的居民总数，由“A”有18人，本次调查的居民总数50人，求出扇形统计图中m的值； （2）求出“B”的人数，再补全条形统计图即可； （3）列树状图求出所有结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：抽查的居民总数是人， 扇形统计图中m的值是， 故答案为：50；36； （2）解：选择B的居民人数为：（人）． 补全条形统计图如下图所示： （3）解：画树状图如下： 由图可知，一共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙两个居民的情况有2种， ∴恰好选中甲和乙两个居民的概率为． 【经典例题十三 关于频率与概率关系说法的正误】 【例13】（2024·上海奉贤·二模）下列说法正确的是（    ） A．可能性很大的事件是必然发生的 B．南方的冬天永远不会下雪 C．工厂生产的产品可能有不合格的 D．掷一枚硬币，正面朝上的概率是 【答案】C 【分析】根据必然事件、随机事件及概率公式逐一求解即可． 【详解】解：A．可能性很大的事件是发生可能性较大，但不是必然事件，此选项错误； B．南方的冬天下雪的可能小，但不是永远不会下雪，此选项错误； C．工厂生产的产品可能有不合格的，此选项正确； D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的知识应用，准确分析判断是解题的关键． 1．（2024·上海金山·二模）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法不正确的是（　　） A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70 C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次 D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒” 【答案】D 【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒． 【详解】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； 由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值． 2．（2024·上海青浦·一模）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 200 500 1000 2000 A 出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B 出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率 0.96 0.96 0.97 0.98 0.97 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98； ③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是 （只填序号）． 【答案】②③ 【详解】分析： 根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可. 详解： （1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理； （2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的； （3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的. 故答案为：②③. 点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 3．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了60次，出现向上点数的次数如表： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 10 7 9 16 10 （1）计算出现向上点数为6的频率． （2）丙说：“如果抛600次，那么出现向上点数为6的次数一定是100次．”请判断丙的说法是否正确并说明理由． （3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为3的倍数的概率． 【答案】（1）；（2）丙的说法不正确，理由详见解析；（3）． 【分析】（1）用出现6的次数除总次数即可得解； （2）丙的说法不正确，理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为的频率接近于概率，但不说明概率就等一定等于频率；（2）从概率角度来说，向上点数为的概率是的意义是指平均每次出现次； （3）根据列出表格，由表格得到所有等结果与点数和为3的倍数的情况，然后根据概率公式求解即可. 【详解】解：（1）出现向上点数为的频率：； （2）丙的说法不正确， 理由：（1）因为实验次数较多时，向上点数为的频率接近于概率，但不说明概率就等一定等于频率；（2）从概率角度来说，向上点数为的概率是的意义是指平均每次出现次； （3）用表格列出所有等可能性结果： 共有种等可能性结果，其中点数之和为的倍数可能性结果有个， ∴（点数之和为的倍数）． 【点睛】本题主要考查频率与概率，用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【经典例题十四 求某事件的频率】 【例14】（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，由此可以确定摸到白球的概率为，由此即可求出白球的频率. 【详解】∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球， ∴摸到白球的概率为. 故选B. 【点睛】考查了利用概率估计频率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用概率估计频率即可解决问题． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期中）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是（     ） 实验次数 100 200 300 500 800 1200 频率 0.430 0.360 0.320 0.328 0.330 0.329 A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率 C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率 D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率 【答案】C 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.32～0.33之间，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断 【详解】解： A.掷一枚硬币，出现正面向上的概率为； B.一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率为；C.掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率为； D.从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率为1，根据统计图得到实验的概率在0.33附近．只有C符合这个概率范围， 故选C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 2．（23-24七年级·上海长宁·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 3．（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率． 【答案】(1)； (2)错误，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了模拟试验，概率公式解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值． （1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，即可求得“1点朝上”和“6点朝上”的频率． （2）由大量重复实验中频率可以估计概率，可得两位同学的说法不正确； （3）利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解:“1点朝上”的频率为；“6点朝上”的频率为； （2）解：两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，每个点数概率都会趋于相同； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现5点朝上的次数不一定正好是150次； （3）解：朝上的点数小于5的概率． 【经典例题十五 由频率估计概率】 【例15】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， 解得：． 即不规则图案的面积约为． 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下表： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： (1)请将数据表补充完整； 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 283 344 552 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.948 (2)画出发芽频率的折线统计图； (3)观察所得的折线统计图，这种油菜籽发芽的概率估计值是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率和折线统计图，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的概念求解即可； （2）根据折线统计图的作法求解即可； （3）根据随着每批粒数的增加，结合折线图得出其频率的稳定值即可得出答案． 【详解】（1）解：将数据表补充完整如下： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2020 3000 发芽的粒数m 96 283 344 552 948 1912 2848 发芽的频率 0.960 0.943 0.86 0.92 0.948 0.947 0.949 故答案为：96；948；0.943；0.86；0.92；0.947；0.949； （2）解：折线统计图如图所示： ； （3）解：这种小麦发芽的概率的估计值是， 故答案为：． 【经典例题十六 用频率估计概率的综合应用】 【例16】（2024·上海闵行·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 1．（23-24八年级下·上海松江·期中）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（    ）    A．掷一枚骰子，出现4点的概率 B．任意写一个整数，它能被3整除的概率 C．抛一枚硬币，出现反面的概率 D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率以及运用概率公式求概率，掌握利用频率估计概率的方法成为解答本题的关键． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A．一枚骰子有1点到6点，出现4点的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； B．整数中每三个数就有一个能被 3 整除，所以概率是，符合统计图．符合统计图，故该选项符合题意； C．一枚硬币共有两面，出现反面的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； D． 一副扑克牌共有54张，任取一张，取到“大王”的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）． 【答案】 【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵， ∴， ∴， 解得： 故答案为：①；② 【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 【经典例题十七 概率在转盘抽奖中的应用】 【例17】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 1．（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1) (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数、翻到“手机”的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）设计一个有等可能结果数为9，翻到“球拍”的结果数为4的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：． （2）解：设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）综合与实践 【问题再现】 (1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答． 【类比设计】 (2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为． 【拓展运用】 (3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数． 【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域） (2)见解析 (3)29元 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解； （3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解． 【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知， P（蓝色区域）， P（橙色区域）． （2）解：根据题意，将转盘均分成份， 则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份； 如图所示：（答案不唯一）； （3）解：由题意，得： 转动1次的平均数为（元）； 答：转动1次所获购物券的平均数是29元． 【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键． 【经典例题十八 概率的其他应用】 【例18】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）某市环青云湖竞走活动中，走完全部行程的队员即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被等分成16个扇形，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三等奖，奖品分别为自行车、雨伞、签字笔．小明走完了全程，可以获得一次摇奖机会，小明能获得签字笔的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题目知道，小明需要得到签字笔，必须获得三等奖，即转到蓝色区域，把圆盘中蓝色的小扇形数出来，再除以总分数，即可得到答案. 【详解】解：小明要获得签字笔，则必须获得三等奖，即转到蓝色区域， 从转盘中找出蓝色区域的扇形有4份， 又因为转盘总的等分成了16份， 因此，获得签字笔的概率为：， 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，概率是对随机事件发生之可能性的度量；在做转盘题时，能正确找到事件发生占圆盘的比例是做对题目的关键，还需要注意，转盘是不是被等分的，才能避免错误. 1．（23-24八年级下·上海长宁·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：如图所示， 点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，   故恰好使△ABC的面积为1的概率为：. 故本题正确答案为C. 【点睛】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键. 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． 【答案】(1)， (2)0.95 (3)4275个 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中优等品的频率判定即可； （3）用4500乘以优等品的概率即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95； （3）（个）， ∴优等品的个数是4275个． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，理解利用频率估计概率的相关知识，并准确计算是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海松江·期末）一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．估计其中黑球有（   ） A．14个 B．3个 C．6个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率、利用概率求数量等知识点，正确根据频率估计概率成为解题的关键． 根据频率估计概率可得摸到黑球的概率为，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计摸到黑球的概率为，估计其中黑球的个数为个． 故选C． 2．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列表法求事件的概率．根据列表的情况可知，李佳购买车票的位置共有种等可能的情况出现，其中两张票都靠近窗户的情况只有种，从而可得“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 【详解】解：列表如下， 从表中可以看出共有种等可能的情况出现， 其中两张票都靠近窗户的情况只有种， “李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 故选：C ． 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率的意义和计算公式，利用列表法或画树状图求概率，是解决本题的关键． 利用列表法表示所有可能出现的结果情况，其中指针两次指向的图案相同的结果，进而求出概率． 【详解】解：记六个区域的图案分别为1，2，3，4，5，6，根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表格，可知共有36种等可能的结果，其中指针两次指向的图案相同的结果有6种， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，这是某小区地下车库示意图．A，D为入口，B，C，E为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从E出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从E出口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果有6种，李师傅恰好从E出口驶出的结果有2种， 则李师傅恰好从E出口驶出的概率为， 故选：B． 5．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率是解题的关键，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， 则估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为． 故选B． 6．（2024八年级下·上海长宁·模拟预测）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【答案】4 【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可． 【详解】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多． 如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面， 但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多， 因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面． 故答案为：4． 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个． 【答案】16 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】0.8 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 9．（23-24八年级下·上海松江·期末）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，一只圆形平盘被同心圆划成，两个区域（其中区域是半径为的圆，区域是圆环）．随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，若事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，小圆半径，则大圆半径 ．    【答案】 【分析】本题考查了几何概率．根据事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同，可知区域和区域的面积相等，根据圆的面积公式可得：，解方程求出的值即可． 【详解】解：事件“豆子落在中”和事件“豆子落在中”的概率相同， 区域和区域的面积相等， 区域的面积为， 区域的面积为， 整理得：， 解得：或(负数不符合题意，舍去)， 大圆半径． 故答案为： ． 11．（2025八年级下·上海长宁·模拟预测）一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出后： (1)掷出“6”朝上的可能性有多大？ (2)哪些数字朝上的可能性一样大？ 【答案】(1) (2)4和2，1和5，3和6 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． （1）让“6”朝上的情况数除以总情况数即为所求的可能性； （2）看哪两个数字出现的情况数相同即可； 【详解】（1）解：∵一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”， ∴有3个面标有“6”； ∴掷出“6”朝上的可能性为； （2）解：∵2个面标有“2”， 2个面标有“4” ∴4和2朝上的可能性一样大； ∵1个面标有“1”， 1个面标有“5”， ∴1和5朝上的可能性一样大； ∵3个面标有“3”， 3个面标有“6”； ∴3和6朝上的可能性一样大； 12．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 13．（2025·上海闵行·一模）随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． (1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； (2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【详解】（1）解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即为； （2）根据题意列表如下：         云云珍珍 A B C D E A B C D E 由表可得，一共有20种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8种结果， 云云和珍珍有一人抽到A的概率． 14．（2024·上海虹口·一模）某校为了“中考体测”的顺利进行，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对新跳绳进行测试，绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 一分钟跳绳成绩的分组统计表 组别 跳绳次数分段 频数 A 10 B C 42 D 13 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 (1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，统计表中的的值为 ； (2)抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是 ； (3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，则恰好分组都是一男一女的概率是多少？ 【答案】(1)100 ，35 (2)C (3)恰好分组都是一男一女的概率是 【分析】（1）将A组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出m； （2）由（1）可知学生总数为100人，按顺序排列后，中位数应该是55和56两个数的平均数，A组是10人，B组为35人，即可得答案； （3）通过列表即可分析出分组都是一男一女的概率． 【详解】（1）解：学生总数为：10÷10%=100，m=100-10-42-13=35， 故答案是：100，35； （2）∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为100人，A组是10人，B组为35人， ∴中位数应该是第51个数和第52个数的平均数， ∴中位数在C组； （3）根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以， 【点睛】本题考查了频数，中位数和概率的求法，解题的关键是列出表格求概率． 15．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 0.954 ①当试验的麦粒数位时，发芽的频率为，是小麦发芽的概率吗？） A． 是     B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 （结果精确到） (2)迁移应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖，  现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．（直接写出答案） 【答案】(1)①B；② (2) 【分析】此题考查了频率估计概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）利用几何概率进行解答即可． 【详解】（1）解：①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率，故选：B； ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， 当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）正方形的地砖是，向这一地面上抛掷半径为的圆碟， ， 圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则圆碟与地砖间隙相交， 圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$