专题02 一次函数的图像与性质重难点题型专训（17大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 一次函数的图像与性质重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 判断一次函数的图象 题型四 根据一次函数增减性求参数 题型五 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 比较一次函数值的大小 题型十二 一次函数的规律探究问题 题型十三 求一次函数解析式 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十六 一次函数与反比例函数的综合应用 题型十七 一次函数中的最值问题 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点02 一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点03 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【经典例题一 正比例函数的图象】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）函数和函数在同一坐标系中的图像大致是（  ） A． B． C． D． 1．（2024·上海奉贤·模拟预测）如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为    3．（24-25八年级下·全国·课前预习）如图分别是函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象． (1)k1 k2，k3 k4（填“＞”或“＜”）； (2)用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来． 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 1．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，轴于点B，轴于点D，若，则m的值是 ．    3．（24-25八年级下·上海·期中）阅读材料，回答问题： 如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”． (1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”； (2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例； (3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例． 【经典例题三 判断一次函数的图象】 【例3】（24-25八年级下·上海虹口·期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数，若，则它的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 3．（2024·上海嘉定·二模）已知：一次函数与反比例函数，其中且． (1)若点在反比例函数图像上，点、都在一次函数图像上． ①当时，__________0；当时，__________0；当时，__________0；当时，__________0；（填“＞”“＝”或“﹤”）； ②当时，求的取值范围； (2)若点，都在反比例函数图像上，是否存在正整数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由． 【经典例题四 根据一次函数增减性求参数】 【例4】（2024·上海崇明·二模）已知一次函数，如果随自变量的增大而减小，那么的取值范围为（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如，都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知一次函数y=(1-2m)x+m+1(m≠)，函数值y随自变量x值的增大而减小． (1)求m的取值范围； (2)在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图象与x轴的交点M位于x轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【经典例题五 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 2．（2024·上海静安·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 3．（24-25八年级下·上海徐汇阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（24-25八年级下·上海·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）若是二元一次方程组的解，则一次函数的图象不经过第 象限． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知一次函数和，且． (1)将函数与的图像画在同一坐标系，可能是（    ） A．      B．           C．         D．   (2)若一次函数的图像交x轴于点，与函数的图像交于点B，且的面积是4，求点B的坐标，并判断此时是否为直角三角形． (3)函数与的图像的交点是否会在一条确定的直线上？若在，请写出这条直线的解析式；若不在，说明理由． 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数与的图象如下图所示，则下列结论：①；②；③；④当时．其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图象过第二、三、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海金山·开学考试）如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 3．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：．    【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ）    A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 2．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例9】（2024·上海闵行·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A，到达点B后停止运动．当运动路程为x时，的面积为y，则y随x变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一坐标系中，画出两个一次函数和，若 ，则直线. 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题：    (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·二模）如图，点M的坐标为，点D从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，同时过点D的直线l也随之左右平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点D的移动时间为t秒，那么t的值为 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E． (1)直接写出直线l对应的函数表达式； (2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 比较一次函数值的大小】 【例11】（24-25八年级下上海虹口·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，直线是一次函数的图像，且直线过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线过坐标为的点 C．若点，在直线上，则 D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 【经典例题十二 一次函数的规律探究问题】 【例12】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，均为等腰直角三角形，且，点，，，，和点，，，，分别在正比例函数和的图象上，且点，，，，的横坐标分别为1，2，3，，，线段，，，，均与轴平行，按此规律，的顶点的坐标是 ． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）在一次课外学习中，小丁先画出图（1）所示的等边三角形，然后依次取各边中点并连接成图（2）、图（3）. 那么在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中共有5个三角形，……，第n个图形中共有m个三角形． 观察图形，填写下面的表格： n 1 2 3 4 5 6 …… m 1 5 （2）在研究的过程中，小丁发现，图形中三角形的总个数m与图形的序号n之间满足一次函数关系，试求出m与n的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （3）在进一步研究中小丁发现，当n＝时，m的值与k的值有关，试直接写出m与k的关系式. 【经典例题十三 求一次函数解析式】 【例13】（23-24八年级下·上海金山·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．y随x增大而增大 D．当时， 1．（24-25八年级下·上海静安·开学考试）已知一次函数，小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（ ） A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限 C．方程的解为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（    ）    A． B．， C．当时， D． 2．（2024·上海崇明·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)将直线向下平移至处，点，点D在y轴上．连接，，求的面积； (2)将直线向下平移t个单位后再沿y轴翻折，与双曲线交于P、Q两点，点P到原点O的距离为，求t的值． 【经典例题十五 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例15】（2024·上海虹口·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24八年级下·上海普陀·期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（    ）. A．或 B． C．或 D．或 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点， 与x轴交于点C． (1)求点A 的坐标和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集； (3)点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，求 的面积． 【经典例题十六 一次函数与反比例函数的综合应用】 【例16】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（2024·上海虹口·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 3．（2024·上海虹口·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． (1)张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． (2)王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． (3)赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知点在第二象限，则直线的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线（）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①； ②当0＜x＜3时，； ③如图，当x=3时，EF=； ④当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，．．．．．．依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为 ． 7．（24-25八年级下·上海长宁·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 8．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）函数，当自变量时，这个函数的最大值为，则a的值为 ． 9．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的x的取值范围 ． 10．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 11．（2024八年级下·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级下·上海静安·期末）甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地.甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为. (1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（不必写结论） (2)乙慢跑的速度是每分钟多少千米； (3)甲修车后行驶的速度是每分钟多少千米. 13．（24-25八年级下·上海闵行·期中）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点C的坐标为，连结AC，与y轴交于点D． (1)求线段AB的长度； (2)求点D的坐标； (3)联结BC，求证：． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中________，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：________； 结论2：________ 15．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数的图像与性质重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 判断一次函数的图象 题型四 根据一次函数增减性求参数 题型五 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 画一次函数图象 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 比较一次函数值的大小 题型十二 一次函数的规律探究问题 题型十三 求一次函数解析式 题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十六 一次函数与反比例函数的综合应用 题型十七 一次函数中的最值问题 知识点01 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点02 一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点03 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【经典例题一 正比例函数的图象】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）函数和函数在同一坐标系中的图像大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可. 【详解】若正比例函数y＝ax的图象从左往右下降，则a＜0， 此时，一次函数y＝x+a 的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数y＝ax的图象从左往右上升，则a＞0， 此时，一次函数y＝x+a 的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象． 1．（2024·上海奉贤·模拟预测）如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数与其交点情况即可求解． 【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在，的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图1 正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合； 如图2 正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合； 如图3 正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合； 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为    【答案】（答案不唯一） 【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值． 【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，， 当正比例函数经过点时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键． 3．（24-25八年级下·全国·课前预习）如图分别是函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象． (1)k1 k2，k3 k4（填“＞”或“＜”）； (2)用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来． 【答案】(1)＜，＜ (2)k1＜k2＜0＜k3＜k4 【解析】略 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：如图：过点B作于点C， ， ， 是等边三角形， ，， ， 点B的坐标为， 把点B的坐标代入解析式， 得， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据正比例函数的图象经过一、三象限可得，再化简所求代数式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得，， ∴ = = = =1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质以及化简二次根式，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，轴于点B，轴于点D，若，则m的值是 ．    【答案】6 【分析】根据反比例函数k的几何意义计算即可；本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数k的几何意义，准确计算是解题的关键． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，轴于点B，轴于点D， ∴点A，点C关于原点对称，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， ∵反比例函数图像在一三象限， ∴； 故答案是6． 3．（24-25八年级下·上海·期中）阅读材料，回答问题： 如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”． (1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”； (2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例； (3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例． 【答案】(1)见解析 (2)不是“保三角函数”，反例见解析 (3)是“保三角函数”，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，新定义：“保三角形函数”，解题的关键是理解“保三角形函数”的定义． （1）根据正比例函数和“保三角形函数”的定义证明即可； （2）根据“保三角形函数”的定义判断即可； （3）根据，得到，进而得到，由，可得，即可判断． 【详解】（1）证明：设， 则，，， ，， ， ， 又，， ， ， 是“保三角函数”； （2）解：不是“保三角函数”，举出反例如下： 对于，设，，，、、能构成三角形， ，，， ， ，，不能构成一个三角形， 故不是“保三角函数”； （3）对于， ， ， ， 又， ， 是“保三角函数”． 【经典例题三 判断一次函数的图象】 【例3】（24-25八年级下·上海虹口·期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据、的取值，分别判断出两个函数图象所经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、三、四象限； 若，，则正比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过二、三、四象限； 故在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数图象的位置不可能是 ， 故选：D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数，若，则它的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．由于当时，，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， 一次函数必经过点， 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 3．（2024·上海嘉定·二模）已知：一次函数与反比例函数，其中且． (1)若点在反比例函数图像上，点、都在一次函数图像上． ①当时，__________0；当时，__________0；当时，__________0；当时，__________0；（填“＞”“＝”或“﹤”）； ②当时，求的取值范围； (2)若点，都在反比例函数图像上，是否存在正整数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①，，，；②或； (2)． 【分析】（1）①代入求值后即可求解；②根据函数关系式用 的式子分别表示、、 即可； （2）通过反比例函数关系，求出 ， ，然后进行差值计算即可求解； 【详解】（1）①∵点 在反比例函数图像上，点 、 都在一次函数图像上； ∴，，； ∴当时，，则有； 当时，，； 当 时， ， ； 当 时， ， ； 故填：． ②由题意可知： ∵点在图像上， ∴； ∵点在图像上， ∴， 若，则有第一种情况：当时， ，此不等式组无解； 第二种情况：当 时， ，解得：； 第三种情况，当时， ，此不等式组无解； 第四种情况，当 时， ，解得：； ∴综上可知：的取值范围是或． （2）存在，理由如下： ∵点， 都在反比例函数图像上， ∴， ∴， ∴； 又∵是正整数， ∴， 故的值为1． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，通过图像上的点的坐标灵活运用参数表示纵横坐标，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 【经典例题四 根据一次函数增减性求参数】 【例4】（2024·上海崇明·二模）已知一次函数，如果随自变量的增大而减小，那么的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到关于m的不等式，求解集即可． 【详解】根据题意，得：m-3＜0， 解得：m＜3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，解决此类问题的关键是灵活运用一次函数的图象与k的关系是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如，都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意：当-1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”，所以直线y=2x+m与线段AB有交点（其中A（-1，1），B（3，-3）），求出直线经过A、B两点时m的值即可判断． 【详解】解：由题意：当-1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”， 所以直线y=2x+m与线段AB有交点（其中A（-1，1），B（3，-3））， 当直线y=2x+m经过A（-1，1）时，m=3， 当直线y=2x+m经过B（3，-3）时，m=-9， ∴m的取值范围为：-9≤m≤3， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与图象的关系，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 2．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可， 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）已知一次函数y=(1-2m)x+m+1(m≠)，函数值y随自变量x值的增大而减小． (1)求m的取值范围； (2)在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图象与x轴的交点M位于x轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【答案】(1)m＞；(2)这个函数的图象与x轴的交点M位于x轴的正半轴． 【分析】(1)由一次函数图象与系数的关系得到：1-2m＜0，由此求得m的取值范围； (2)令y=0，得到关于(1-2m)x+m+1=0，结合m的取值范围求得x的符号． 【详解】解：(1)∵一次函数y=(1-2m)x+m+1(m≠)，函数值y随自变量x值的增大而减小， ∴1-2m＜0， 解得m＞； (2)在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图象与x轴的交点M位于x轴的正半轴． 理由：令y=0，则(1-2m)x+m+1=0， 整理，得x= 由(1)知，m＞，则m+1＞0，2m-1＞0， ∴x=＞0， ∴在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图象与x轴的交点M位于x轴的正半轴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b，当k＞0时，函数值y随自变量x值的增大而增大；当k＜0时，函数值y随自变量x值的增大而减小． 【经典例题五 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题． 【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得， ， 两式相减得， ， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 则． 故选：A． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（2024·上海静安·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，， ∴一次函数的“特征值”为9． 故答案为：9． 3．（24-25八年级下·上海徐汇阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（24-25八年级下·上海·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 1．（2024·上海·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）若是二元一次方程组的解，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】将x=a，y=b代入二元一次方程组求出a、b的值，再把a、b的值代入，得到一次函数解析式，根据a、b的符号判定一次函数图象不经过的象限． 【详解】∵是二元一次方程的解， ∴，解得，， ∴y=3x-1， ∴一次函数的图象经过第一，三，四象限， ∴一次函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了方程组的解，解方程组，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握方程组解的定义和性质，解方程组的一般方法，一次函数的性质． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）已知一次函数和，且． (1)将函数与的图像画在同一坐标系，可能是（    ） A．      B．           C．         D．   (2)若一次函数的图像交x轴于点，与函数的图像交于点B，且的面积是4，求点B的坐标，并判断此时是否为直角三角形． (3)函数与的图像的交点是否会在一条确定的直线上？若在，请写出这条直线的解析式；若不在，说明理由． 【答案】(1)D (2)当时，不是直角三角形；当时，是直角三角形 (3)函数与的图像的交点在直线上 【分析】（1）分，；，；，；，逐一分析即可； （2）①由，得，则，结合点B在函数的图像上，可得点B的坐标为或．②显然当时，不是直角三角形；当时，再利用勾股定理的逆定理可得答案； （3）当时，，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵一次函数和， 当，时，两个函数图像都经过一、二、三象限，交于第一象限内的点， 此时D符合题意； 当，，两个函数图像都经过一、三、四象限，交于点， 此时没有符合题意的图像， 当，，的图像过一、三、四象限，过一、二、四象限，交于点，此时没有符合题意的图像， 当，，的图像过一、二、四象限，过一、三、四象限，交于点，此时没有符合题意的图像， 故选D （2）解：①由，得 ∵的面积为4， ∴，则， ∴B的纵坐标为2或． ∵点B在函数的图像上， ∴点B的坐标为或． ②显然当时，不是直角三角形； 当时， ∴ ∴是直角三角形； （3）当时，， ∴函数与的图像的交点在直线上． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，坐标与图形的面积，一次函数的交点坐标问题，理解题意，选择合适的方法解题是关键. 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数与的图象如下图所示，则下列结论：①；②；③；④当时．其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系和利用图象法解不等式．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．根据一次函数与的图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，再利用两条直线的位置关系解不等式，从而求解． 【详解】由一次函数的图象经过第一、二、四象限， 又由时，直线必经过二、四象限，故知，①正确． 再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以，故③正确； 由一次函数的图象经过第一、三、四象限， 再由图象过三、四象限，即直线与y轴负半轴相交，所以，②错误． 当时，一次函数在的图象的上方，故，故④错误． 所以正确的有：①③. 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图象过第二、三、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象与性质，根据题意可得， ，，然后代入不等式，再解不等式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象过第二、三、四象限， ∴，，则， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，则， 则 ， 由， ∴， 解得：， 故选：． 2．（23-24八年级下·上海金山·开学考试）如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：．    【答案】 【分析】先由反比例和一次函数图像确定和的取值范围，再根据范围进行化简即可． 【详解】解：由图像可得：，， ∴，，∴，， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，直线分别与轴、轴相交于点、，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点，再过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心、长为半径画弧交轴于点按此做法进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题意，利用勾股定理求出、、的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：∵直线，当时，；当时，； ∴，， ∴； ； ； ； ∴． 则， 的横坐标为， ∴的坐标为． 故选：A． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ）    A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可得到，．根据直线与直线的交点即可继续判断，得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，故选项A、C正确，不符合题意； 直线与直线的交点的横坐标为，即方程的解是，故选项B正确，不符合题意； 根据图象可知，不等式的解集是，故选项D错误，符合题意． 故选D． 2．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，根据是以为底的等腰三角形，得到，利用勾股定理求得，进而求得，即可得到的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵直线：分别与、轴交于、两点， 令，得， 解得：， 令，得， ∴， ， 是以为底的等腰三角形， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，一次函数的图像与轴分别交于两点． (1)求两点的坐标． (2)点是第二象限内的点，请用m的代数式表示四边形的面积． (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，三角形的面积． （1）分别令和得出对应的x和y的值即可得出两点的坐标； （2）过点E作于点F，根据四边形的面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当P在x轴负半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，进行讨论得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令时，得， 令时，得，解得， ∴，； （2）解：如图，过点E作于点F， 由（1）可得，， 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积， ∴， 分以下两种情况： ①当P在x轴负半轴上时， 设，则 ， 解得； ②当P在y轴负半轴上时， 设，则 ， 解得． ∴或． 【经典例题九 画一次函数图象】 【例9】（2024·上海闵行·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D和点A，到达点B后停止运动．当运动路程为x时，的面积为y，则y随x变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a（a为常数），分0＜x≤a，a＜x≤2a，2a＜x＜3a三种情况求出函数解析式，即可确定函数图象，问题得解． 【详解】解：设正方形的边长为a（a为常数）， 当0＜x≤a时，y=ax， 当a＜x≤2a时，y=， 当2a＜x＜3a时，y=， 故选：B 【点睛】本题考查了根据题意确定函数的图象，熟知一次函数的性质与图形，理解题意分段确定函数的解析式是解题关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）在同一坐标系中，画出两个一次函数和，若 ，则直线. 【答案】= 【分析】根据两直线平行，则一次项系数相等得到k1和k2的关系. 【详解】∵直线与直线平行， ∴=， 故答案为“=”. 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：若两直线平行，则一次项系数相等；若两直线相交，则两直线的解析式所组的方程组的解为交点坐标． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象，并完成下列问题：    (1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______； (2)观察函数的图象，当自变量______时，；当自变量______时，． 【答案】(1)4 (2)0， 【分析】本题考查的是画一次函数图象一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 根据列表，描点，连线画出函数图象即可； （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）根据函数图象直接解答即可． 【详解】（1）解：列表得， ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得   ， 解：由图象知，直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴此三角形的面积． 故答案为：4； （2）解：根据图象得，当自变量时，；当自变量时，． 故答案为：0， 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的坐标特点，以及坐标与图形的变化-平移，掌握相关性质是解题的关键． 根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即可得的长度，进而可得的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵点的坐标为点，沿轴向右平移后得到， ∴点的纵坐标是； 又∵点的对应点在直线上， ∴， 解得：， ∴的坐标为，可知向右平移了个单位长度， 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据一次函数经过点，，求出，的值，即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵一次函数分别与轴，轴交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，即点，，即， ∴一次函数向左平移了个单位长度， ∴直线的解析式为：． 故选：A． 2．（2024·上海宝山·二模）如图，点M的坐标为，点D从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，同时过点D的直线l也随之左右平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点D的移动时间为t秒，那么t的值为 【答案】2或/3或2 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与几何等知识点，根据图示分类讨论点M关于直线l的对称点落在轴上、点M关于直线l的对称点落在轴上两种情况即可求解． 【详解】解：由题意设直线l： 当直线l运动到如图所示位置时，点M关于直线l的对称点落在轴上： 则直线l垂直平分 ∴ 由直线l：可知 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 当直线l运动到如图所示位置时，点M关于直线l的对称点落在轴上： 同理可得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故答案为：2或． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E． (1)直接写出直线l对应的函数表达式； (2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式； （2）再联立两个直线解析式求出交点坐标，作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可； （3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出的长，得到点P坐标． 【详解】（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度， 得； （2）联立两个直线解析式，得，解得， ∴， 如图，作轴于M，轴于N， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴； （3）由（2）知， ∵在中，当时，， ∴， ∴，， 如图，在y轴正半轴上取一点Q，使， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题． 【经典例题十一 比较一次函数值的大小】 【例11】（24-25八年级下上海虹口·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，直线是一次函数的图像，且直线过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线过坐标为的点 C．若点，在直线上，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据直线l经过二、三、四象限，得出，即可判断A；把代入得出，进而得出当时，，即可判定B；根据，得出y随x的增大而减小，即可判断C；由图可知，当时，，即可判断D． 【详解】解：由图可知，直线l经过二、三、四象限， ∴， ∴，故A不正确，不符合题意； 把代入得：， 整理得：， ∴直线l的解析式为， 当时，， ∴直线过坐标为的点，故B正确； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴，故C不正确； 由图可知，当时，， ∴，故D不正确； 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，故选项结论正确； ②函数的图象关于对称，点在该图象上，且点与点也关于对称，所以点必在该图象上，故选项结论正确； ③要使，即，解得，故选项结论不正确； ④要使方程都有解，即与有交点，所以无论为何值，方程都有解，所以的取值范围是，故选项结论正确； 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知关于的一次函数． (1)若点，是该一次函数图象上的两点，则_____；（填“>”或“＜”） (2)若点在该函数图象上，求的绝对值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据一次函数的增减性解答即可； （2）把代入解析式，求出m，进而可求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：将点代入， 得，解得， 则， 的绝对值为． 【经典例题十二 一次函数的规律探究问题】 【例12】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，利用，逐次求出，，，，据此可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上， 则，， 则，则，则， ，则， ……， 以此类推可得 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，以及点坐标规律探索，通过计算找到规律是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）直线（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，当k分别为时，则（　　） A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638 【答案】D 【分析】确定的表达式，继而寻找规律即可． 【详解】解：直线恒过点    设直线与轴的交点为，则点 故选：D 【点睛】本题考查特殊的一次函数．掌握该函数过定点的特征是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，均为等腰直角三角形，且，点，，，，和点，，，，分别在正比例函数和的图象上，且点，，，，的横坐标分别为1，2，3，，，线段，，，，均与轴平行，按此规律，的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探究问题，旨在考查学生的抽象概括能力．先求出，，得出，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，再分别求出的坐标，得出规律，进而求出的坐标． 【详解】解：∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，的纵坐标是， ∴的坐标是； ∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，的纵坐标是， ∴的坐标是； 同理，可得的坐标是；的坐标是 … ∴的顶点的坐标是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）在一次课外学习中，小丁先画出图（1）所示的等边三角形，然后依次取各边中点并连接成图（2）、图（3）. 那么在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中共有5个三角形，……，第n个图形中共有m个三角形． 观察图形，填写下面的表格： n 1 2 3 4 5 6 …… m 1 5 （2）在研究的过程中，小丁发现，图形中三角形的总个数m与图形的序号n之间满足一次函数关系，试求出m与n的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （3）在进一步研究中小丁发现，当n＝时，m的值与k的值有关，试直接写出m与k的关系式. 【答案】（1）9，13，17；（2）（n>0，且n为整数）；（3）（k>0，且k为整数） 【详解】试题分析：(1)由后一个图形三角形的个数总是在前一个图形的前面加4的规律直接写出三角形的个数；（2）用待定系数法求m、n的关系式；（3）由关系式直接写出即可. 试题解析： （1）9，13，17； 设m＝kn＋b，将（1，1）和（2，5）代入，得： ， 解得： ∴（n>0，且n为整数） （3）（k>0，且k为整数） 【经典例题十三 求一次函数解析式】 【例13】（23-24八年级下·上海金山·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的图象得出一次函数的图象与坐标轴交点坐标，即可求出解析式，及函数的增减性采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：一次函数的图象与坐标轴交点坐标为， ，解得：， 一次函数的解析式为：， y随x增大而减小，当时，， 选项A，B，C错误，选项D正确， 故选：D． 1．（24-25八年级下·上海静安·开学考试）已知一次函数，小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下： … … … … 则下列说法正确的是（ ） A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限 C．方程的解为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】C 【分析】先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数的性质，一次函数的图象，解一元一次方程，三角形的面积公式，即可选出正确选项． 【详解】解：由表格可得一次函数经过点，， 将两点代入中，可得： ， 解得：， 故一次函数解析式为， A. 由于，即函数值随着的增大而减小，故选项不符合题意； B. 由于，，故函数图象经过第四象限，故选项不符合题意； C. 将代入，解得，故选项符合题意； D. 由表格可得，一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，，因而图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数的图象，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，一次函数表达式交点问题，解题的关键是求出一次函数表达式． 如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点，然后求出所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后联立求解即可． 【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点 ∵，， ∴， 设所在直线的表达式为 ∴ ∴所在直线的表达式为 同理可得，所在直线的表达式为 根据对称可得，直线和的交点即为点P， 联立得， 解得 ∴点P的坐标为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（    ）    A． B．， C．当时， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式和两点间的距离，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由在第一象限相交于点，， 则， 解得，故此选项正确，不符合题意； 、由，则， ∵在图象上， ∴， 解得， ∴点，， 由过，， ∴， 解得，故此选项正确，不符合题意； 、由，，再根据图象可知当时，， 故此选项正确，不符合题意； 、由上可知，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故此选项不正确，符合题意， 故选：． 2．（2024·上海崇明·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图像上（如图）； （1）k＝ ，m＝ ； （2）已知，过点、作直线交双曲线于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是 ． 【答案】 4 4 【分析】（1）点)在反比例函数的图像上，代入可求得k的值，再求得m的值； （2）先求得直线的解析式，再结合函数图像可求解． 【详解】解：（1）点、在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：4，4； （2）设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 如下图，当直线在点和点之间时，阴影区域（不包括边界）内有4个整点， 当经过 点时，，解得； 当经过点时，，解得； 若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，则b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图形与系数的关系，反比例函数的图像和性质，数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)将直线向下平移至处，点，点D在y轴上．连接，，求的面积； (2)将直线向下平移t个单位后再沿y轴翻折，与双曲线交于P、Q两点，点P到原点O的距离为，求t的值． 【答案】(1)； (2)或5． 【分析】本题主要考查反比例的图像和性质，反比例与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意计算出反比例函数以及一次函数的解析式，设，求出，即可计算； （2）设，由列出方程计算即可得到答案． 【详解】（1）解：双曲线过点，， ， ，， 直线过点，， ，解得， ， ∵将直线向下平移至处， 设， 过点， ， ， ， 当时，， ， 设直线与y轴交于点E，当时 则， ； （2）解：根据“上加下减”，直线向下平移t个单位后得， 令， 解得， 沿y轴翻折，与轴相交于， 故设表达式为， ，向下平移t个单位后再沿y轴翻折后过点，代入表达式， 解得， 设， 双曲线过点P ， ， ， ， ， ， ， 或5． 【经典例题十五 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例15】（2024·上海虹口·模拟预测）如图，双曲线与直线相交于A，B两点，将直线向上平移1个单位长度，所得的直线在第一象限内交双曲线于点C，则点C的横坐标是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，一次函数图象的平移，根据平移规则，得到新的直线的解析式为，联立直线与双曲线的解析式，求出点的横坐标即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位长度，得到新直线， 联立，得：， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点C的横坐标是1； 故选C． 1．（23-24八年级下·上海普陀·期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（    ）. A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得． 【详解】解：联立方程组， 解得，， ∵当时，；当时，， ∴或， 解得：或， 故选C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 【答案】 【分析】分别过点作的垂线，垂足分别为，设，由正三角形的性质求出和的坐标，进而得到的解析式，联合反比例函数解析式求出点的坐标，进而得到的长度，得到的长度，再利用含角的直角三角形的性质得到，进而得到，再用含角的直角三角形的性质得，进而求出的横坐标，根据点的坐标求出解析式，结合反比例函数的图象，交于点，得到，将点的横坐标代入解方程即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为，如下图 设， 是正三角形， ，， ，， ， ． 设的解析式为， ， ， 的解析式为：. 反比例函数的图象交于点， ， 解得， ， ， ． 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ， 即点的横坐标为． 设的解析式为， 将点两点坐标代入得， 解得， 的解析式为：。 反比例函数的图象，交于点， ， 整理得， 将点的横坐标代入得 ， 整理得， 解得，（与矛盾，舍去）， 的边长为． 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形性质，一次函数解析式的求法，勾股定理，一次函数与反比例函数交点坐标的求法，作出辅助线，构建含角的直角三角形是解答关键． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点， 与x轴交于点C． (1)求点A 的坐标和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集； (3)点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，求 的面积． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】（1）由一次函数的解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）根据函数图象即可解答； （3）作轴，交直线于点，则点的纵坐标为，利用函数解析式求得、的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时， 即为不等式 的解集， 根据函数图象可得不等式 的解集为：； （3）解：∵点是反比例函数图象上一点且纵坐标是， ∴， 作轴，交直线于点，则点的纵坐标为， 代入得，，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用． 【经典例题十六 一次函数与反比例函数的综合应用】 【例16】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 1．（2024·上海虹口·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 直线一定过点，， 把代入得，，此时反比例函数过整点，，， 阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点， 的取值可能是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．    （1）若，，则 ； （2）若，则b与k的数量关系是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的关键． （1）先分别求解A，B，C，D，E的坐标，再计算即可； （2）先求出A坐标，可以得到C的坐标，由，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，，当，， ∴，， 当时，， ∴， 当时，，则， ∴， ∴； 故答案为：1 （2）∵， 当时，；当时，， ∴点A的坐标为，， ∵轴，且点C在反比例函数的图象上， ∴点C的坐标为， ∵，轴， ∴点E的坐标为， 把代入得： ， 解得：． 故答案为：． 3．（2024·上海虹口·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键． 由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可． 【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、勾股定理、最短路径问题，先求得该直线的解析式为，进而求得和，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时的周长取最小值，利用两点坐标距离公式求得即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， 该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ， ， 如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， 的周长， 此时的周长取最小值， ， ， 的周长取最小值为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； ∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3； ∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5， ∴当时，； 解得，， 当时，； ∴， 解得，， 故答案为：3，． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）在学习了一次函数图象后，张明、李丽和王林三位同学在赵老师的指导下，对一次函数 进行了探究学习，请根据他们的对话解答问题． (1)张明∶当时，我能求出直线与x轴的交点坐标为 ； 李丽：当时，我能求出直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ． (2)王林：根据你们的探究，我发现无论k取何值，直线总是经过一个固定的点，请求出这个定点的坐标． (3)赵老师：我来考考你们，如果点 P的坐标为，该点到直线 的距离存在最大值吗？ 若存在，试求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查了勾股定理，一次函数的性质及一次函数的实际应用-几何问题，正确理解点到直线的距离是解题的关键． （1）张明：将值代入求出解析式即可得到答案； 李丽：将值代入求出解析式，得到直线与轴和轴的交点，即可得到答案； （2）将解析式变形为，由此可知当时，无论取何值，，即可求解； （3）由（2）可知必过，设必过点为，到直线的距离为，发现直角三角形中大于直角边，所以当与垂直时最大，求出即可． 【详解】（1）解：张明：将代入， 得到， 令，得，得， ∴直线与轴的交点坐标为； 李丽：将代入 得到， 令，得，得，令，得， 则，直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积， 故答案为：，； （2）∵ ∴， ∴当时，无论取何值，， ∴直线总是经过一个固定的点，这个定点的坐标为； （3）由（2）可知必过 设必过点为，到直线的距离为， 由图中可以得到直角三角形中大于直角边， 所以到最大距离为与直线垂直，即为， ∵， ∴ ∴点到最大距离的距离存在最大值为． 1．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知点在第二象限，则直线的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点在第二象限”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与轴交于负半轴，观察选项，B选项符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，将的面积转化为梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3， ∴， ∴，解得：， ∴， 过点作轴，过点作轴，则：，， ∴， ∴； 故选B． 4．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线（）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①； ②当0＜x＜3时，； ③如图，当x=3时，EF=； ④当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，然后再判断△OBA和△CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝OB，确定出C坐标，根据面积公式判断△ADB和△ADC的面积关系，把点C坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断时x的范围，以及与的增减性，把x＝3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断． 【详解】解∶对于直线，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1， ∴A（1，0），B（0，﹣2）， 即OA=1，OB=2， 在△OBA和△CDA中， ∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC，OA=AD， ∴△OBA≌△CDA， ∴CD=OB=2，OA=AD=1， ∴（同底等高三角形面积相等），C（2，2）， 选项①正确，符合题意； ∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即，由函数图象得：当0＜x＜2时，，选项②错误，不符合题意； 当x=3时，，，即EF==，选项③正确，符合题意； 当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，选项④正确，符合题意． 故选C． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，．．．．．．依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，的横坐标为 （n为正整数），依此规律结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，代入中，得， ∴， ∴当时，代入中，得， ∴， 同理可得：，，，，，…， ∴的横坐标为 （n为正整数）， ∵， ∴点的横坐标为， 故选B． 6．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）将函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，掌握函数图象的平移规律是解答本题的关键． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：由函数的图象向下平移个单位得到的新函数的解析式为， 化简，得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海长宁·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据一次函数的解析式求出和的值，即可比较大小． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， ， ， 故． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）函数，当自变量时，这个函数的最大值为，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，能根据题意画出图象，利用数形结合是解题的关键． 对的正负进行分类讨论，画出函数图象，利用数形结合求解即可． 【详解】解：当时， 当时， 如图所示， 又∵当自变量时，这个函数的最大值为， ∴当时， 解得； 当时， 解得，舍去 综上所述，a的值为1． 故答案为：1． 9．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的x的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． （1）根据待定系数法求出； （2）设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：（1）∵直线经过点且截距为， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：． （2）设，，，，， 则有， ， ， 过点作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： ∵，，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， 同理可得：， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即的纵坐标是． 故答案为：． 11．（2024八年级下·上海·专题练习）画出下列正比例函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线．根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象． （1）当时，求出函数值画图即可； （2）当时，求出函数值画图即可； （3）当时，求出函数值画图即可； 【详解】（1）解：当， 当， 如图，描点后连线得： （2）解：当， 当， 如图，描点后连线即可； （3）解：当， 当， 如图，描点后连线即可． 12．（24-25八年级下·上海静安·期末）甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地.甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为. (1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（不必写结论） (2)乙慢跑的速度是每分钟多少千米； (3)甲修车后行驶的速度是每分钟多少千米. 【答案】(1)见解析 (2)乙慢跑的速度是每分钟千米 (3)甲修车后行驶的速度是每分钟千米 【分析】（1）根据所给解析式可知函数过原点，并过点（60，5），由这两点即可得出答案． （2）用乙慢跑的总路程除以总时间可得速度； （3）甲修车后行驶路程是3km，所用时间是20min，即可求出速度． 【详解】（1）解：当x＝60时，， ∴乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像过点（60，5）， 又∵函数的图象过原点， ∴函数图象如图所示： （2）5÷60＝（千米/分钟）， 答：乙慢跑的速度是每分钟千米； （3）由函数图象可知：甲修车后行驶的路程为（5－2）＝3km，行驶时间为（60－40）＝20min， 故甲修车后行驶的速度为：3÷20＝（千米/分钟）． 【点睛】本题考查了画一次函数图象，从函数图象获取信息，难度不大，读懂题意是关键，同时注意利用数形结合的思想解答问题． 13．（24-25八年级下·上海闵行·期中）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点C的坐标为，连结AC，与y轴交于点D． (1)求线段AB的长度； (2)求点D的坐标； (3)联结BC，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求AB的长即可；（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，直线与轴的交点即为D点；（3）根据B、C点的坐标特点，可判断 轴，再分别求出与，即可证明． 【详解】（1）如图： 令，则， ， ， 令，则， ， ， ； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令，则， ； 证明：， 轴，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平面中点的坐标特点，直角三角形三角函数值的求法是解题的关键． 14．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中________，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：________； 结论2：________ 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，画一次函数图象是解决问题的关键； （1）将，代入解析式求出、值即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图像，写出两个性质即可． 【详解】（1）解：将，分别代入得： ，， 解得：，． 故答案为：1；1； （2）解：如图， （3）解：根据题意得：（答案不唯一） 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论2：函数的图象关于直线对称． 15．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数，一次函数 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题，与不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数中，求得反比例函数的表达式，可得点坐标，将、两点代入一次函数中，可得一次函数的表达式； （2）设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，因为，，，可得，解得的值，即得点的坐标； 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得，， 解得：， 反比例函数， 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：，即， 将、两点代入一次函数中， 得，， 解得：，， 一次函数； （2）解：设，即， 对于一次函数，令，则，即， ，， 而， ， 解得：， 或； （3）解：， ∴， 即， ∵， 由图象可知：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$