专题02 平行四边形的性质与判定重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 平行四边形的性质与判定重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 判断能否构成平行四边形 题型二 添一个条件成为平行四边形 题型三 数图形中平行四边形的个数 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型五 证明四边形是平行四边形 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 题型七 利用平行四边形的性质求解 题型八 利用平行四边形的性质证明 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型十一 平行四边形性质的其他应用 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【经典例题一 判断能否构成平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ； ； ∴四边形是平行四边形，故B正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又， ， ， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵四边形是平行四边形， ； 又∵， ， ； ； ； ∴四边形是平行四边形，故D正确； 添加后，不能得出，进而得不出四边形平行四边形， 故选：A． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】A 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 2．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③∵，，无法得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； ⑤∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故⑤正确； ⑥∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故⑥不正确． 综上所述，添加的条件①②④⑤，可证明四边形是平行四边形． 故答案为：①②④⑤． 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE． (1)求证：AE＝BC； (2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）通过证明四边形ABCE是平行四边形，可得结论； （2）由平行四边形的性质可求DE＝AD＝2，即可求四边形ABCE的面积． 【详解】（1）证明：（1）∵ABCD，∠B＝45° ∴∠C+∠B＝180° ∴∠C＝135° ∵DE＝DA，AD⊥CD ∴∠E＝45° ∵∠E+∠C＝180° ∴AEBC， 又ABCD ∴四边形ABCE是平行四边形 ∴AE＝BC； （2）解：∵四边形ABCE是平行四边形， AB＝3， ∴AB＝CE＝3， 又CD＝1， ∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2， ∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时， 四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，AC是▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 【答案】AE=CF（答案不唯一）． 【分析】由平行四边形的性质可得到GB=GD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要GE=GF即可，故添加的条件只要能证明GE=GF即可． 【详解】解：需要增加的一个条件是AE=CF（答案不唯一）；理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴GB=GD，GA=GC， 若AE=CF，则AG-AE=CG-CF， 即GE=GF， ∴四边形BFDE为平行四边形， 故答案为：AE=CF（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，下列网格中，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，如图、、、均为格点，为格点三角形． （1）请在给定的网格中画，要求点在格点上，直接写出的面积为_________； （2）在（1）中右侧，以格点为其中的一个顶点，画格点，并使，，． 【答案】（1）图详见解析，5；（2）详见解析 【分析】（1）如图1，取格点C，连接BC、CD，则四边形ABCD为所作；的面积=2S△ABD，据此解答即可； （2）如图2，取格点F、G，顺次连接E、F、G三点，则△EFG为所作． 【详解】解：（1）如图1，即为所求； 的面积=2S△ABD=； 故答案为：5； （2）如图2，△EFG即为所求． 由于，FG=3，，所以△EFG符合要求． 【点睛】本题考查了平行四边形的格点作图和勾股定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理、准确掌握格点结构是解题的关键． 【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】 【例3】（2024·上海徐汇·一模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   )    A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【答案】D 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解． 【详解】解：平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，准确识别复杂图形是解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序，这样方能做到不重不漏． 1．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·课后作业）如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有 个平行四边形. 【答案】3 【分析】由已知条件和各种平行四边形的判定方法填空即可． 【详解】∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点， ∴DF=BE，DF∥BE， ∴四边形BEDF为平行四边形， 图中四边形DHBG也是平行四边形， 故答案是：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 3．（23-24八年级下·全国·期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．    【答案】（1）见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形． （2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形． 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDC， ∵E是AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED， ∴EF＝DE，∵AE＝EC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． （2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC， ∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC， ∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：    分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限； ②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限； ③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限， 则第四个顶点不可能落在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏． 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】D 【详解】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（3，-1）时， ∴BO=AC1=2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC1， ∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确； B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（-1，-1）时， ∴BO=AC2=2， ∵A，C2，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确； C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（1，1）时， ∴BO=AC3=2， ∵A，C3，两点纵坐标相等， ∴C3O=BC3=， 同理可得出AO=AB= ， 进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°， ∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确； D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形； ∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形； 故此选项错误． 故选D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    【答案】 【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ∴轴，， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限， ，， ∴轴， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【经典例题五 证明四边形是平行四边形】 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定依次判断可求解． 【详解】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则选项A正确，不符合题意； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，则选项B正确，不符合题意； 平行四边形的两条对角线不一定互相垂直，则选项C错误，符合题意； 两组对角相等的四边形是平行四边形，则选项D正确，不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据证明得，再证明，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 是边上的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【经典例题六 全等三角形拼平行四边形问题】 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 1．（2024·上海·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可； （2）如图有三种情况，构造平行四边形即可. 【详解】解：（1）如图即为所求 （2）如图，D、D’、D’’均为所求. 【点睛】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图形的定义是解题的关键. 【经典例题七 利用平行四边形的性质求解】 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点运动路线是，（2）点运动路线是，（3）点运动路线是，（4）点运动路线是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：四边形是平行四边形 ，则，， 当时，以四点组成的四边形是平行四边形 （1）点运动路线是，则，， 则，解得，不合题意； （2）点运动路线是，则， 则，解得； （3）点运动路线是，则， 则，解得； （4）点运动路线是，则， 则，解得 综上，则的所有可能取值为4.8或8或9.6． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 【答案】(1) (2)点G的速度为3或1或1.5； 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等. （1）根据条件证明四边形是平行四边形即可求解； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得：（舍） 当时，若，则 ∴，解得： ∴； 若，则 ∴，解得： ∴； 综上，点G的速度为3或1或1.5； 【经典例题八 利用平行四边形的性质证明】 【例8】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质容易得出结论． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD， ∴、、， ∴选项A、B、D正确，不符合题意， ∴选项C错误，符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解决问题的关键． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C． 【详解】解：A正确； ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2； B、D正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠1=∠2； C不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1=∠BCE， ∵∠2=∠CBE+∠BCE， ∴∠2=∠CBE+∠1， ∴∠2＞∠1，即一定不相等； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    【答案】30 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例9】（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【答案】C 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，中，点是的中点，，，则长（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】求BE的长，可转化为，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD，使，连接BG，CG，判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H，使，判断四边形BECI为平行四边形，求证即可求解． 【详解】延长AD，使，连接BG，CG， ∵，， ∴四边形ABGC为平行四边形， ∴， 在DG上取一点H，使，连接并延长交于， ∵， ∴四边形BECI为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 cm．    【答案】36 【分析】延长射线，过点作交于，推理证明四边形是平行四边形、，再计算长度，即可计算梯形的周长． 【详解】如下图，延长射线，过点作交于，    ，， ，， 四边形是平行四边形， ，（平行四边形对边相等）， 又， ， ， ， 梯形的周长 故答案为：36 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定和性质、图形周长计算，掌握平行线的性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)DE＋DF＝AB（2）若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB 【分析】（1）首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF=AE，然后证明BE=DE，即可得到DE＋DF＝AB； （2）首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AFDE是平行四边形，进而得到DF＝AE，DE＝AF，又根据△ABC是等腰三角形得∠B＝∠ACB，利用平行线性质得∠FCD＝∠FDC，即可得出DE－DF＝AB． 【详解】解：(1)DE＋DF＝AB． 理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB， 所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形， 所以DF＝AE． 又因为△ABC是等腰三角形， 所以∠B＝∠C． 因为DE∥AF， 所以∠C＝∠EDB． 所以∠B＝∠EDB． 所以△BDE是等腰三角形， 所以BE＝DE， 所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB． (2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB． 理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB， 所以四边形AFDE是平行四边形． 所以DF＝AE，DE＝AF． 因为△ABC是等腰三角形， 所以∠B＝∠ACB． 又因为∠ACB＝∠FCD， 所以∠B＝∠FCD． 又因为AB∥DF， 所以∠B＝∠FDC． 所以∠FCD＝∠FDC， 所以DF＝FC， 所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【经典例题十 利用平行四边形性质和判定证明】 【例10】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据E、F分别为边AB、DC的中点，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四边形EGFH是平行四边形，至此，连原来的平行四边形共有6个． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵E、F分别为边AB、DC的中点， ∴AE=BE= AB，CF=DF= CD， ∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF， ∴四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形, ∴AE∥CE，DE∥BF， ∴四边形EGFH是平行四边形， 故平行四边形共有6个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的定义、判定和性质． 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（  ） A．∠DAE=∠BCF B．AB=CD C．∠BAE=∠DCF D．∠ABE=∠EBC 【答案】D 【分析】利用AD//BC，AE//CF证得角等，证出△AED≌CFB，即可判断A选项；利用全等三角形的性质得到AE=CF，进而证出△ABE≌△CDF，即可判断B、C选项，即可完成. 【详解】∵AD//BC，AE//CF ∴∠AED=∠CFB , ∠DBC=∠ADB ∵BE=DF ∴BE+EF=DF+EF 即BF=ED ∴△AED≌CFB（ASA） ∴∠DAE=∠BCF 故A选项正确； ∵△AED≌CFB ∴AE=CF ∵∠AEB+∠AED=180°，∠CFB+∠DFC=180°，∠AED=∠CFB ∴∠AEB=∠DFC 又∵BE=FD ∴△ABE≌△CDF（SAS） ∴AB=CD，∠BAE=∠DCF 故B、C选项正确； 故选D 【点睛】本题考查三角形全等的性质即判断，还涉及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 2．（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是 ． 【答案】3 【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D为CE中点，∠CEF=30°，再设CE=2x，CF=x，根据勾股定理即可求得CE=6，据此即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∵， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴AB=DE=CD，即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵∠BAD=120°， ∴∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°，∠CEF=30°， 故设CE=2x，CF=x，在Rt△CEF有： ， 解得x=3， ∴CE=6， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，采用方程思想是解决此类题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，平行四边形的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．    (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，则，证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质得出，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；全等三角形对应边相等． 【经典例题十一 平行四边形性质的其他应用】 【例11】（23-24八年级下·上海普陀·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知平行四边形一边是10cm，两条对角线长分别是xcm，ycm，则x，y取值可能是（  ） A．8，12； B．4，24； C．8，18； D．6，14； 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断． 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断： A、根据三角形的三边关系可知：4+6=10，不能构成三角形； B、2+10=12，不能构成三角形； C、4+9＞10，能构成三角形； D、3+7=10，不能构成三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质．要掌握平行四边形的构造，平行四边形的一边和两对角线的一半构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是 ． 【答案】60cm2． 【分析】把大平行四边形空白部分看作是由：除阴影部分外，4个小平行四边形组成的，对角线AB、AC、BD、DC把每个小平行四边形平均分成了两个面积相等的三角形，即它们的面积①=②，③=④，⑤=⑥，⑦=⑧；大平行四边形图中空白部分的面积=100-20=80cm2；因此四边形ABDC中空白的部分的面积=①+③+⑥+⑦=80÷2=40cm2，则四边形ABDC的面积=①+③+⑥+⑦+阴影部分的面积=40+20=60cm2． 【详解】如图所示：四边形ABDC的面积=①+③+⑥+⑦+阴影部分的面积， 四边形ABDC内空白部分的面积是：（100-20）÷2=80÷2=40（cm2）； 四边形ABDC的面积：40+20=60（cm2）； ∴四边形ABDC的面积是60cm2． 故答案为：60cm2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、图形面积的计算；利用转化分割的思想，把求四边形ABDC的面积转化为求空白部分的面积是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） (1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM； (2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接BE并延长交AD于M，易得四边形BCDM为平行四边形，再根据三角形中位线判断M点为AD的中点，然后连接CM即可； （2）连接BE并延长交AD于M，M点为AD的中点，再连接CM、DE，它们相交于F，连接AF并延长交CD于N，则AN⊥CD． 【详解】（1）如图，CM即为所求 （2）如图，AN即为所求 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 【经典例题十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例12】（2024·上海宝山·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】由题意连接MD,根据三角形同底同高可得，再利用平行四边形的性质得出 ，进而运用面积的比例进行分析计算即可求得平行四边形的面积． 【详解】解：由题意连接MD, ∵点M是BC的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6， ∴S四边形ABMD=, ∵S四边形ABMD=, ∴, ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握三角形同底同高其面积相等以及平行四边形的对角线平分平行四边形的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12． (1)如图1，AD＝____； (2)如图2，①求证：△DEF为等边三角形； ②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长____． 【答案】(1)4 (2)①见解析；② 【分析】（1）过D作DG⊥AB于G，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）①作辅助线，构建等边三角形AEH，先证明四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，得对边相等，再证明△AEH是等边三角形，由SAS证明△DHE≌△FCE，可得DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，所以△DEF是等边三角形； ②过E作EM⊥AB于M，先得AC＝2，BC＝CD＝1，证明∠ECD＝30°+60°＝90°，根据勾股定理可得EF的长． 【详解】（1）解：过D作DG⊥AB于G，如图1所示： ∵AD＝BD，∠ADB＝120°， ∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6， ∴AD＝2GD， ∵AD2＝GD2+AG2， ∴4CD2＝GD2+62， ∴GD＝2， ∴AD＝4， 故答案为：4． （2）解：①延长FC交AD于H，连接HE，如图2所示： ∵CF＝FB， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵∠CFB＝120°， ∴∠FCB＝∠FBC＝30°， 同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBC， ∴， 同理：， ∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形， ∴EC＝AH，BF＝HD， ∵AE＝EC， ∴AE＝AH， ∵∠HAE＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°， ∴∠DHE＝120°， ∴∠DHE＝∠FCE． ∵DH＝BF＝FC， ∴△DHE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC， ∴∠DEF＝∠CEH＝60°， ∴△DEF是等边三角形； ②过E作EM⊥AB于M，如图3所示： ∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∵∠DBA＝30°， ∴∠CDB＝∠DBC＝30°， ∴CD＝BC＝AC， ∵AB＝12， ∵AC＝8，BC＝CD＝4， ∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠ECD＝30°+60°＝90°， ∵AE＝CE， ∴CM＝AC＝4， ∵∠ACE＝30°， ∴CE＝， Rt△DEC中，DE＝＝＝， 由①知：△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中30度角的性质等知识点；熟练掌握30度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题难度适中． 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、多边形的内角，根据平行四边形的性质和判定、多边形的内角逐一判断解题． 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，由B，C的坐标求出线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， B，C的纵坐标相等， 轴， ， 轴， 又顶点A的坐标是，， ∴顶点D的坐标为， 故选C． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理在网格中的应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理和逆定理判断为直角三角形，根据等腰三角形的性质，得出，判断甲正确；连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据，证明，判断乙正确；说明，证明不是直角三角形，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断丙错误． 【详解】解：甲：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故甲正确； 乙：连接，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故乙正确； 丙：∵， ∴， ∴不是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不互余，故丙错误； 综上分析可知：正确的是甲、乙； 故选：A． 5．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．由题意已知，，要使、、、为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当从运动到时，且在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点在延长线上时， ， 解得， 秒或秒时，、、、为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 8．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 【答案】/2厘米 【分析】根据平行四边形的性质证明出，得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：在中，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 10．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．（24-25八年级下·松江·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，由平行四边形的性质得，根据勾股定理得，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴． 12．（2025八年级下·上海普陀·专题练习）如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对应边平行且相等得到 且即可得到证明． 【详解】证明：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 13．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 14．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 【答案】(1)公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，关键是根据题意求出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，题目较好，主要培养了学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力． （1）是公平的，过作交于，交于，根据三角形的面积公式求出和的面积之和等于，再根据平行四边形的面积即可求出答案； （2）作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分． 【详解】（1）解：公平． 理由是：过作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 和的面积之和等于平行四边形的面积的一半； 方案公平． （2）如图，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行四边形的性质与判定重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 判断能否构成平行四边形 题型二 添一个条件成为平行四边形 题型三 数图形中平行四边形的个数 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型五 证明四边形是平行四边形 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 题型七 利用平行四边形的性质求解 题型八 利用平行四边形的性质证明 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型十一 平行四边形性质的其他应用 题型十二 平行四边形性质和判定的应用 知识点01 平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点02 平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点03 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点04 平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【经典例题一 判断能否构成平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，四边形中，，，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使，则添加的条件不能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ） A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 2．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．①，②，③，④，⑤，⑥．则添加的条件可以是 ． 3．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE． (1)求证：AE＝BC； (2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积． 【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，AC是▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，下列网格中，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，如图、、、均为格点，为格点三角形． （1）请在给定的网格中画，要求点在格点上，直接写出的面积为_________； （2）在（1）中右侧，以格点为其中的一个顶点，画格点，并使，，． 【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】 【例3】（2024·上海徐汇·一模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   )    A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 1．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级下·上海杨浦·课后作业）如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有 个平行四边形. 3．（23-24八年级下·全国·期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．    【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例4】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1） 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【经典例题五 证明四边形是平行四边形】 【例5】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【经典例题六 全等三角形拼平行四边形问题】 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（2024·上海·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 2．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【经典例题七 利用平行四边形的性质求解】 【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 2．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，在四边形 中，，，点 从点出发，以每秒1个单位的速度沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿作匀速移动，点 从点 出发沿向点 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． (1)求． (2)在移动过程中，小明发现当点 的运动速度取某个值时，有 与 全等的情况出现，请你直接写出当点 的运动速度取哪些值时，会出现 与全等的情况． 【经典例题八 利用平行四边形的性质证明】 【例8】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例9】（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，中，点是的中点，，，则长（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为 cm．    3．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． 【经典例题十 利用平行四边形性质和判定证明】 【例10】（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（  ） A．∠DAE=∠BCF B．AB=CD C．∠BAE=∠DCF D．∠ABE=∠EBC 2．（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，，EF⊥BC，，则AB的长是 ． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，平行四边形的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．    (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【经典例题十一 平行四边形性质的其他应用】 【例11】（23-24八年级下·上海普陀·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 1．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知平行四边形一边是10cm，两条对角线长分别是xcm，ycm，则x，y取值可能是（  ） A．8，12； B．4，24； C．8，18； D．6，14； 2．（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） (1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM； (2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN． 【经典例题十二 平行四边形性质和判定的应用】 【例12】（2024·上海宝山·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12． (1)如图1，AD＝____； (2)如图2，①求证：△DEF为等边三角形； ②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长____． 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 5．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 6．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 7．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，，平分，则 ． 9．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 10．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 11．（24-25八年级下·松江·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度． 12．（2025八年级下·上海普陀·专题练习）如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 13．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 14．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 15．（24-25八年级下·上海闵行·期末）劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 学科网（北京）股份有限公司 $$