精品解析：河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷

2024-2025学年上学期期末调研卷 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点C B. 点A、点D、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 6. 下列命题中真命题是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B. 同角或等角的余角相等 C. 已知点轴，且，则点的坐标一定是 D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 7. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与轴的交点坐标是：③将函数的图象向下平移个单位长度可以得到的图象：④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使记面积为，面积为，面积为，则等于（　　） A. 4047 B. 4048 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 12. 如图，象棋盘上，若“将”位于，“车”位于点，则“马”位于______． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 14. 如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为___________． 15. 如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 某工商局质检员从某公司12月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：（合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的型扫地机器人除尘量扇形统计图 型号 平均数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 B 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出两条理由）． 18. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 20. 生活中的数学：古代计时器“漏壶” 问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题： （1）【探索发现】 ①请你根据表中的数据在图②中描点、连线，并判断与之间是我们学过的________函数； ②确定与之间的函数关系式； （2）【结论应用】当圆柱容器液面高度达到时是什么时间？ 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． （1）问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． （3）在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 22. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期末调研卷 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数（无限不循环小数），理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．也考查了算术平方根． 【详解】解：A．是无限循环小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、， ，故本选项符合题意； B、， ，不能判断，故本选项不符合题意； C、， ，不能判断，故本选项不符合题意； D、， ，不能判断，故本选项不符合题意． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是（x，y）． ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴|y|=5，|x|=4． 又∵点M在第二象限内， ∴x=-4，y=5， ∴点M的坐标为（-4，5）， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征. 5. 如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点C B. 点A、点D、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，，， ∴，故该选项错误； B、，，， ∴，故该选项错误； C、，，， ∴，故该选项正确； D、，，， ∴，故该选项错误； 故选：C． 6. 下列命题中真命题是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B. 同角或等角的余角相等 C. 已知点轴，且，则点的坐标一定是 D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握平行线的性质，余角的性质，坐标与图形的特点是解题的关键． 根据平行线的性质，余角的性质，坐标与图形特点进行判定即可求解． 【详解】解：两条相互平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故A选项是假命题，不符合题意； 同角或等角的余角相等，B选项是真命题，符合题意； 已知点轴，且，则点的坐标是或，故C选项是假命题，不符合题意； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D选项是假命题，不符合题意． 故选：B ． 7. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【详解】解：根据题意，将代入直线， 得， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 8. 对于一次函数，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与轴的交点坐标是：③将函数的图象向下平移个单位长度可以得到的图象：④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握判定一次函数图象经过的象限，增减，平移等知识是解题的关键． 根据一次函数解析式可得图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，可判定①；当时，，可判定②；根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”可判定③，根据函数增减性可判定④；由此即可求解． 【详解】解：一次函数， ∵， ∴图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小， ∴函数的图象不经过第三象限，故①正确； 当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故②正确： 将函数的图象向下平移个单位长度，即，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D ． 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竿子长 尺，绳索长 尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对折后量竿，对折后的绳索长度比竿短5尺，对折后绳索长为， ∴， 因此可列方程组． 10. 如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使记面积为，面积为，面积为，则等于（　　） A. 4047 B. 4048 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先可由y随x的增大而增大确定 x 的系数 ，再根据函数图象经过点，写出符合题意的函数表达式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为 ， ∵y 随 x 的增大而增大， ∴， ∵函数图象经过点， ∴ ∴函数表达式可以是 ， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 12. 如图，象棋盘上，若“将”位于，“车”位于点，则“马”位于______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用“将”和“车”所在点的坐标画出直角坐标系，然后写出“马”所在点的坐标即可． 【详解】根据题意，“将”位于点，“车”位于点 则直角坐标系如下图所示：（小方格的边长是1） “马”位于点． 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题关键在于平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 14. 如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 如图所示，作，可得，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴路政工程车的工作示意图中的度数为， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，，，，可得；如图所示，，是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，是直角三角形，过点作与点， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， 由上述证明可得，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴的长为； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某工商局质检员从某公司12月份生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：（合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的型扫地机器人除尘量扇形统计图 型号 平均数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 B 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）某月该公司生产A型扫地机器人共1200台，估计该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出两条理由）． 【答案】（1）89，，20 （2）480 （3） A型扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型扫地机器人除尘量“优秀”等级所占百分比大于B型号扫地机器人“优秀”等级所占百分比（理由不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m； （2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可； （3）可从众数的角度进行分析判断． 【小问1详解】 解：在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，位于中间位置的两个数为89和89，故中位数为，即； A型扫地机器人“优秀”等级的有4台，故“优秀”等级所占百分比为； 10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占，“优秀”等级所占百分比为， “合格”等级占，即； 故答案为：89，，20； 【小问2详解】 解：该月A型扫地机器人“优秀”等级的台数（台）； 【小问3详解】 略 18. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，和为所作； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标系内描点画图，画轴对称图形，网格三角形的面积，利用方程思想解决三角形的面积问题是解本题的关键． （1）根据坐标先描出三点，再顺次连接即可，再确定关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）设P点坐标为，由的面积为3，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 故答案为4； 【小问3详解】 解：设P点坐标为， ∵的面积为2， ∴， 解得或6， ∴P点坐标为或 20. 生活中的数学：古代计时器“漏壶” 问题情境 某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体 实验观察 下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题： （1）【探索发现】 ①请你根据表中的数据在图②中描点、连线，并判断与之间是我们学过的________函数； ②确定与之间的函数关系式； （2）【结论应用】当圆柱容器液面高度达到时是什么时间？ 【答案】（1） ①描点，连线得函数图象如图所示， 故可得与之间是我们学过的一次函数， 故答案为：一次； ② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②设该函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得； 答：当圆柱容器液面高度达到时是． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元． （1）问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． （3）在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【答案】（1）每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元 （2）共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆 （3）方案一获得利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元， ∴， 解得，， ∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购买型车辆，购买型车辆， ∴， ∴， ∴是的倍数，且是正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆； 【小问3详解】 解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； 方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）； ∵， ∴方案一获得利润最大，最大利润为万元． 22. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $