精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区 八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在相应表格内） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列坐标的点位于第二象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 对于函数y＝－x－1，下列结论正确的是(　　) A. 它图象必经过点(－1，3) B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当x＞1时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 4. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若一次函数的图象经过，，三点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，直线与轴交点横坐标为1，则关于的方程的解为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6 二、填空题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在试卷相应位置上） 9. 16的平方根是________． 10. “近似数万”精确到__________位． 11. 点P（a+5，a﹣1）是第四象限的点，且到x轴的距离为2，那么P的坐标为___． 12. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 14. 如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则______． 15. 如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标为_______． 17. 当时，对于的每一个值，函数值大于一次函数的值，则的取值范围是________． 18. 如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 21. 如图，，经过点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 22. 已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值． （2）当时，求y的取值范围． 23. 如图，在四边形中，，，分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 24. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C周长最小，并直接写出点P的坐标. 25. 折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）． （1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 26. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 27. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 28. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区 八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在相应表格内） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，下列坐标的点位于第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点．第一象限内的点的坐标为，第二象限内的点的坐标为，第三象限内的点的坐标为，第四象限内的点的坐标为．根据各象限内点的坐标的特点进行判断即可． 【详解】解：A选项：横坐标是负数，纵坐标是正数，可知点是第二象限的点，故A选项符合题意； B选项：横坐标是负数，纵坐标是负数，可知点是第三象限的点，故B选项不符合题意； C选项：横坐标是正数，纵坐标是负数，可知点是第四象限的点，故C选项不符合题意； D选项：横坐标是正数，纵坐标是正数，可知点是第一象限的点，故D选项不符合题意．   故选： A． 3. 对于函数y＝－x－1，下列结论正确的是(　　) A. 它的图象必经过点(－1，3) B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当x＞1时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞1时，函数图象在y轴的右侧，y＜0，则可对C进行判断． 【详解】A. 当x=-1时,y=−x-1=,则点(1,3)不在函数y=−3x+1的图象上，所以A选项错误； B. k=<0，b=-1＜0，函数图象经过第二、三、四象限，所以B选项错误； C. 当x>1时，y<0，所以C选项正确； D. y随x的增大而减小，所以D选项错误． 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数的性质. 4. 如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当为顶角时，底角为， 另外底角也可以为， 则它的底角是或， 故选：． 5. 若一次函数的图象经过，，三点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可．将代入得：，解得：；由推出随的增大而增大；即可求解； 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大； ∵， ∴， 故选：C 6. 如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入，推出，把把代入得到， 两边同时除以a，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交点的横坐标为1， ∴该直线经过， 把代入得：， 则， 把代入得： ， 两边同时除以a，得：， 故选：D． 7. 如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；延长交的延长线于，由直角三角形的特质及余角的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，，由，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵ ， ∵平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 故选：B． 8. 如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6 【答案】A 【解析】 【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可． 【详解】解：根据题意得：四边形是梯形， 当点从运动到处需要2秒，则，面积为4， 则， 根据图象可得当点运动到点时，面积为10， 则，则运动时间为5秒， ， 设当时，函数解析式为， ， 解得， 当时，函数解析式为， 当运动到中点时时间， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键． 二、填空题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在试卷相应位置上） 9. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，结合平方根的含义可得答案． 【详解】解：16的平方根是； 故答案为： 10. “近似数万”精确到__________位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题主要考查了精确度，看一个近似数精确到哪一位只需要看末尾数字在哪一位即可． 【详解】解：“近似数万”中的数字4在百位上，故精确到百位， 故答案为：百． 11. 点P（a+5，a﹣1）是第四象限的点，且到x轴的距离为2，那么P的坐标为___． 【答案】（4，﹣2） 【解析】 【分析】根据第四象限的点的纵坐标是负数和到x轴的距离列出方程求出a的值，然后计算即可得解． 【详解】解：∵点P（a+5，a﹣1）是第四象限的点，且到x轴的距离为2， ∴a﹣1=﹣2， 解得a=﹣1， ∴a+5=﹣1+5=4， ∴点P的坐标为（4，﹣2）． 故答案为（4，﹣2）． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 12. 若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长． 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是． 故答案为： ． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解是． 故答案为： 14. 如图，是等边三角形．D，E分别是上点，若．则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式求得的坐标，过点D作轴于点F，过点B作于点E，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ， 过点D作轴于点F，过点B作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 直线分别与x轴，y轴相交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定． 17. 当时，对于的每一个值，函数值大于一次函数的值，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．先求得时，，当直线与直线的交点在的下方时，函数值大于一次函数的值，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∴两个函数图象的交点为， ∴，解得：， 如图： ∵函数值大于一次函数的值， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义，先化简再计算即可； （2）利用算术平方根及0次幂的意义，绝对值的性质计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． （1）求绣布周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】（1）98cm （2）不能够裁出来，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【小问1详解】 解：设绣布的长为，宽为，根据题意， 得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为28cm，宽为21cm， 周长为（cm） 【小问2详解】 解：不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为r cm， 得， ∵取3， ∴， 解得（负值已舍去） ∵， ∴， ∴不能够裁出来． 21. 如图，，经过点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）利用证明，即可； （2）根据全等的性质，推出四边形的面积等于的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式组得，再取整数解即可． （2）由（1）得：，当时，，当时，，根据y随x的增大而减小，进而可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 又为整数， ． 【小问2详解】 由（1）得：， ， 当时，， 当时，， y随x的增大而减小， 当时，求y的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质． 23. 如图，在四边形中，，，分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定，结合点是边上的中点，可证； （2）在中，利用勾股定理求得的长，根据即可求出的长； 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ，是边的中点， ，， ， 点是边上的中点， ； 【小问2详解】 解： ，，点是边上的中点， ， 在中，由勾股定理得， 由（1）知， ； 24. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标. 【答案】（1）（2）见解析；（3）P（0，2）． 【解析】 【详解】分析：（1）根据A，C两点的坐标即可建立平面直角坐标系. （2）分别作各点关于x轴的对称点，依次连接即可. （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，即为所求. 详解：（1）（2）如图所示： （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，则点P即为所求． 设直线B1C′的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B1（﹣2，-2），C′（1，4）， ∴，解得：， ∴直线AB2的解析式为：y=2x+2， ∴当x=0时，y=2，∴P（0，2）． 点睛：本题主要考查轴对称图形的绘制和轴对称的应用. 25. 折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）． （1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 小问1详解】 解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； 【小问2详解】 解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图是解题的关键． 26. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】（1）；，且x为正整数； （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； （3）100 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 小问1详解】 解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 27. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 【小问3详解】 直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 28. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）直线的解析式为； （2）①点M的坐标为或；②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，根据题意列式计算即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设，则点，， 则， ∵的长为4， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$