精品解析：海南省海口市北京师范大学海口附属学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年海南省北京师大海口附中高二（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 两条平行直线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 7 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知表示的曲线是圆，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 在三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 直线关于点的对称直线的方程为 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. （多选）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 12. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________. 14. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________. 15. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则与之间的关系式为______. 16. 设点为直线上的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积取得最小值时，此时直线的方程为_____________. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求满足下列条件的直线方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程； (3)经过点，并且与圆相切的直线方程. 18. 已知圆C的圆心在直线上，且该圆与x轴相切. （1）若圆C经过点，求该圆的方程； （2）若圆C被直线截得的弦长为，求该圆的方程. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点，，为棱上的点且. （1）证明：平面； （2）证明：直线平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 21. 如图所示，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）. （1）当为线段的中点时，求点到平面的距离； （2）是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由. 22. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年海南省北京师大海口附中高二（上） 期中数学试卷及解析 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线，所以，所以. 故选：D. 2. 两条平行直线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由已知两条直线平行，得，所以， 所以直线可化为， 则两平行线间的距离. 故选：C 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 4. 已知表示的曲线是圆，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解. 【详解】由方程可得， 所以当时表示圆，解得. 故选：C. 5. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 6. 在三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点P为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求. 【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，， 则，， 设异面直线PN和BM所成角为，则. 故选：D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线关于直线的对称直线的方程为 D. 直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【解析】 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解 【详解】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分情况讨论与的正负情况，分别判断各选项. 【详解】A选项：由的图象可知，，经过一、三、四象限，则需经过二、三、四象限，故A选项正确； B选项：由的图象可知，，经过一、二、三象限，则需经过一、三、四象限，故B选项错误； C选项：由的图象可知，，经过一、二、四象限，则需经过一、二、三象限，故C选项正确； D选项：由的图象可知，，经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误； 故选：AC. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程变形，求出直线经过的定点，即可判断正误；对于B，利用点到直线的距离公式进行计算，可作出判断；对于C，根据定点在圆内加以判断；对于D，利用圆心距与两圆半径之间的关系加以判断，可得答案. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确. 对于B，圆，其圆心为，半径为2， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误. 对于C，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确. 对于D，圆的方程，即，其圆心为，半径为， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. （多选）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断AB，利用等体积法求体积判断C，再由三棱锥外接球即为长方体外接球求出半径判断D. 【详解】长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点， 在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∵，∴与不垂直，故A错误； 在B中，，，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵，不共线，∴平面与平面相交，故B错误； 在C中，三棱锥的体积为： ，故C正确； 在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：CD. 12. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误. 【详解】由得：，可设，； 对于A，， 当时，，A正确； 对于B，， 当时，；B正确； 对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：， ，，C错误； 对于D，， 当时，，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标. 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 所以，解得， 联立，解得直线和的交点坐标为， 故答案为： 14. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由圆方程得：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 圆上的点到直线距离的最小值为. 故答案为：. 15. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则与之间的关系式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求曲线方程的求法求出动点的轨迹方程，再结合圆的性质，即可求解. 【详解】解：设，因为和，且该平面内的点满足， ∴， ∴， 化简可得， ∴点的轨迹方程为 ∵点的轨迹关于直线对称， ∴圆心在此直线上，∴. 故答案为：. 16. 设点为直线上的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积取得最小值时，此时直线的方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的一般方程可得圆心和半径，由可知当直线与直线垂直时，取得最小值，由两直线位置关系可求得直线方程，进而得到点坐标，由此可求得以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求得直线方程. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， ，，， ， 当为圆心到直线的距离时，即直线与直线垂直时，取得最小值， ，又，直线，即， 由得：，即， 线段中点为，又， 以为直径的圆的方程为：， 由得：，即直线方程为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求满足下列条件的直线方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程； (3)经过点，并且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）或；（2）或； （3）或.. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线过原点和直线不过原点时，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组求得，分直线过点且与平行和直线过点和中点，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解； （3）根据题意，求得圆心，半径，分切线斜率存在和切线斜率不存在，两种情况讨论，求得切线的方程，即可得到答案. 【详解】解：（1）当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为，其中， 代入，可得，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. （2）由题意，联立方程组，解得，所以， 当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即； 当直线过点和中点，因为，，可得，则， 所以直线的方程，即， 综上，满足条件直线方程为或. （3）将圆的方程，化为，可得圆心，半径， 将点代入，可得，所以点在圆外， ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 所以所求直线的方程为，即； ②当切线斜率不存在时，此时过点的直线方程为， 此时满足圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆相切，符合题意， 综上可得，所求切线为或. 18. 已知圆C的圆心在直线上，且该圆与x轴相切. （1）若圆C经过点，求该圆的方程； （2）若圆C被直线截得的弦长为，求该圆的方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可设圆心坐标，进而设圆的标准方程，将圆过的点的坐标代入，求得参数，即得答案. （2）求出圆心到直线的距离的表达式，利用圆心距、弦长、半径之间的关系列式计算，求得参数，即可得答案. 【小问1详解】 由圆C的圆心在直线上可设圆心为， 由于该圆与x轴相切.，故圆的半径， 故可设圆的方程为， 又圆C经过点，故， 即，解得或， 所以圆的方程为或； 【小问2详解】 由（1）知圆的方程为， 圆心到直线的距离为， 圆C被直线截得的弦长为，故， 即，解得， 故圆的方程为或. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点，，为棱上的点且. （1）证明：平面； （2）证明：直线平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）四棱锥的底面是正方形，侧棱底面， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由，则，，，，， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则由，取，得. ∵，∴， 又平面， ∴平面. （2）由，∴，∴， 又，， 故，， ∴，， 又，平面， ∴直线平面. （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面. （2）利用向量法得到，，由此能证明直线平面. （3）求了出是平面的一个法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线与平面所成角为， 由（1）知是平面的一个法向量， 又， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【小问1详解】 解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． 【小问2详解】 解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 21. 如图所示，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）. （1）当为线段的中点时，求点到平面的距离； （2）是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法计算点到平面的距离即可； （2）求得两平面的法向量，根据向量夹角公式列式计算即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 又，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则点、、， 设点，其中， 设平面的一个法向量为， ，， 则由，，有， 取，可得， 当为线段的中点，即时， 平面的一个法向量为，又， 所以，点到平面的距离为； 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为， 则， 解得或3（舍），此时， 因此，在线段上存在一点， 使得二面角的余弦值为，且. 22. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【小问1详解】 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. 【小问2详解】 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. 【小问3详解】 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $