海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（二）数学试题

海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（二）】 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案A 命题透析本题考查复数的四则运算与几何意义， 解折=产：21+2.故：在复平面内对痘的点为1,2).位于第一象限 2.答案C 命题透析本题考查集合的运算 解析由题意得A={x|-6<x<6},B=xx≤1|，A∩B={xl-6<x≤1{，所以C,(A∩B)=xI1<x<6 3.答案B 命题透析本题考查平面向量的坐标运算 解析因为a·b=-1,所以（入-1）×1-2（入+2）=-1，解得A=-4,所以b=(1,-2),则1b1= √+(-2)7=5. 4.答案A 命题透析本题考查圆的方程， 解析设该圆的半径为r,如图，由题意知IOD1=4-r,IBD1=r,IOB1=2,则由勾股定理得1BD12=1OD12+ 108,即广=(4-户+2.解得r=子.001=4-r=子则圆的方程为f+(-)广-空 5.答案A 命题透析本题考查等差数列的性质。 解析设{a.}的公差为d,由等差数列的性质知ao+a1s=2a4,所以2S1:=2a4+130,S4-a4=65,即S:=65= 13a1,于是有a1=5. 6.答案B 命题透析本题考查棱柱的基本结构特征，空间位置关系的判断 解析如图所示，在平面ABB,A,内，作MF∥AM1,与DE交于点F,连接CF,则MF∥CC1,所以MF,CC,共面，因 为MN∥平面CDE,由线面平行的性质知MN∥CF,所以MFCN是平行四边形，所以MF=CN.又M是A,B,的中 1 点，所MF是稀形ADE的中位线设M=6,则WF4EBD3兰=号，即GN=子所以CN=6- 2 2 子所子 B 7.答案C 命题透析木题考查抛物线的性质， 解析设PQ与x轴的交点为M,则1PW1=,WF1=n又1PW2+WFT2=PFI,即（子+n2=5,解得 P=3.所以oLPW=-子作AN垂直C的准线于点N.则aAM=AP,w∠PN=m乙PPV=斜 写=号解得1AI=号所以=号，所以△ABF的周长=(1P01+1PF1+10FP1) IAFI 3 (×3+2x5到- 8.答案D 命题透析本题考查函数与导数的综合应用 解折由条件知a=e2-1b=右e=h12令e)=h+士则/（到=士子-x>0.当0<x1 时()<0，单调递减，当x>1时f()>0)单调递增，所以)==1)=1，所以n>1-（x≠)，所 以h12>1-2石所以c>6令g)=e-1-h,则当>1时g()=e-士>0，所以g()在 (1,+)上单调递增，所以g(x)>g(1)=0,所以e2--1>ln1.2,即e2-1>ln1.2,所以a>c.综上可得 b<c<a. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BCD 命题透析本题考查空间中直线与平面的位置关系， 解析对于A,若l∥α，lCB,则可能∥B或与B相交，故A错误： 对于B,根据面面垂直的判定定理可知B正确： 对于C,根据面面平行的定义可知C正确： 一2 对于D,若x⊥B,则存在直线mCB,使得m⊥，因为l⊥a,所以1∥m,又l￠B,所以l∥B.故D正确. 10.答案AC 命题透析本题考查三角函数的图象与性质。 解析对于A,由图可知八x)的最大值为4，又因为A>0,所以A=4,故A正确： 对于B,因为x)的图象过点(0,2)，所以4em=2,即casp=7,所以cems29=2s-1=号，放B错误： 3w+p=0, 对于C,因为u>0,由“五点法”，可令升-牙）和0)分别对应c0s0和e0s号，所以 解得ω= o= 31 1,所以f(x)的最小正周期为2π，故C正确： 对于D,结合B,C,可得)=4m(+号)当xe[6时x+号e[名 ,此区间包含了2π（函数 y=6x的一个极值点)，所以)不可能在区间爱，上单调递增，放D错误 11.答案ABD 命题透析本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系 解析由题意设IF2A=3m,IFB1=5m,IF,B1=7m(m>0),连接FA,由题可知1F,AI-IF2A|=IFB1-I F2B1=2a,所以|F,A1=5m,1AB1=8m,且m=a. 对于A,IF,AI=IF,B|=5a,故A正确： 对于B,在△FAB中，由余弦定理可得CoF8=4+1AB:所以上P,B三哥所以 2·IFAI·IAB1 Sah=5nw-5an=宁×5aX8a×m号-分×50×3a×血号-255.放B正确： 对于C,在△FFA中，由余弦定理可得IF,F22=IF,AI2+IF,A12-IF,AIIF2A1=19a2,所以IF,F,I=√19a, 即2=a,所以离心率e=台=故C错误 对于D.s∠R,5A=E5,+ff-,血∠F,RA=5Eku=mLR5A=55,放D = 21F,F21·1F2A1219 219 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案4 命题透析本题考查中位数和平均数的计算 解析由题意知=3，得a=4,所以a+5=9,所以平均数为+24+9=4 4 13.答案30 命题透析本题考查函数的图象与性质的综合应用. 解析因为f八x)=g(x+3)为奇函数，所以八x)的图象关于原点对称，又g(x)的图象可由g(x+3)的图象向 —3 右平移3个单位长度得到，所以g(x)的图象关于点(3.0)对称.又y=1,的图象也关于点(3,0)对称，所 以y=8()与y=3的图象的交点关于点（3.0对称.所以+=6，+6=6，…属+，=6，故，+5十 …+x10=5×6=30. 14.答案2万 命题透析本题考查空间向量的应用. 解析设三棱锥A-BCD的侧棱长为a,以A为坐标原点，A,AC,A币的方向分别为x,y,:轴的正方向建立空 间直角坐标系，设单位向量n是平面α的一个法向量，根据空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组 (x,y,),使得n=x应+yA花+：Ad.由题意A在n上的投影向量的长度为1，所以n·A店=l,即(xA店+yA心+ :动=1，电即=1，故=宁同理可得y=导子所以n(合名》又1=召。 4-l,所以a=4,所以BC=2a=27. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查等比数列的性质以及等比数列求和 解析（I)当n=1时，3S,=3a1=4a1-4,得a1=4. (2分) 当n≥2时，3。=3S。-3S。-1=40。-4a。-1,所以a。=40w-1…… (4分) 所以{an}是以4为首项，4为公比的等比数列，… (5分) 故。=4。 (6分) （0已知经补-) (8分) 所以=学-仔+京+…+) 44.1 =3n-3 (11分) 1、 44 1 + 3n-9+g4 (13分) 16.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析（I)由条件及正弦定理得m4=osA sin C-cos C' (2分) 所以sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0,… (4分) 因为一T<A-C<T,所以A-C=0,即A=C,… (5分) 所以=C.… (6分) (Ⅱ)由(I)及条件知a=c=2b 所以csC=02+B-c2_46+B-461 2ab (8分) 462 =4 4 从而得血=-()= (9分) 设CD=x(x>0), 则S=x平3得=-6① 4 (11分) 由余弦定理得A0=公+2-2动·=公+2-弓b=10,所以公+=13.②… (13分) 由①②，得(b+x)2=25,所以b+x=5,… (14分)》 所以△ACD的周长为b+x+AD=5+√10.… (15分) 17.命题透析本题考查导数的计算以及利用导数研究函数性质. 解析(1)当a=-2时fx)=x-2(e-1),则f(x)=1-2e .....0 (1分)》 由∫'(x）=0,得x=-1n2,… (2分) 当x<-ln2时f'(x)>0,当x>-ln2时f'(x)<0 所以八x)在(-∞，-ln2)上单调递增，在(-ln2,+)上单调递减，… (4分) 所以代x)做大值=八-n2)=1-n2,无极小值。…(5分) (Ⅱ)由f八x)=x+a(e-1),得∫"(x)=1+ae 若a≥0，则f(1)=1+a(e-1)>0,不符合题意.…(7分) 若a<0,令f'(x)=0,解得x=-ln(-a), 则当xe(-,-ln(-a)时，f"(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(-n(-a),+)时，f'(x）<0,f(x)单调 递减， 则fx)e=f-ln(-a)）=-a-1-ln(-a).… (9分) 因为f代x)≤0，所以f(x)m≤0，故a+1+ln(-a）≥0.… (10分) 令8o）a1+(-a.则ga)=l+-中a<0, 当ae(-e,-1)时，g'(a)>0,g(a)单调递增，当ae(-1,0)时，g'(a)<0,g(a)单调递减， 所以g(a)≤g(-1)=0.…(13分） 所以g(a）=0,故a=-1.…(15分)】 18.命题透析本题考查线面垂直的证明以及空间向量的应用。 解析(I)因为EF⊥BE,平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE∩平面BCDE=BE, 所以EF⊥平面PBE.… (2分) 所以EF⊥PB.… (3分) 又因为∠BPE=90°，即PB⊥PE,且PE∩EF=E. 所以PB⊥平面PEF.… …(5分) (Ⅱ)取BC的中点G,连接EG,作PH⊥BE,垂足为H,则EG⊥ED,PH⊥平面BCDE.以E为坐标原点，分别以 EG,ED所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，…（6分) 5 则E0.0,0),F31,0,B2,-1,0),C(2,1.0). (7分) 在△PE中，PE=1,PB=2,所以B=5,利用三角形相似可得铝册子所以=子B=专B 9m=2Bm=35所以r川号52） (8分) 所以元=(；号.25）成=02.0. 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), PC·m=0, 则 可得 4x+3y-5z=0, 取m=(5.0,4).…(11分) BC.m=0, y=0, 由(1)知EF1平面PBE,永=（分，1.0，故平面PBE的-个法向量为=(1,2.0.…(12分） 5 因为cos(m,n）=1mlln=21×5 1·n 21 211 所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为2T 21 (14分) (Ⅲ)所得的截面为直角三角形PQR,如图所示： (17分) 得分要点：①QR∥EF;②PQ,QR是虚线，PR为实线 19.命题透析本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系 解析(1)根据定义，可得，的方程为=1，即x=-1,… (1分) 将其代入C的方程得+兮=1，解得y=±子。… 3 (2分) 不妨取A(-1,),A(-1,-)所以1AB1=2×弓=3. …(4分） —6 (Ⅱ)根据所给结论可知l,ls分别是C关于点A,B的极线， 如图).取4(-1，）(-1，-名）则：-+方=1.：-章-支=1.…(5分) =1 由 解得 所以l和lg交于点P(-4,0),…(7分) =0」 =1 要证明直线MN,l4,ls相交于一点，只需证明直线MN过点P(-4,0)即可. M(xv,yv),N(xx,yx),D(-1.yp). 根据所给结论，可知直线0：+号=1，直线DN:号+号=. 3 3 (8分) Ywyn=1, ”4 3 因为直线DM和DN都经过点D(-I,yn),所以 **… (9分) 4 所以直线的方程为-+号=1，将(-4,0)代入，得-+X0 4 3=1,方程也成立， 所以直线W过点P(-4,0),故直线MN,l,l相交于一点.…(11分) 图(1 图(2) (Ⅲ)由题意，C在Q点处的切线方程为，：四+号=1，则1与，平行，且经过坐标原点。…(12分) 如图(2)所示，由椭圆的光学性质，可知∠GQS=∠HQT… (13分) 又因为I∥1o,所以∠GQS=∠QST,∠HQT=∠QTS,所以∠QST=∠QTS,所以1QS1=1QT1. 过F2作FR∥QS,与I交于点R,则∠FRT=∠QST=∠QTS,所以IF2RI=IF,T1. 另一方面，因为1OF,I=IOFI,∠S0F,=∠ROF2,∠SF,O=∠RF0,所以△F,SO≌△FRO, 从而1F,SI=IFRI,所以IF,SI=IF2T1. 因此1QS1+1QT1=1QS1+1F,S1+1QT1-1F2T1=1QF,1+1QF21=4,为定值.…(17分) 一7绝密★启用前 海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（二）》 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.复数：=中3在复平面内对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={xlx2<36},B={x3x-2≤1}，则C,(AnB)= A.(-6,1] B.(-1,6) C.(1,6) D.[1,6) 3.已知向量a=(入-1，-2)，b=(1,A+2),若a·b=-1,则1b1= A.25 B.5 C.25 D.22 4.如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门 在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x 轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为 +g-}-9 B++}- c+-引- D2++= 5.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知2S4=a1o+a18+130,则a,= A.5 B.6 C.7 D.8 数学试题第1页（共4页） 如图，在三棱柱AC-A么G中，点D在棱m,上，且BD=号B,M,B分别是棱A,AM, 的中点，点N在棱CG,上，若MN∥平面CDE,则 CN c号 n 7.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点P,Q在C的准线上且关于x轴对称，1PQ1= 3,线段PF,QF与C分别相交于点A,B,且IPF=5,则△ABF的周长为 8 A安 c D. 8.若ln(a+1)=0.2,ln(2b)=-ln3,e°=1.2，则 A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知α，B是两个不同的平面，1是一条直线，则下列命题正确的是 A.若l∥a,lCB,则a∥B B.若l⊥a,lCB,则a⊥B C.若a∥B,lca,则l∥B D.若a上B,l⊥a,l4B,则l∥B 10.已知函数f(x)=Acos(ax+p)(A>0,w>0)的部分图象如图所示，则 A.A=4 B.c082p=2 C.f(x)的最小正周期为2π Dx)在区间，上单调递增 1.已知双确线C号-云=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为R,,过R的直线与C的右 支交于A,B两点(A在第四象限)，若1F2A1:1F2B1:1FB1=3:5:7,则 A.IF AI=IF2BI △8职店的面积为5A C.C的离心率为√19 D.直线AB的斜率为5√5 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一组数据1,2，a,a+5的中位数是3，则这组数据的平均数为 13.已知x)=g(x+3)为奇函数，若y=g()与y=:一3的图象有10个交点，设交点的横坐 标从小到大依次为x2,…,名0，则名+x2+…+10= 14.已知正三棱锥A-BCD的三个侧面均为直角三角形，过点A作一平面a,点B,C,D在该平 面的同一侧，且B,C,D到平面a的距离分别为1,2,3，则BC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设数列{a,}的前n项和为S,已知3S,=4an-4. (I)求{a,}的通项公式； (1)求数列侣}的前n项和。 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知=0s4 cos C (I)证明：a=c; (I)如图，若c=2b,点D在边BC上，且AD=而，△4CD的面积为3西 求△ACD的周长. 17.(15分) 已知函数f八x)=x+a(e-1) (I)当a=-2时，求f八x)的极值； (Ⅱ)若对任意xeR,不等式f八x)≤0恒成立，求实数a的值. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图(1)，正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，点F在边CD上且EF⊥BE.将△ABE 沿BE折起到图(2)中△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE. (】)证明：PB⊥平而PEF: (Ⅱ)求平面PBE与平而PBC夹角的余弦值： (Ⅲ)如图(2)，点Q在线段BE上，过点P,Q的平面α截四棱锥P-BCDE所得的截面是 一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说 明画法和理由）》 图(1) 图(2)》 19.(17分) 定义：对情圆C号+号=1(a>b>0)及任意-点P以%0)，称直线等+罗=1为C关于点 P的“极线” 结论1：若点P在椭圆C上，则C关于点P的极线就是C在点P处的切线， 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过 另一个焦点 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知R,5是桶圆C号+号-1的两个焦点，C关于点P(-4,0)的极线，与G相交于A, B两点. (I)求IABI; (Ⅱ)设C在点A处的切线为4，在点B处的切线为la,过在lp上且在C外一点D作C的两 条切线，切点分别为M,N,证明：直线MN,l4,la相交于一点； (Ⅲ)若Q(m,)是C上除顶点以外的任意一点，直线Q,和Q5分别与直线1：窖+号=0 相交于点S,T,证明：1QS1+1QT1为定值 数学试题第4页（共4页）