8.4 乘法公式 同步练2024-2025学年苏科版（2024）数学七年级下册

8.4 乘法公式 一、单选题 1．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 3．如果，则的值为（   ） A．4 B．16 C．24 D．32 4．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 5．已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A．5 B．9或 C． D． 6．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 8．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是（   ） A．6 B． C．12 D． 二、填空题 9．计算的结果等于 ． 10．若多项式是某一个多项式的平方，则常数项m的值为 ． 11．已知，且，求 ． 12．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 13．若，则 ． 14．如果多项式可以用完全平方公式进行因式分解，那么 ． 15．如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 16．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 三、解答题 17．利用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 18．先化简，再求值：，其中，． 19．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 20．如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式整理，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据这两个数的乘积二倍求解值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即 ∴或 解得：或， 故选：． 6．D 【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式， ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可． 【详解】解：由面积相等可知， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出对照求解即可． 【详解】解：由， ∴被墨水遮住的部分为， 故选D． 9．/ 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 10．9 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式，根据乘积二倍项确定这两个数是x和3，结合完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：， 这两个数是x和3， ， 故答案为：9． 11． 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，关键是求出的值，然后利用整体代入的思想解决问题；先把式子利用偶次方的非负性，求出a，b的值，然后求出，利用化简，分别求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 13．2026 【分析】本题主要考查完全平方公式，设，再根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2026． 14． 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，利用完全平方公式可分解为，然后去括号进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．35 【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为， 图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30， ，， ， ， 即两个正方形的面积和为35， 故答案为：35． 16． / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 17．(1)3999711 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．， 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，平方差公式，代数式求值等知识点，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 先利用平方差公式并按照整式的四则混合运算法则进行计算，然后合并同类项，最后将，代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 20．(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． （2）解：∵ 由（1）得：， （3）设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$