精品解析：天津市天津中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期天津中学高一年级第二次阶段性检测 数学试卷 一、单选题 1. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列各组函数中，和表示相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，满足，则（ ）. A. B. C. D. 4. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 6. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 9. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 14. 若，则的最小值为__________. 15. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 三、解答题 16. 化简求值 （1）； （2） 17. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 18. 已知函数（且）. （1）求； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）时，求使成立的x的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求、的值及的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集； （2）若函数在时存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期天津中学高一年级第二次阶段性检测 数学试卷 一、单选题 1. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 2. 下列各组函数中，和表示相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的对应法则、定义域都相同判断各项正误. 【详解】A：定义域为，与的定义域不同，不符合题意； B：定义域为，与的定义域不同，不符合题意； C：，显然与对应法则和定义域都相同，符合； D：定义域为，与的定义域不同，不符合题意. 故选：C 3. 已知，，满足，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数函数单调性结合函数图象，可限定出各数值的取值范围，可得结论. 【详解】根据单调递增可得， 由单调递增可得， 由可知是函数和图象交点的横坐标， 如下图所示： 由图可知.因此可得. 故选：A 4. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为“，”为真命题，再利用判别式即可得到答案. 【详解】由题意得命题“，”为真命题， 则对恒成立，则对恒成立， 则，解得. 故选：A. 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断AB；利用终边相同的角可判断C；根据象限角的定义可判断D. 【详解】对于A，是第二象限的角，但不是钝角，故A错误； 对于B，小于，但不是锐角，故B错误； 对于C，，因为是第三象限的角， 所以是第三象限的角，故C正确； 对于D，因为角的终边在第一象限，所以， 所以，即， 当时，，角的终边在第一象限，故D错误. 故选：C. 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可. 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 8. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 9. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 10. 已知函数有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】条件化为与的两个交点横坐标分别为，，数形结合得到，应用对勾函数的性质求目标式的范围. 【详解】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以， 则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 二、填空题 11. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合使得分式型函数、对数函数、抽象函数有意义列式求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对于有， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解. 【详解】由于函数在上单调递减， 又因为在上是减函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得： 函数在上单调递增，且． 当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，由题意得：，解得． 则实数a的取值范围是． 故答案为：． 14. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， 当且仅当时，即，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 15. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则，由当时，都有，得， 任意的，都有， 则，因此函数在上单调递增， 当时，. 故答案为：5 三、解答题 16. 化简求值 （1）； （2） 【答案】（1）12 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则和根式的性质直接计算可得答案； （2）根据对数运算的运算律和性质直接计算可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 18. 已知函数（且）. （1）求； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）时，求使成立的x的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由题意，，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式即可得解； （2）先求出函数的定义域，再判断与的关系即可得出结论； （3）根据对数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明略； 【小问3详解】 当时，函数在上是减函数， 由，得，所以，解得， 所以使成立的x的取值范围为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求、的值及的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 由（1）知，，函数在上单调递增， 且，则， 由，得，则，即， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由求出、的值并验证，进而求出的解析式. （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可. （3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， ，函数是在上的奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式恒成立，即， 而函数是定义在上的奇函数，则， 又函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集； （2）若函数在时存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）原不等式等价于，分，与三种情况解不等式即可. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合对勾函数的性质来求得正确答案. 【小问1详解】 由，得，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为在时存在零点， 在时存在实根， 即方程，有实根， 令，令，，， 由对勾函数性质知，，，， 所以. 【点睛】易错点睛： 忽视区间的影响：在分析不等式解集时，需要考虑不同情况下区间的变化，避免忽视边界情况. 代数化简错误：在求解函数的最小值或最大值时，可能发生代数化简错误，或者区间端点的函数值取舍错误，导致不正确的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $